Диссертация (1145286), страница 17

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 17)

Множители C в правой части (3.83)имеют смысл симметрийных коэффициентов подграфа и диаграммы γ̇,в которой подграф заменен на точку. Симметрийные коэффициенты в(3.83) выражаются через соответствующие симметрийные множителидиаграмм S соотношениямиCγ =N!,SγCγ̇ =N!,Sγ̇Cσ =2,Sσ(3.84)с учетом которых подлежащее к доказательству равенство (3.83) сводится к соотношению2Sγ = tσ κ1 Sγ̇ Sσ .(3.85)(σ)Пусть Sst –мощность стабилизатора с фиксированным подграфом,тогда величина Sγ̇ может рассматриваться как мощность этого стабилизатора с заменой подграфа на точку в линии. Эти величины связанымежду собой соотношением(σ)Sγ̇ = κ2 Sst ,(3.86)где κ2 = 1 для симметричных подграфов и для несимметричных подграфов, вставленных в несимметричную линию, и κ3 = 2 для несиммет114ричных подграфов и симметричных линий, так как только в последнемварианте замена подграфа на точку приводит к появления дополнительной симметрии диаграммы.С учетом (3.86) соотношение (3.85) принимает вид(σ)2Sγ = tσ κ1 κ2 Sst Sσ .(3.87)Для его доказательства необходимо выразить мощность группы симметрии Sγ всей диаграммы через мощности групп симметрии подграфа Sσ(σ)и его стабилизатора Sst .

Сделаем это в 2 приема. Вначале будем рассматривать все σ-подграфы в орбите как бесструктурные элементы σ̄,определим на получающейся диаграмме группу симметрии Λσ̄ с мощно(σ̄)(σ)стью Sσ̄ и мощностью стабилизатора орбиты Sst , и выразим Sγ и Sst(σ̄)через Sσ̄ и Sst . Мощность группы Sγ связана с Sσ̄ , Sσ и числом элементоворбиты tσ соотношениемSγ = Sσ̄ (Sσ /κ3 )tσ ,(3.88)где κ3 = 1 для несимметричных σ-подграфов и κ3 = 2 для симметричных. Дополнительный множитель 1/2 для симметричных подграфов вэтом соотношении компенсирует дополнительную симметрию этих подграфов, которая не проявляется, когда они стоят внутри общей диаграм(σ̄)мы.

Мощность Sσ̄ группы Λσ̄ связана с мощностью Sst стабилизатора элемента орбиты и числом элементов орбиты tσ соотношением вида(3.78):(σ̄)Sσ̄ = tσ Sst .(3.89)После фиксации какого-либо элемента орбиты оставшиеся элементы разбиваются на сумму орбит. Для каждой из них справедливо соотношение(σ)вида (3.88), поэтому мощность стабилизатора элемента σ-орбиты Sst(σ̄)выражается через Sst соотношением(σ)(σ̄)Sst = Sst (Sσ /κ3 )tσ −1 .115(3.90)С учетом (3.86)–(3.90) соотношение (3.85) сводится к равенствуκ1 κ2 κ3 = 2 .(3.91)Сведем все множители κi в таблицу:κ1κ2κ3ss sn ns nn111211212211Здесь пары типа (s n) указывают на симметричность (s) или несимметричность (n) подграфа и линии соответственно. Из таблицы видно,что для всех сочетаний соотношение (3.91) действительно выполняется.3.3.5ОбсуждениеПолученное соотношение (3.44) не является специфичным для теории ϕ3 , совершенно аналогичным образом оно доказывается и для теории ϕ4 .

Это соотношение позволяет рассчитывать аномальные размерности и β-функцию непосредственно по диаграммам ренормированныхфункций, минуя константы ренормировки. R-операция в используемойсхеме ренормировки может быть реализована с помощью введения параметров растяжения импульсов, втекающих в существенные подграфы [123], [117]. Это позволяет представить результат ее действия в видеединого интеграла, не содержащего УФ-расходящихся вкладов (они сокращены в явном виде), что делает его удобным для численного расчетаи позволяет существенно увеличить точность вычислений.Эффективность данного подхода проверена нами на теории ϕ4 , в которой мы выполнили пятипетлевой расчет β-функции и критическихразмерностей, результат совпал с точностью до пяти значащих цифр сизвестным аналитическим ответом [37, 76, 78] (см раздел 3.3.6)).3.3.6Применение теории без расходимостей к O(N )симметричной ϕ4 моделиhttp://arxiv.org/abs/1309.5621 [6]116В данном разделе аппарат теории без расходимостей применен к расчету критических индексов модели ϕ4 .

Основной целью данного разделаявляется апробация метода и независимая проверка 5 петлевых результатов полученных в [37, 76, 78]. Работа [78], в которой были исправленынекоторые неточности предыдущих работ [37, 76], не может считатьсяполностью независимой проверкой ввиду того, что в этой работе, так жекак и в [76], использовалась техника R∗ операции.В предыдущем разделе был предложен подход, позволяющий выразить аномальные размерности через ренормированные диаграммы в видеудобном для численного счета [117,118].

