Диссертация (1145286), страница 10

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 10)

После пересуммирования,полученные индексы комбинируются в общепринятые комбинации:2Δτ − dΔφd − 2Δφ, β=, γ=,ΔτΔτΔτd − Δφδ=, η = 2Δφ − d + 2 = 2γφ∗ ,Δφα=(2.31)где Δτ = 2 + γτ∗ = 1/ν, Δφ = d/2 − 1 + γφ∗Результаты пересуммирования для двумерной модели Изинга приведены в таблице 2.3, а для трехмерной в таблице 2.4.Из таблиц видно, что сходимость процедуры в трехмерной модели существенно лучше чем двумерной. Это является проявлением большогозначения параметра разложения (ε = 1 для D = 2), однако даже в двумерном случае согласие с точным решением Онзагера достаточно хоро68шее. Что же касается трехмерного случая то тут согласие очень хорошеекак с результатами высокотемпературного разложения и Монте-Карлосимуляций(HT/MC) [90], так и с экспериментальными данными [90].2.1.5ОбсуждениеВыше было описано полностью аналитическое вычисление аномальной размерности поля γϕ и критической экспоненты η для O(n)симметричной модели ϕ4 на шестипетлевом уровне.

Эти вычисления оказались возможными благодаря комбинации IRR метода, основанного наиспользовании R∗ -операции, и последних успехов в вычислении четырехпетлевых безмассовых р-интегралов, а также благодаря специфическимособенностям модели ϕ4 , состоящим в том, что подавляющее число 4хи 5-петлевых диаграмм оказались двувершинно приводимыми.Полученные результаты с хорошей точностью совпадают с предсказаниями, основанными на Борелевском пересуммировании с последующимконформным маппингом.

Было показано, что относительная точностьпредсказаний увеличивается с увеличением числа петель.Наши подиаграммные результаты для всех шести петлевых вкладов вZ2 (совместно с некоторой дополнительной информацией) можно найтина http://www.ttp.kit.edu/Progdata/ttp15/ttp15-046/ )2.2Тензорные обобщения модели ϕ42.2.1Вещественное антисимметричное поле.2.2.1.1ВведениеТеоретико-полевой метод ренормализационной группы, используемый для анализа критического поведения предоставляет мощный аппарат для качественого и количественного исследования. В ренормгрупповом подходе возможные типы критического поведения (классы универсальности) ассоциируются с инфракрасными притягивающими фиксированными точками ренормируемых теоретико-полевых моделей.

Большая часть типичных фазовых переходов (жидкость-пар, бинарные смеси, ферро- и антиферромагнетики) принадлежат к классу универсально69сти O(n)-симметричной модели с четверным взаимодействием (евклидова ϕ4 -модель) с n-компонентным параметром порядка. Другой важныйпример - это U (n)-симметричная ϕ4 -модель с комплексным параметромпорядка. Эта модель описывает переходы в квантовых газах и жидкостях( в действительности она эквивалентна O(2n)-симметричной вещественной модели).РГ анализ (в согласии с теорией Ландау) предсказывает для такихсистем наличие фазового перехода второго рода, а также наличие ИКпритягивающей фиксированной точки в физической области параметров, и тем самым наличие масштабной инвариантности в ИК области.Универсальные характеристики, описывающие масштабную инвариантность, зависят только от n и d (размерность системы) и могут быть вычислены в рамках теории возмущений в виде разложения по ε = 4 − d(см монографии [71, 9, 91] и ссылки в них).Однако, во многих случаях описание при помощи упомянутой, относительно простой модели оказывается не вполне соответствующим действительности, в таких случаях необходимо рассматривать более сложные типы симметрии или параметры порядка других типов (например,тензорные или матричные) К явлениям, которые требуют подобного описания, относятся фазовые переходы с нетривиальной кристалографической симметрией или случайно распределенные примеси ( см.

обзор иссылки в книге [92]), различные переходы в жидких кристалах [93–97],переходы между различными супертекучими фазами He3 [98–100] и внейтронных жидкостей в нейтронных звездах [101, 102], переход в сверхпроводящие состояние в системах с высшими спинами [103], модели Лаплассового роста с мультифрактальными свойствами [104] и т.п..Как следствие, соответствующая теоретико-полевая модель включает несколько членов взаимодействия и, (ТК соответственно) несколькоконстант взаимодействия(зарядов).

