Диссертация (1145286), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Модельисследуется вблизи ее критических размерности d = 4 − , вблизи критического значения τ0 . Параметр разложения в теории перколяции будетλ20 , а не λ0 , что с очевидностью следует из непосредственного рассмотрения фейнмановских диаграмм. Поэтому удобно ввести новый зарядu = λ2 Sd /(2π)d .)Ренормированное действие имеет видZ4 Dλµ/2 † 2[(ψ ) ψ − ψ † ψ 2 ]. (3.196)SR = ψ (−Z1 ∂t + Z2 D∂ − Z3 Dτ )ψ +2†2Можно показать [130], что этот тип модели является мультипликативноренормируемым и ренормированное действие может быть получено издействия S путем стандартной процедуры мультипликативной ренормировки всех полей и параметров.ψ0 = ψZψ ,ψ0† = ψ † Zψ† ,D0 = DZD ,145λ0 = λµ/2 Zλ ,τ0 = τ Z(3.197)τ.А константы ренормировки Zi , i = 1, 2, 3, 4 могут быть выражены черезконстанты ренормировки полей и параметров следующим образом:Z1 = Zψ Zψ† ,Z2 = ZD Zψ Zψ† ,Z3 = ZD Zτ Zψ Zψ† ,Z4 = ZD Zλ Zψ2 † Zψ = ZD Zλ Zψ† Zψ2 .(3.198)Кроме того, выполняется соотношение Zψ = Zψ† .

Для дальнейших вычислений удобно ввести нормированные функции ГринаΓψ† ψ − Γψ† ψ τ =0 Γ̄3 = −Γ̄1 = ∂iω Γψ† ψ p=0,ω=0 ,,p=0,ω=0DτΓψ† ψ† ψ − Γψ† ψψ 1 2Γ̄2 = − ∂p Γψ† ψ p=0,ω=0 ,Γ̄4 =,(3.199)p=0,ω=02DDλµ/2которые удовлетворяют следующим условиямΓ̄Ri |τ =µ2 = 1,i = 1, 2, 3, 4.(3.200)В схеме NP (см. начало раздела 3.4.1) константы ренормировки не зависят от τ , и ренормированные уравнения совпадают с их аналогами в MSсхемеR(µ∂µ + βu ∂u − τ γτ ∂τ − DγD ∂D )ΓRi = (nψ γψ + nψ † γψ † )Γi ,(3.201)где µ это ренормализационная масса, nψ и nψ† число соответствующихполей, входящих в рассматриваемую функцию Грина, γx = µ∂µ log Zxаномальные размерности, βu = u(− − γu ) бета функция [9]. Тогда длянормированных функций имеемR(µ∂µ + βu ∂u − τ γτ ∂τ − DγD ∂D )Γ̄Ri = γi Γ̄i .(3.202)Здесь аномальные размерности γi получены из соотношений между константами ренормировкиγ1 = 2γψ ,γ3 = 2γψ + γD + γτ ,γ2 = 2γψ + γD ,γ4 = 3γψ + γD + γλ .146(3.203)Следуя общей логике изложенной в начале раздела 3.4.1 ( [117, 118,6]) можно выразить аномальные размерности через ренормированныефункции Грина:2fiγi =, i = 1, 2, 4 ,(3.204)1 + f2где функцииfi ≡ R[−τ̃ ∂τ̃ Γ̄i (τ̃ )]τ̃ =1 ,(3.205)могут быть вычислены численно.3.4.2.3Аномальные размерностиКомбинируя (3.203) и (3.205), можно получить соотношения для аномальных размерностей γ для полей и параметров моделиγψ =f1,1 + f2γD =2(f2 − f1 ),1 + f2γu = 22f4 − f1 − 2f2,1 + f2(3.206)где fi , вычисленные в двухпетлевом приближении, даются следующимивыражениями:uu++ 0.0152772u2 ,16 32u uf4 = − ++ 0.117185u2 .48f2 = −f1 = −uu++ 0.0062804u2 ,32 64(3.207)Эти результаты получены численными интегрированием методом МонтеКарло [54, 55].

Во втором порядке теории возмущений надо вычислить 2диаграммы для функции Γψ† ψ и 11 диаграмм для функции Γψ† ψ2 .)Скейлинговые режимы связаны с фиксированными точками РГ преобразования. Асимптотическое поведение (на больших масштабах) определяется ИК фиксированными точками. Их координаты могут быть найдены из требования исчезновения β-функций.

Процесс направленнойперколяции имеет только одну β-функцию:3u 3u 3u2 βu = u(− − γu ) ≈ u − +−−− 0.389626u2 .48128(3.208)Вышеприведенное уравнение имеет две фиксированных точки: тривиальную (Гауссову) фикс. точку (u = 0) и нетривиальную точку следующего147вида:4u∗ = + 1.590252 + O(3 ) ,(3.209)3которая соответствует критическому процессу перколяции. После определения координат фиксированной точки, можно проанализировать критические экспоненты. Критическая экспонента η имеет вид:η ≡ 2γψ u=u∗ = − − 0.0680712 + O(3 ).6(3.210)Вторая критическая экспонента zz ≡ 2 − γD u=u∗ = 2 −− 0.029212 + O(3 ).12(3.211)Необходимые импульсные интегралы были вычислены численно с относительной точностью не менее 10−4 .Для сравнения с аналитическим расчетом приведем результаты изработы [130])25161 4η = − 1++ln + O(2 ) ≈ − − 0.06807502 + O(3 ),6288 144 366759 4z = 2−1+ + O(2 ) ≈+ln12288 144 3≈ 2−− 0.02920912 + O(3 ).(3.212)12Видно что вычисленные значения критических показателей (3.210) и(3.211) хорошо совпадает с (3.212).Поскольку наши двухпеллевые результаты совпадают с аналитическими вычислениями, предложенный численный метод может быть применен к вычислению фейнмановских графов в трехпетлевом приближении.

