Диссертация (1145286), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

В случае п-интегралов все массы me равны нулю и имеется толькоодин внешний импульс p. Таким образом полиномы F и U линейны повсем переменным αe , более того зависимость от внешнего импульса может быть вынесена за интеграл:Φ(G, p2 ) = p−2ω(G) Φ(G, 1).(1.18)В [41] было показано, что для многих п-интегралов, интегрирование пофейнмановским переменным αe в (1.16) может быть последовательно выполнено в терминах множественных полилогарифмовXLin1 ,...,nd (z1 , . .

. , zd ) =0<k1 <···<kdz1k1 · · · zdkd,k1n1 · · · kdnd(1.19)в случае если выбран правильный порядок интегрирования.Диаграммы, для которых существует подобный правильный порядок,называются линейно приводимыми и могут быть вычислены в любом(конечном) порядке по ε, при помощи алгоритма описаного в [41, 42, 45]и реализованного в виде программ в [46, 25, 47].В данной работе используется реализация алгоритма, предложеннаяв [25, 47]. Она отличается от изначального подхода тем, что вместо множественных полилогарифмов в ней используются гиперлогарифмы:ZG(σ1 , . . .

, σw ; z) =0zdz1z1 − σ1z1Z0dz2···z2 − σ2zw−1Z0dzw.zw − σw(1.20)С одной стороны, гиперлогарифмы могут быть выражены в терминах полилогарифмов, с другой же они оказываются более естественным клас-28сом функций для подобной задачи, что заметно упрощает процедуруинтегрирования по сравнению с [46].В случае, если подынтегральное выражение не содержит подрасходимостей, подынтегральное выражение (1.16) можно разложить в ряд по εи для каждого члена этого разложения выполнить параметрическое интегрирование.

На начальном этапе подынтегральное выражение состоитиз рациональных функций от фейнмановских переменных (αe ) и логарифмов от аналогичных функций. Поскольку полиномы U и F (1.17)линейны по αe , выполнить первое интегрирование достаточно просто.Последующие интегрирования также можно выполнить, если на предыдущем (n − 1) шаге результат интегрирования можно представить в видеfn−1−X G(→σ ; αn )=λ,k σ,τ,k(α−τ)n→−(1.21)σ ,τ,kгде σ и τ не зависят от αn .

Это заведомо возможно, если граф является линейно приводимым. В [48] было показано, что все безмассовыеп-интегралы с числом петель меньше или равным 4 являются линейноприводимыми, и данный метод был применен даже к некоторым шестипетлевым интегралам [49, 47].Единственной существенной проблемой при применении параметрического интегрирования является наличие в интегралах подрасходимостей, поскольку для применения алгоритма необходимо разложитьподынтегральное выражение по ε, а в случае наличия подрасходимостейполучающиеся после разложения интегралы оказываются расходящимися и плохоопределенными.

Таким образом, для применения алгоритманеобходимо строить подынтегральные выражения без подрасходимостей.Данная проблема может быть решена при помощи интегрирования почастям, поскольку всегда возможно выбрать мастер-интегралы, которыене содержат подрасходимостей [50]. К сожалению, применение интегрирования по частям для диаграмм с количеством петель большим чем 4, внастоящий момент существенно ограничено, поэтому данный подход неможет рассматриваться как полноценный способ решения проблемы.291.5.1Подрасходимости и схема ренормировки с одномасштабными вычитаниямиДля вычитания расходимостей в диаграмме обычно используется Rоперация [51]RΦ(G) = (1−K)R0 Φ(G) =XF(−1)|F | [Φ(G/F ) − KΦ(G/F )]Yγ∈FKΦ(γ/F )(1.22)где сумма идет про всем лесам F (наборы непересекающихся или вложенных расходящихся подграфов).

Оператор K задает схему ренормировки(для схемы MS это отбор полюсной по ε части). Формула (1.22) гарантирует сокращение всех полюсов по ε в сумме всех интегралов, в общемслучае мы не можем гарантировать, что расходимости сокращаются науровне подынетгрального выражения.В рамках схемы MS такое представление невозможно, однако как было продемонстрировано в [52] схемы типа BPHZ (Боголюбов-ПарасюкХепп-Циммерман), в которых вычитание подрасходимостей может производится под знаком интеграла, могут быть использованы для построения сходящихся подынтегральных выражений.В предлагаемой схеме, операция отбора расходящейся части K1-s длялогарифмических диаграмм определяется следующим образом: G| 2если G это п-интеграл иp =1K1-s G := G1-s | 2если G имеет больше чем два внешних хвостаp =1(1.23)здесь диаграмма G1-s – результат некоего ИК преобразования диаграммыG, имеющая только два внешних хвоста (п-интеграл) и не содержащаяИК расходимостей (см.

