Диссертация (1145286), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Это означает, что контрчлены 1PIфункции должны содержать как минимум одну пространственную производную, так что контрчлен ϕ0 ∂t ϕ не может возникнуть. Во-вторых, изгалилеевской симметрии действия (4.4) следует, что две последние структуры в (4.6) могут возникать как контрчлены только в инвариантнойкомбинации ϕ0 ∇t ϕ с лагранжевой производной ∇t = ∂t + (ϕ∂) из уравнения (4.1). Это исключает также структуру ϕ0 (ϕ∂)ϕ. Таким образом,в общем случае у нас остается единственный контрчлен в виде ϕ0 ∂ 2 ϕ.Однако в частном случае d = 2 возникает новая УФ расходимость в 1PIфункцииΓϕ0 ϕ0 .Рассмотрим ренормировку модели (4.4) в двухпетлевом приближении при d > 2.
В этом случае необходим только один контрчлен ϕ0 ∂ 2 ϕ,который генерируется мультипликативной ренормировкой вязкости в соответствующем члене действия (4.4). Мы будем использовать MS схему,в которой константы ренормировки определяются соотношениямиν0 = νZν ,D0 = g0 ν03 = gµ2ε ν 3 ,g0 = gµ2ε Zg ,Zg = Zν−3 .(4.7)Здесь, µ параметр, устанавливающий масштаб (ренормировачная масса)в MS схеме, ν ренормированная вязкость и g безразмерный ренорми166рованный заряд.
единственной независимой константой ренормировки в(4.7) является вязкость Zν . Амплитуда функции корреляций случайнойсилы D0 не ренормируется, поскольку контрчлен ϕ0 ϕ0 отсутствует . Этоприводит к соотношению между константами ренормировки заряда ивязкости (4.7).В MS схеме константы ренормировки записываются как ряды ЛораPPна по ε в форме ”1 + n≥1 an ε−n ” ”1 + n≥1 an ε−n ”.
В частности, Inparticular,∞naXXa11a21 222nZν = 1 + uank ε−k ,+u++ ... = 1 +u2εεεn=1(4.8)k=1гдеu≡g S̄d,32S̄d ≡Sd,(2π)dSd ≡2π d/2,Γ(d/2)(4.9)а коэффициенты ank зависят только от d. Здесь Sd площадь поверхности единичной сферы в d-мерном пространстве и Γ гамма-функцияЭйлера.Константу Zν определим из требования УФ конечности 1PI корреляционной функции Γϕ0 ϕ при нулевой частоте (ω = 0), т.е. конечнапри ε → 0, когда выражена через ренормированные переменные ν и g,определяемые соотношением (4.7). По отношению к векторным индексам функция Γϕ0 ϕ пропорциональна поперечному проектору Pij (p), гдеp внешний волновой вектор.
В дальнейшем мы будем иметь дело со скалярным коэффициентом этого проектора, получаемого сворачиваниеминдексов i и j и делением на Tr P = d − 1. В терминах голых параметровν0 и D0 = g0 ν03 этот скалярный коэффициент при ω = 0 принимает вид−ν0 p2 + сумма вкладов n-петлевых графов, каждый из которых содержит n частей hϕϕi0 линий (4.5) и, соответственно, множитель D0n . Такимобразом, в терминах размерных аргументовTr Γϕ0 ϕ |ω=0= ν0 p2d−1n∞ XD0 S̄d(n)−1 +γϕ0 ϕ32ε32ν0 pn=1"(n)#(4.10)с безразмерными коэффициентами γϕ0 ϕ , которые зависят только от d andε. Множители 32 и S̄d введены в (4.10) для удобства. Чтобы получить167ренормированную функцию Γϕ0 ϕ параметры D0 и ν0 в (4.10) следует выразить через ν, g и µ в соответствии с определениями (4.7), которые не(n)затрагивают коэффициент γϕ0 ϕ .