Для этого надо рассмотреть 17 графов один-неприводимой функцииГрина Γψ† ψ и 150 графов для функции Γψ† ψ2 . Применение нашего методавозможно и в более высоких порядках. Однако, для того чтобы достичьнеобходимой точности вычислений, время счета каждой диаграммы становится достаточно большим.1483.4.3Предел больших размерностей пространства втеории стохастической турбулентности3.4.3.1ВведениеОбъяснение аномального скейлинга развитой турбулентности, который описывает отклонения от феноменологической теории Колмогорова, является одной из актуальных проблем современной статистическоймеханики.

К настящему времени были вычислены аномальные экспоненты и аномальный скейлинг был подтвержден только в упрощенноймодели турбулентности – модели пассивной скалярной примеси. Былопоказано [137], что в пространствах с большими размерностями d этамодель сводится к теории Колмогорова и что экспоненты аномальногоскейлинга стремятся к нулю при d → ∞. Эти экспоненты были вычислены в первом порядке по 1/d в [137].) Есть соображения, что в теориитурбулентности, основанной на уравнениях Навье-Стокса, размерностьd → ∞ играет роль критической размерности пространства, для которойтеория Колмогорова становится справедливой [138]. Для анализа этойасимптотической теории в [139] был применен метод РГ и ε-разложения.В работе [139] была выявлена возможность существенного упрощенияв пределе d → ∞. Это позволило выполнить трехпетлевые аналитические вычисления РГ фиксированной точки и экспоненты (показателя) ωи затем предположить общий вид этих величин, аналогичных соответствующим величинам Гейзенберговской модели развитой турбулентности [140].

Представляет интерес проверить корректность этих формул,сравнив их предсказания с четвертым порядком теории возмущений. Ноэта проверка не является тривиальной, поскольку число диаграмм сильно возрастает с увеличением порядка теории возмущений (в данном случае будет 1692 четырехпетлевые Фейнмановские диаграммы). Поэтомупроцесс вычислений необходимо автоматизирвать.В данном случае был применен метод автоматического вычисленияренормированных функций, разработанный в [6] для трехпетлевых вычислений. Этот метод [6] позволяет представить ренормированные функции в виде несингулярных ε интегралов без использования констант ренормировки.149Автоматизированные трех-петлевые вычисления подтвердили величину ω, полученную в [139]. Величина заряда в фиксированной точкеотличается от полученной в [139] из-за использования другой схемы ренормировки.3.4.3.2МодельМикроскопическая модель развитой, однородной, изотропной турбулентности несжимаемой жидкости или газа обычно описывается стохастическим уравнением Навье-Стокса со случайной силой∂t vi = −∂i P − (vj ∂j )vi + ν0 ∂ 2 vi + fi ,(3.213)где vi поле скорости, P и ν0 давление и кинематическая вязкость, соответственно, fi случайная сила на единицу массы.

Уравнение (3.213)дополняется условием несжимаемости ∂i vi = 0, которое приводит к поперечности поля скорости и силы. Мы полагаем для f Гауссово распределение с нулевым средним и корреляторомhfi (t1 , x1 )fj (t2 , x2 )i ≡ Dijf (t1 − t2 , x1 − x2 ) ,(3.214)Dijf (t, k) = δ(t)Pij (k)df (k) ,(3.215)где Pij (k) ≡ δij −ki kj /k 2 поперечный проектор. В инерционном интервалеволновых чисел m k kdiss (m−1 = L представляет собой внешниймасштаб турбулентности, kdiss масштаб диссипации) можно использоватьстепенную модельdf (k) = D0 k 4−d−2ε θ(k − m) ,(3.216)где ε является аналогом параметра 4 − d в теории фазовых переходов.Физическое значение ε равно 2 и соответствует идеальной накачке энергии в систему с помощью вихрей бесконечного размера.Согласно фундаментальной теореме [141], стохастические уравненияэквивалентны квантово-полевой теории с удвоенным набором (попереч-150ных) полей с действиемS0 = v 0 Df v 0 /2 + v 0 −∂t vi − (v∂)v + ν0 ∂ 2 v .(3.217)Здесь подразумеваются все необходимые интегрирования и суммирования по индексам.

Вклад давления в (3.217) опущен из-за поперечностивспомогательного поля v 0 .Диаграммы теории возмущений, определяемые действием (3.217), содержат УФ расходимости при ε → +0. Инвариантность действия поотношению к преобразованию Галилея приводит только к одной расхо(0)дящейся 1-неприводимой корреляционной функции Γij =< vi vj0 >1−ir(функции отклика). Для того, чтобы убрать расходимось в этой функциинеобходим только один контрчлен вида v 0 ∂ 2 v. Ренормированное действиеимеет видS = v 0 Df v 0 /2 + v 0 −∂t vi − (v∂)v + νZν ∂ 2 v .(3.218)Его можно получить из (3.217) путем мультипликативной ренормировкипараметровD0 = g0 ν03 = gµ2ε ν 3 ,ν0 = νZν ,g0 = gµ2ε Zg ,Zg = Zν−3 ,(3.219)где µ ренормированная масса, g безразмерный ренормированный заряд,а ренормировка полей не требуется.Пусть Γij (k, ω) 1-неприводимая функция отклика, вычисленная в соответствии с действием (3.218) с константой ренормировки Zν = 1.

Характеристики

Список файлов диссертации