рис. 1.9). В проводимых расчетах подграфы сквадратичными (и более) подрасходимостями будут отсутствовать, однако не представляет особой проблемы обобщить определение (1.23) ивсе последующие рассуждения на данный случай. Ренормированный интеграл R1-s Φ(G) не содержит подрасходимостей и его подынтегральноевыражение может быть разложено в ряд по ε, с другой стороны интегралимеет нетривиальную зависимость от внешнего импульса и обращается30G=G1-s =GIR-unsafe=1-sилиРис. 1.9. Диаграмма и ее возможные ИК преобразования. Правое преобразование содержит (новую) ИК расходимость и, поэтому, запрещено.в ноль при p2 = 1 по построению.

Для того чтобы избавится от нетривиальной зависимости от внешнего импульса рассмотрим (с учетом (1.18)):∂ R1-s Φ(G)|p2 =1 = −p2X|F |(−1) ω(G/F )K1-s Φ(G/F )FYγ∈FK1-s Φ(γ/F )= −ω(G)K1-s Φ(G) + . . .Выражая отсюда неренормированный интеграл получим:K1-s Φ(G) = −(∂p2 R1-s Φ(G))|p2 =1ω(G)YXω(G/F )(−1)|F |K1-s Φ(G/F )K1-s Φ(γ/F ).−ω(G)(1.24)γ∈G∅6=FДанное представление выражает любой п-интеграл Φ(G) (при p2 = 1)через интеграл ∂p2 R1-s Φ(G)|p2 =1 , не содержащий подрасходимостей, который можно вычислить параметрическим интегрированием, и произведение п-интегралов с меньшим числом петель. Тем самым проблемасводится к рекурсивному вычислению п-интегралов.1.6Вычисление интегралов при помощиразбиения на сектораПри численных расчетах фейнмановских диаграмм (в каком бы представлении не проводилось вычисление) возникает две основных проблемы: первая – это выделение полюсных вкладов соответствующих(под)расходимостям диаграммы, вторая – это наличие интегрируемыхособенностей, ухудшающих сходимость процедуры численного интегрирования, (в импульсном представлении они возникают когда существует комбинация импульсов интегрирования, соответствующая импульсукакого либо пропагатора, обращающаяся в ноль при сколь угодно боль31ших абсолютных значениях импульсов интегрирования.

В фейнмановском представлении интегрируемые особенности соответствуют нулямфункций U и F (1.17))Для диаграмм в импульсном представлении на настоящий моментне существует последовательного способа решения этих проблем и, какправило, применяются некие трюки, приспособленные к конкретной диаграмме или классу диаграмм.

С другой стороны в фейнмановском представлении данная проблема решена полностью при помощи техники разбиения на сектора (sector decomposition) [53]. Данный подход позволяетэффективно выделять вычеты при полюсах по ε, представляя их в видеинтегралов от непрерывных функций с ограниченной вариацией. Полученные интегралы затем вычисляются численно, как правило, методомМонте-Карло [54, 55]Идея метода состоит в том чтобы разбить (под)пространство интегрирования A на сектора (подпространство A разбивается на n = dim(A)секторов, каждый из секторов определяется как подпространство A, гдеодна из переменных больше всех остальных переменных) таким образом,что каждый сектор содержит только часть особенностей.

Для полученного интеграла можно затем повторить процедуру до тех пор, пока вкаждом из секторов не останется единственная особенность, которую соответствующей заменой переменных можно сократить с якобианом (вслучае интегрируемой особенности) или же (в случае подрасходимости)выделить в явном виде, представив все вклады в виде хорошо сходящихся интегралов.Наибольшей проблемой в данном методе является количество секторов, на которые необходимо разбить пространство интегрирования: вслучае 5 петлевых диаграмм оно достигает десятков тысяч, а в случае6 петлевых - сотен тысяч.

Это может показаться неэффективным (поскольку подынтегральное выражение увеличивается пропорциональноколичеству секторов), однако увеличение подынтегрального выражениякомпенсируется существенно лучшей сходимостью, а отсутствие в подынтегральном выражении интегрируемых особенностей теоретически позволяет получить любую наперед заданную точность (при наличии достаточных компьютерных ресурсов). Все выше сказанное сделало данныйподход стандартом в численных расчетах фейнмановских диаграмм и32большинство аналитических вычислений в той или иной степени выполняют проверку корректности результатов используя данную технику.Проблема уменьшения числа секторов, которые необходимо вычислить, тем не менее остается актуальной. Оказалось, что количество секторов можно существенно сократить если использовать информациюо симметриях диаграммы (симметрии диаграммы соответствуют симметриям подынтегрального выражения).

Если для выбранного секторана диаграмме для каждой из итераций разбиения на подсектора (см.выше) линии диаграммы помечать метками, соответствующими ”роли”данной переменной в данной итерации: m(main) – основная переменнаясектора (остальные переменные сектора меньше данной переменной),s(secondary) – остальные переменные сектора, n(neutral) – переменныене входящие в A, то после каждой итерации на линиях графа появляется дополнительная метка (m, s или n). В итоге любой сектор можетбыть представлен в виде диаграммы с набором таких меток и обратнодиаграмма с подобным метками однозначно определяет сектор, поскольку на самом деле содержит явные предписания, позволяющие воспроизвести подынтегральное выражение для сектора.

Характеристики

Список файлов диссертации