Диссертация (1145286), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Предложенное представление эффективно позволяет произвести “аналитическое” сокращение подобных вкладов и избежать накапливания погрешностей.Это ярко видно на примере двух произведенных расчетов в моделяхϕ3 (через константы ренормировки) и ϕ4 (без использования константренормировки). В первом случае погрешность вычисления критическогопоказателя (в четырех петлевом приближении) составила несколько процентов, в то время как во втором случае (в пятипетлевом приближении)составила всего порядка 0.01%.3.23.2.1Представление расходящихся интегралов через несингулярные интегралыВыбор схемы ренормировкиРасcмотрим решение поставленной задачи на примере теории ϕ3 впространстве размерности d = 6 − .
Ренормированное действие этойтеории дается выражением11S = − (m2 Z1 + p2 Z2 + δm2 )ϕ2 − gµε/2 Z3 ϕ3 ,26(3.4)которое можно записать в видеS = SB + δS ,(3.5)11SB = − (m2 + p2 )ϕ2 − gµε/2 ϕ326(3.6)11δS = − (m2 δZ1 + p2 δZ2 + δm2 )ϕ2 − gµε/2 δZ3 ϕ326(3.7)где– базовое действие,94– контрчлены. Поверхностные УФ расходимости при ε = 0 присутствуютв диаграммах 1-неприводимых функций Γ2 = hϕϕi1−ir и Γ3 = hϕϕϕi1−ir ,имеющих квадратичную и логарифмическую поверхностную расходимости, соответственно. Контрчлены δZi = Zi − 1, i = 1, 2, 3 и δm2 призваны сократить эти расходимости в каждом порядке теории возмущенийпо константе связи g.
Константы ренормировки Z1 , Z2 , Z3 связаны соотношениямиZ1 = Zm2 Zϕ2 ,Z2 = Zϕ2 ,Z3 = Zg Zϕ3(3.8)с константами ренормировки затравочных параметров m20 , g0 и поля ϕ0m20 = m2 Zm2 ,g0 = gµε/2 Zg ,ϕ0 = ϕZϕ .(3.9)Учет контрчленов (3.7) можно заменить действием R-операции (3.1)на диаграммы базовой теории с действием (3.6). Конкретная схема ренормировки определяется заданием операции K отбора расходящихсячастей 1-неприводимых диаграмм. Мы приведем сначала определениеэтой операции в схеме N M , а затем перейдем от нее к используемойнами схеме.В схеме N M операция K определяется равенствамиKΓ3 = K0 Γ3 ,K0 f ({p}) ≡ f |{p=0}KΓ2 = K0 + p2 K2 Γ2 ,K2 f ≡ (∂p2 f )|p=0(N M ) ,(N M ) ,(3.10)(3.11)т.е. выделяется начальный отрезок ряда по импульсу, длина которогоопределяется размерностью диаграммы.
Это соответствует следующимусловиям для ренормированных функций:K0 RΓ2 = −m2 ,K2 RΓ2 = −1 ,K0 RΓ3 = −gµε/2 .(3.12)За выполнение второго и третьего условия ответственны контрчлены− 21 p2 δZ2 ϕ2 и − 61 gµε/2 δZ3 ϕ3 из (3.7), соответственно. За выполнение первого условия ответственны контрчлены − 12 δm2 ϕ2 и − 21 δZ1 ϕ2 . Первый из95них обеспечивает выполнение равенства при m = 0, т.е. условияK0 RΓ2 |m=0 = 0 ,(3.13)и устраняет из теории ”Λ-расходимости“ [9] (Λ – параметр УФ обрезания)1 . С учетом (3.13) условие K0 RΓ2 = −m2 записывается в виде требованияK0 R (Γ2 − Γ2 |m=0 ) = −m2 ,(3.14)определяющего контрчлен − 12 δZ1 ϕ2 . Благодаря наличию вычитания в(3.14) Λ-обрезание при вычислении этого контрчлена можно снять, егороль сводится после этого к устранению возникающих полюсов по ε.Константы ренормировки удобно записывать в терминах нормированных функцийΓ̄2 = −K2 Γ2 ,Γ̄2,m = −K0Γ2 − Γ2 |m=0m2,Γ̄3 = K0 Γ3 /(−gµε/2 ) ,(3.15)удовлетворяющих, согласно (3.12), (3.14), условиямK0 RΓ̄i = 1 ,i = 1, 2, 3,(3.16)где под Γ̄1 будем понимать Γ̄2,m .