Удобно так же разделить результат наνp2 , чтобы получить безразмерную величинуTr Γϕ0 ϕ |ω=02ε (1)−22ε 2 (2)=−Z+usγ+(us) γϕ0 ϕ Zν−5 + ...0 ϕ Zννϕ2νp (d − 1)(4.11)with u from Eq. (4.9) and s ≡ µ/p. (ТК с u из (4.9) и s ≡ µ/p.Константа ренормировки Zν определяется из условия сокращения по(1)люсов по ε в соотношении (4.11). В коэффициенте γϕ0 ϕ есть один полюс,(2)а γϕ0 ϕ содержит полюсы ∼ 1/ε и ∼ 1/ε2 и т.д. Для двухпетлевого расчетаZν необходимы вклады(1)A+ B + ...,εC D= 2 + + ...,εεγϕ0 ϕ =(2)γϕ0 ϕ(4.12)(4.13)(1)где многоточие означает несущественные поправки O(ε) в γϕ0 ϕ и O(1) в(2)γϕ0 ϕ .)(n)Обозначая через Zν вклад в константу ренормировки порядка un ∼g n , из условия сокращения расходимостей (полюсов по ε)) в (4.11) получаемZν(1)Zν(2)hi2ε (1)= Lε us γϕ0 ϕ ,hi2 4ε (2)(1)2ε (1)= Lε u s γϕ0 ϕ − 2Zν us γϕ0 ϕ ,(4.14)(4.15)where где Lε обозначает операцию вычитания УФ расходящейся части,которая в данном случае состоит из полюсов по ε.При подстановке соотношения (4.12) в Eq.
(4.14) УФ конечный членB не вносит вклада и коэффициент s2 = 1 + 2ε log s + ... может бытьзаменен на единицу. В результате получаемZν(1) =uA.ε168(4.16)Подставляя это выражение вместе с соотношениями (4.12) и (4.13) в(4.15), найдемZν(2)CDAA= Lε u2 s4ε 2 +− 2u2 s2ε+B .εεε ε(4.17)В членах ∼ 1/ε мы должны сделать замену snε → 1, в то время какво вкладах ∼ 1/ε2 второй член разложения snε = 1 + nε log s + ... дол(2)жен быть сохранен, что дает вклад вида ε−1 log s = ε−1 log(µ/p) in Zν .Присутствие такого члена в Zν неприемлемо, так как константы ренормировки не должны по определению содержать какой-либо зависимостиот волнового числа.
Условие исчезновения члена ∼ ε−1 log s в (4.17))C = A2(4.18)для коэффициентов в соотношениях (4.12) и (4.13).Недавние двухпетлевые вычисления [132] подтвердили, что соотношение (4.18) выполняется. Подставляя его в (4.17),получимZν(2) = u2A2 D − 2AB− 2 +.εε(4.19)Однопетлевой коэффициент A в Eqs. (4.16), (4.17) и (4.19) известен ужедавно)4(d − 1)A=−.d+2Коэффициенты B и D в (4.19) весьма нетривиальны, но для них в [132]были получены интегральны представления, используя которые можноих вычислить для любого наперед заданного d.То что условие (4.18) выполняется, накладывая на Zν условие сокращения вкладов ∼ log s является не совпадением, а следствием основныхпринципов теории УФ нормировки. Наиболее важным из них являетсятребование, что все контрчлены должны быть локальны в пространстве(т.е.
полиномиальны по волновым векторам). В модели (4.4) это действительно так , так как контрчлен, приводящий к ренормировке параметраν0 имеет вид νp2 , умноженного на коэффициент, не зависящий от волнового числа, т.е. являющийся полиномиальной функцией p. Поэтому в169данной модели все основные следствия теории УФ ренормировки должны выполняться, в частности, независимость констант ренормировки отволновых чисел во всех порядках теории возмущений, также как и критический скейлинг определяемый РГ уравнением с зависящим от ε критическими размерностями поля скорости ϕ и частоты ω (подробнее см.в разделе 4.1.5))Δϕ = 1 − 2ε/3,Δω = 2 − 2ε/3.(4.20)Это точные выражение без каких-либо поправок более высоких порядковпо ε.