Соответствующие РГ уравения могут иметь несколько фиксированных точек с различными притягивающими свойствами [95, 96, 99–103, 90]. Это может вести к весьма сложнымРГ потокам (решениям РГ уравнений для инвариантных зарядов) в пространстве параметров модели.Наличие ИК притягивающих точек, определяющих ИК скейлинг, неявляется необходимым атрибутом моделей класса ϕ4 , более того, даже70при наличии ИК притягивающих точек, РГ потоки могу выходить запределы области стабильности модели, такая ситуация, обычно интерпретируется как фазовый переход второго рода. Или же траектории могут уходить на бесконечность (в пределах области стабильности), чтоозначает, что данный случай выходит за рамки теории возмущений. Какследствие, предсказания теории Ландау могут быть существенно скорректированы.В связи с этим, говоря о модели сверхпроводимости ГинзбургаЛандау [105], стоит напомнить, что однопетлевой анализ соответствующей теоретико-полевой модели (реально, электродинамики заряженногоскалярного поля) показывает, что оно имеет допустимую фиксированную точку только для очень больших n [106].

Тем не менее, ситуацтия невполне ясна: двухпетлевой расчет с соответствующим пересуммированием предсказывает, что притягивающая точка может существовать [107].Непертурбативный анализ в [108] также свидетельствует о возможностиперехода второго рода.В какой-то мере противоположные примеры следуют из модели с симметричным тензорным параметром порядка и модели Поттcа: по теорииЛандау существоввание кубических членов исключает возможность переходов второго рода. С другой стороны, точные двухпетлевые результаты, численное моделирование и РГ анализ свидетельствуют о возможности перехода второго рода при малых n [95, 109].В этом разделе мы применяем теоретико-полевую ренормгруппу кO(n)-симметричной ϕ4 модели с параметром порядка, являющимся вещественным тензором ранга n.

Эта модель может описывать переходымежду нематической, холестерической и голубой фазами в жидких кристалах [110, 111], переходы к сегнетоэлластической фазе в твердых телах [112,113] и переходы в суперпроводящее состояние в системах с высшими спинами [103].Для простоты мы рассматриваем модель с параметром порядка, являющимся полностью антисимметричным тензором, что по сравнению собщим случаем сводит задачу к двухзарядной модели и делает полученные результаты более наглядными.

Данная модель, скорее всего, является наиболее простой моделью с невекторным параметром порядка, однако остается многозарядной и, как будет показано ниже, демонстрирует71свойства, характерные более реалистичным и сложным случаям, описанным выше. В связи с этим, важно, что кубический инвариант полностьюантисимметричного тензора исчезает, и поэтому теория Ландау для такой модели предсказывает наличие фазового перехода второго рода, вто время как для симметричного тензора это не так.В последующих трех разделах будет сформулирована модель, даны соответствующие правила Фейнмана, выполнена УФ ренормировка иприведены явные выражения ведущего порядка для констант ренормировки.

Затем приводятся РГ уравнения для ренормированных функцийГрина и выражения ведущего порядка для их коэффициентов (β- функции и аномальные размерности). В разделе 2.2.1.6 будут проанализированы фиксированные точки РГ уравнений для инвариантных константсвязи.Оказывается, что существание ИК притягивающей фиксированнойточки в физической области параметров это скорее исключение, чем правило. Такие точки присутствуют в случае n = 2 и n = 3, в которых нашамодель эквивалентна скалярной и O(3) симметричной векторной модели, тем самым данные модели являются эффективно однозарядными имогут быть исследованы как отдельные внутренне согласованные модели.Единственная фиксированная точка в двухзарядной модели присутствует при n = 4, т.е. для минимального ранга, при котором модель несводится к однозарядной модели.

Для больших n эта фиксированная точка становится комплексной. Наличие этой точки означает, что функцииГрина в инфракрасной области демонстрируют самоподобное поведение(скейлинг). Соответствующие критические показатели η и ν приведеныв 2.2.1.7 в ведущем порядке ε-разложения. Однако для многозарядноймодели, даже когда ИК точка существует, не все РГ потоки притягиваются к ней в ИК асимптотическом режиме: они могут могут оказатьсявне области стабильности модели (фазовый переход первого рода) илиуйти на бесконечность (теория возмущений не применима).Основной вывод состоит в том, что учет флуктуации может изменитьхарактер фазового перехода для модели с антисимметричным параметром порядка со второго на первый род: для некоего подпространствапараметров теории для n = 4 и всегда для n > 4.722.2.1.2МодельНами была рассмотрена модель с вещественным антисимметричнымтензорным (ранга n) полем φ = φik (x) (таким что φik = −φki где i, k =1, .

Характеристики

Список файлов диссертации