В терминах Γ̄i константы ренормировкиимеют единообразный видZi = 1 − KR0 Γ̄i = 1 − R0 Γ̄i ,i = 1, 2, 3 .(3.17)Второе равенство в (3.17) – следствие того, что мы включили операциюK в определение величин Γ̄i 2 .Мы выберем схему ренормировки, отвечающую прежним условиям(3.13), (3.16), но взятым в точке нормировки m = µ (назовем эту схемуNP )K0 RΓ̄i |m=µ = 1 ,i = 1, 2, 3.(N P )(3.18)12величина δm2 интерпретируется в статфизике как сдвижка критической температурысм. замечание в Приложении 3.3.796Константы ренормировки будут тогда иметь вид (3.17) c m = µZi = 1 − K0 R0 Γ̄i |m=µ ,i = 1, 2, 3 .
(N P )(3.19)Контрчленам (3.7) с такими Zi cоответствует операция K видаKΓ3 = K0 Γ3 |m=µ ,(N P )m2KΓ2 = K0 Γ2 |m=0 + 2 (Γ2 |m=µ − Γ2 |m=0 ) + p2 K2 Γ2 |m=µ .µ(3.20)(3.21)При вычислении констант ренормировок условие m = µ в (3.19) упрощает операцию (3.21)KΓ2 |m=µ = K0 Γ2 |m=µ + p2 K2 Γ2 |m=µ ,(3.22)так что обе операции (3.20), (3.22) сводятся к вычитанию на нулевыхимпульсах (3.10), (3.11) при m = µ, как и предполагалось в (3.19).Схемы N M и N P отличаются лишь конечной перенормировкой параметров g, m2 и констант ренормировки Zi , что обусловлено связьюмежду вычетами в старших полюсах констант ренормировок и в первомполюсе – той же самой, которая обеспечивает УФ-конечность ренормгрупповых функций. Значения критических показателей в обеих схемахсовпадают.3.2.2Схема расчета констант ренормировокиВ этом разделе мы рассмотрим константы ренормировки Z2 , Z3 , определяющие β-функцию и аномальную размерность поля.
Техника вычисления константы Z1 обсуждается в Приложении 2. Предлагаемый способрасчета годится в равной степени для обеих схем ренормировки N M иN P , однако в схеме N P окончательный результат формулируется значительно проще.97Разложение констант ренормировки (3.17) в ряд теории возмущенийв схеме N M имеет вид0Zi = 1−R Γ̄i = 1−Xn nεu µ(n)R0 Γ̄i (m2 ) ,i = 1, 2, 3,nSd g 2u≡,(2π)d(N M )(3.23)где введен естественный для теории (3.4) заряд u ∼ g 2 , Sd – площадь d(n)мерной сферы единичного радиуса.
Коэффициенты ряда R0 Γ̄i в (3.23)являются однородными функциями m2(n)(n)R0 Γ̄i (m2 ) = m−nε R0 Γ̄i |m→1 ,(3.24)поэтому можно записать0R Γ̄i =Xn(n)un (µ/m)nε R0 Γ̄i |m→1 ,i = 1, 2, 3.(3.25)В схеме N P в (3.25) следует положить µ/m = 1, так что константыренормировки зависят только от заряда u:Zi = 1 −X(n)Zi un ,(n)Zin(n)= R0 Γ̄i |m→1 ,i = 1, 2, 3.(N P )(3.26)для которых мы хотимЗадача состоит в вычислении величинполучить представление через интегралы, свободные от расходимостей.(n)Воспользовавшись (3.24), для Γ̄i можно написать очевидное равенство(n)R0 Γ̄i ,(n)R0 Γ̄i=−2 2(n)m ∂m2 R0 Γ̄i .nε(3.27)Вводя операцию ∂^m2 f ≡ (∂m2 f )|m→1 , из (3.26), (3.2.2), получаем соотношение2(n)(n)Zi = − ∂^m2 R0 Γ̄i ,(3.28)nε(n)позволяющее в явном виде выделить в Zi один полюс по ε.