Они являются следствием соотношения (4.7) между константамиренормировки Zg и Zν , которое, в свою очередь, следует из отсутствияренормировки нелокальных вкладов с корреляционной функцией случайной силы в действии (4.4). При реальном ε = 2 величины (4.20) принимают Колмогоровские значения)Δϕ = −1/3,Δω = 2/3.(4.21)Условие (4.18), обеспечивающее независимость констант ренормировкиот волнового числа в MS схеме, может иметь иную форму в других схемах ренормировки. Проиллюстрируем это на примере схемы с точкойнормировки (NP).
В этом подходе константа ренормировки Zν вычисляется из условия нормировки 1PI функции ГринаTr Γϕ0 ϕ |ω=0 (4.22) = −1νp2 (d − 1) p=µв отличие от сокращения полюсов по ε в выражении (4.11) MS схемы.Тогда вместо (4.14) и (4.15) получим)(1)Zν(1) = uγϕ0 ϕ ,Zν(2)=(2)u2 γϕ0 ϕ−(1)2Zν(1) uγϕ0 ϕ1702= uh(2)γϕ0 ϕ−(1)2(γϕ0 ϕ )2i,(4.23)и после подстановки Zν из (4.23) выражение (4.11) принимает видhiTr Γϕ0 ϕ |ω=0(1)(2) 4ε(1) 2 2ε2ε2= −1+u γϕ0 ϕ (s −1)+u γϕ0 ϕ (s −1)−2(γϕ0 ϕ ) (s −1) +O(u3 ).2νp (d − 1)(4.24)В NP схеме константа ренормировки на зависит от в (4.11). В двухпетлевом приближении (4.24) с учетом выражений (4.12) и (4.13) эти полюсыпоявляются в виде ∼ u2 ε−1 log s в некоторых вкладах, и условием ихвзаимного сокращения будет то же самое соотношение (4.18), котороеобеспечивает сокращение ”плохих” вкладов ∼ u2 ε−1 log s in Zν в MS схеме.
Как уже было упомянуто, выполнение условия (4.18) гарантируетсяосновными теоремами теории УФ ренормировки с локальными контрчленами.)MS и NP схемы различаются конечной ренормировкой параметров gи ν, поэтому все физические величины, в частности, критические размерности (4.20), расчитанные по этим схемам совпадают.Критические размерности (4.20) не зависят от d, поэтому для нихпроблема сингулярностей в пределе при d → 2, упомянутая в разделе 4.1.1, не важна.
Однако есть другие физические величины такие какскьюнес фактор, константа Колмогорова, критические размерности разнообразных составных операторов, для которых эта проблема существует. Важно, что для этих величин не существует проблемы аномальногоскейлинга, которую нельзя рассматривать в рамках модели с безмассовой накачки (4.3), в которой нет размерного параметра соответствующего внешнему масштабу турбулентности.Для таких величин , в отличие от (4.20), решение содержит полныеряды вида∞XR(ε, d) =Rk (d)εk ,(4.25)k=0и коэффициенты Rk (d) в пределе при d → 2 проявляют сингулярное поведение типа ∼ (d − 2)−k ∼ Δ−k (2Δ ≡ d − 2), приводя к росту частипоправочных членов при d → 2.
Этот эффект проявляется также и приреальном значении d = 3, поэтому возникает естественное желания просуммировать вклады вида (ε/Δ)k во всех порядках ε-разложения [1,103].Идея такого ”улучшенного ε-разложения” с использованием схемы ло171кальной ренормировки была объяснена в [150], где, однако, многие важные тонкости и детали не были отражены из-за ограничений в объеместатьи. Здесь же мы дадим детальную картину и начнем с доказательства противоречивости схемы ренормировки, предложенной в [1].)4.1.3Построение двойного (ε, Δ) разложения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