Данный подход может быть легко автоматизирован и расширен на широкий класс моделей. В данномразделе демонстрируется применение данного подхода для 5 петлевых(рекордный на тот момент порядок) расчета критических экспонент ϕ4модели.Результаты, полученные для модели ϕ4 с использованием нашего подхода (d = 4 − ε)η = 0.0185185185 2 + 0.0186900(6)3 − 0.0083286(2)4 + 0.025656(2)5ω = − 0.62962963(8)2 + 1.6182211(7)3 − 5.23513(2)4 + 20.7499(9)5 ,находятся в хорошем согласии с результатами, приведенными в [78])η = 0.0185185185 2 + 0.0186899862 3 − 0.008328770 4 + 0.025656451 5ω = − 0.629629629 2 + 1.61822067 3 − 5.2351359 4 + 20.74984 5 ,подтверждают тот факт, что в работах [37, 76] действительно есть некоторые неточночти, выявленные в работе [78].3.3.6.1Ренормировка с точкой нормировки в модели ϕ4Будем рассматривать модель ϕ4 в евклидовом пространстве с размерностью d = 4 − ε.

Базовое действие модели имеет вид [9]111SB = − m2 ϕ2 − (∂ϕ)2 − gµε ϕ4 .224!117(3.92)Диаграммы функций Грина Γi , вычисленные в теории (3.92), содержатУФ расходимости, эти расходимости могут быть устранены добавлением контрчленов в действие (3.92). Это приводит к ренормированномудействию111S = − (m2 Z1 + δm2 )ϕ2 − Z2 (∂ϕ)2 − Z3 gµε ϕ4224!(3.93)с константами ренормировки Z1 , Z2 , Z3 , которые связанны с константамиренормировки массы Zm2 , поля Zϕ и константы связи Zg через соотношенияZ1 = Zm2 Zϕ2 ,Z2 = Zϕ2 ,Z3 = Zg Zϕ4 .(3.94)Конкретный выбор констант ренормировки определяется выбором схемыренормировки. В нашем случае мы будем использовать схему с точкойнормировки (NP) (см.

раздел 3.2.1), которая для модели ϕ4 определяетсяследующим образом. Сдвиг массы δm2 определяется из условияΓR2 |p=0,m=0 = 0 .(3.95)Константы ренормировки Zi определяются таким образом, что в точкенормировки p = 0, µ = m ренормированные один-неприводимая двухтоRчечная ΓR2 и четырехточечная Γ4 функции Грина равны их беспетлевомучлену:2ΓR2 |p=0,µ=m = −m ,∂p2 ΓR2 |p=0,µ=m = −1 ,2εΓR4 |p=0,µ=m = −gm .(3.96)Для расчетов в такой схеме удобно использовать нормированные функции ГринаΓ2 − Γ2 |m=0Γ̄1 = −m2,Γ̄2 = −∂p2 Γ2 ,Γ̄4 = Γ4 /(−gµ2ε ) ,(3.97)которые, согласно (3.95), (3.96), удовлетворяют следующим соотношениямΓ̄R2 |p=0,m=0 = 0,Γ̄R1 |p=0,µ=m = 1,Γ̄R2 |p=0,µ=m = 1,118Γ̄R4 |p=0,µ=m = 1.(3.98)Константы ренормировки определенные условиями (3.98), как и в схемеMS, не зависят от массы m, а уравнения ренормгруппы совпадают суравнениями в схеме минимальных вычитаний:R(Dµ + β∂g − γm2 Dm2 ) ΓRi = nγϕ Γi ,(3.99)где Dm2 ≡ m2 ∂m2 |µ,g , Dµ ≡ µ∂µ |m,g , γi = β∂g ln Zi , β = −g(ε + γg ).Используя (3.99), для нормированных функций (3.97) получимR(Dµ + β∂g − γm2 Dm2 ) Γ̄Ri = γi Γ̄i ,(3.100)где, в соответствии с (3.94),γ1 = γm2 + 2γϕ ,γ2 = 2γϕ ,γ3 = γg + 4γϕ .(3.101)Рассматривая уравнения (3.100) в точке нормировки p = 0, µ = m ипринимая во внимание (3.98), мы можем выразить РГ-функции γi черезренормированные функции Γ̄Ri в точке нормировки [117, 118] (см.

раздел 3.3.2):γi =2Fi,1 + F2 − F1Fi ≡ −m2 ∂m2 Γ̄Ri |p=0,µ=m ,i = 1, 2, 4 .(3.102)Аналогично выкладкам в разделе 3.3.2 введемfi = R−m2 ∂m2 Γ̄i|p=0,µ=m .(3.103)Там же было доказано соотношение, тривиально обобщающееся на теорию ϕ4f i − Fi = f i F 1 ,i = 2, 4.(3.104)В итоге это позволяет переписать (3.102) в следующем видеγi =2fi,1 + f2i = 2, 4 .(3.105)Соотношения (3.103) и (3.105) будут использоваться для последующихчисленных расчетов. Преимущество этих соотношений по отношению к119(3.102) состоит в том, что R-операция в (3.103) рассматривается непосредственно в точке нормировки, что делает вид вычитательной операции более простым. R-операция в (3.103) может быть представлена втерминах произведения операций 1 − Ki , которые устраняют все расходимости в диаграммах [123]YRΓ =(1 − Ki )Γ,(3.106)iгде произведение берется по всем существенным (УФ расходящимся) подграфам, включая диаграмму как целое.

Характеристики

Список файлов диссертации