Однакооставшееся выражение также содержит полюса. Их не было бы, если быоперация дифференцирования коммутировала с R0 -операцией – операция ∂^m2 , действуя на линии диаграмм, снимает поверхностную расходи(n)мость величин Γ̄i , последующее действие R0 -операции убирает расхо98димости в подграфах, так что величина(n)(n)− R0 ∂^m2 Γ̄i ≡ N Γ̄i(3.29)является конечной при ε = 0 и ее можно записать в виде(n)N Γ̄i(n)= −R∂^m2 Γ̄i .3(3.30)Выделяя эту величину в правой части (3.28), запишем(n)=2(n)(n)(N Γ̄i − J Γ̄i ),nε(3.31)(n)(n)≡ ∂^m2 R0 − R0 ∂^m2 Γ̄i .(3.32)ZiгдеJ Γ̄i"Коммутатор” (3.32) отличен от нуля, так как дифференцирование линий диаграммы меняет структуру расходимостей в подграфах – продифференцированные вершинные подграфы становятся несущественными, адвухвостки – логарифмическими.
Важно, что в коммутаторе (3.32) сокращаются все вклады, не содержащие контрчленов на подграфы (т.е.при замене R0 на единицу). Это означает, что его действие на любую диа(n)грамму χ, входящую в Γ̄i , сводится к сумме произведений диаграмммладшего порядка, результат удается компактно записать в видеJχ =XR0 χ(α) (N χα ) .(3.33)χα ∈sub(χ)Здесь суммирование ведется по всевозможным существенным подграфам χ(α) диаграммы χ, χ(α) – часть этой диаграммы, остающаяся послестягивания подграфа. Действие операции N на подграфы определяется,в согласии с (3.29), соотношениемN χα = −R∂^m2 Knα χα ,(3.34)где nα ≡ nχα – размерность подграфа χα .
Величина ∂^m2 Knα χα не имеет поверхностной расходимости, поэтому R-операция в (3.34), как и в(n)(n)(n)это утверждение справедливо для Γ̄2 и Γ̄3 , но не для Γ̄2,m , в которой зависимость от m2присутствует не только в линиях. Поэтому в дальнейшем всюду будет предполагаться i=2, 3.399(3.29), (3.30), сводится к R0 -операции. Соотношение (3.33) доказываетсяметодом индукции по числу петель.Таким образом, для нахождения констант ренормировок Z2 , Z3 с помощью соотношений (3.26), (3.31), (3.30) и (3.33), на каждом шаге теориивозмущений достаточно вычислять конечные величины вида (3.34): пер(n)вое слагаемое с N Γ̄i в правой части (3.31) определяется конечнымидиаграммами для всех n, второе слагаемое для однопетлевых диаграмм,не имеющих подграфов, отсутствует, для двухпетлевых диаграмм этослагаемое определяется, согласно (3.33), конечными величинами N χα иоднопетлевыми диаграммами χ(α) , вычисляемыми согласно вышесказанному и т.
д. Для операции R в (3.34) можно использовать соотношение(3.3), которое позволяет представить величину (3.34) в виде сходящегосяинтеграла, допускающего численный расчет.Отметим, что диаграммы χ(α) , получающиеся после стягивания вершинных подграфов χα , непосредственно совпадают с рассчитанными напредыдущих шагах теории возмущений, а возникающие после стягивания двухвостых подграфов включают дополнительную вставку в линиюс множителем k 2 . Их также можно свести к ранее сосчитанным, мыне приводим получающийся результат для констант ренормировок, поскольку ответ выглядит намного проще для представляющих непосредственный интерес ренормгрупповых функций.3.2.3Расчет критических индексов в ϕ3 модели в 4хпетлевом приближении3.2.3.1Ренормгрупповые функцииКонстанты ренормировки в схеме N P , как и в схеме M S, зависяттолько от безразмерного заряда g (и от размерности пространства).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
