Диссертация (1145286), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Для вычисления констант Z в однопетлевом приближении, выполненном в [151], необходимы только константы A и A0 из (4.54). В то время как для двухпетлевых расчетовтребуются все константы из (4.54) и (4.55).Константы Zν и ZD2 определяются из условия сокращения всех УФрасходимостей (полюсов по ε при Δ/ε = const) в (4.51) и (4.52). Обозначая за Z (n) вклад пропорциональный un ∼ g n по набору переменных u1и u2 , в первом порядке имеемZν(1)(1)= LεhZD2 = −Lε(1,0)u1 s2ε γϕ0 ϕ+(0,1)u2 s−2Δ γϕ0 ϕi,u21 4ε+2Δ (2,−1)(1,0)(0,1)sγϕ0 ϕ0 + u1 s2ε γϕ0 ϕ0 + u2 s−2Δ γϕ0 ϕ0 ,u2183(4.56)и во втором порядкZν(2) = Lεn(2,0)(1,1)(0,2)u21 s4ε γϕ0 ϕ + u1 u2 s2ε−2Δ γϕ0 ϕ + u22 s−4Δ γϕ0 ϕioh(0,1)(1)(1,0) +u1 s2ε γϕ0 ϕ −2Zν(1) + u2 s−2Δ γϕ0 ϕ ZD2 − 2Zν(1) , (4.57)u31 6ε+2Δ (3,−1)(2,0)(1,1)(0,2)sγϕ0 ϕ0 + u21 s4ε γϕ0 ϕ0 + u1 u2 s2ε−2Δ γϕ0 ϕ0 + u22 s−4Δ γϕ0 ϕ0u2hihiu21 4ε+2Δ (2,−1) (1)(1)(1)2ε (1,0)(1)−2Δ (0,1)(1)+ sγϕ0 ϕ0−3Zν + u1 s γϕ0 ϕ0 ZD2 − 3Zν + u2 sγϕ0 ϕ0 2ZD2 − 3Zν.u2(4.58)(2)ZD2= −LεПодставляя выражения (4.54) в (4.56) получим однопетлевой вклад вконстанты ренормировки2u1 0Zν(1)A2,−1 + u1 A01,0 + u2 A00,1 ,u2(4.59)0Коэфициенты A и A были вычислены в [151].
В наших обозначениях:11(1)= (u1 A1,0 + u2 A0,1 ) , ZD2 = −εε1,ζ1=− .ζA1,0 = −1 ,A0,1 =A01,0 = 2 ,A00,1A02,−1 =1,2+ζ(4.60)Выполненный в работах [132, 146–148] двухпетлевой расчет, позволилнайти коэффициенты B и B 0 из (4.54) и C, C 0 , D, D0 из (4.55). Приведем коэффициенты C и C 0 необходимые сейчас:121, C1,1 = −, C0,2 = 2 ,2(2 + ζ)ζ(1 − ζ)2ζ2310=−, C0,2=− 2,(2 + ζ)(3 + ζ) 3 + ζ2ζ13410= −1 ++, C1,1=+.2 + ζ 2ζζ(1 − ζ) 1 − ζC2,0 = 1 −0C3,−10C2,0(4.61)Для того чтобы проверить сокращение ”плохих” вкладов ∼ ε−1 log s в(4.57) и (4.58) нам нужны только вклады ∼ 1/ε2 .
Они определяютсякоэффициентами C и C 0 из (4.55), (4.61) и вкладами A и A0 из (4.54),184(4.59) и (4.60). Подстановка показывает, что все вклады с ε−1 log s в (4.57)и (4.58) сокращаются как и требовалось.Специфичное свойство константы ZD2 состоит в том что она содержит ∼ 1/u2 (см (4.59)). Когда константа ZD2 такого вида подставляетсяв (4.47) в выражении для D20 возникают члены независящие от u2 :ihSd1 2 0−2Δ 302 03 −2ΔD20= u2 µν ZD2 = ν µu2 − u1 A2,−1 +u1 u2 A1,0 +u2 A0,1 +. . . .32ε(4.62)Благодаря таким вкладам условие D20 = 0 не приводит к тривальномузаключению u2 = 0, т.е.
даже нулевому значению голого заряда соответствует нетривиальное значение ренормированного заряда.Многоточие в (4.62) соответствует двухпетлевым (и выше) вкладамs, которые содержат вклады ∼ un /εn−1 с n ≥ 3. В области u ∼ ε (гдерасположена фиксированная точка u∗ , см. раздел 4.1.5) все они одногопорядка по ε как явно видно из однопетлевого вклада в (4.62). Поэтомучтобы определить связь между зарядами u1 и u2 определяемую условиемD20 = 0 (т.е. ZD2 = 0) двухпетлевых поправок к константам Z не достаточно.
Однако это не существенно поскольку в РГ анализе (см. раздел4.1.5) заряды u1 и u2 рассматриваются как независимые.Ниже приведены двухпетлевые выражения для констант ренормировки Zν и ZD2 в схеме MS (детали расчета приведены в [132]):185u1 u2 1+−Zν = 1 −ζ 2ZD24ζ + 32ζ + 15ζ + 322++u1 −u1 u2(2 + ζ) ζ 2 (1 − ζ)(1 − ζ) 221uu1 11u122−u1 2 + 4R, (4.63)+ 2 2 u2 2 +−2 ζζ ζ(1 − ζ)186u1 22u1 u2ζ (13 + 19 ζ)2ζ + 1=1−−+++u1 3 u2 −12 u (2 + ζ)ζ2 (3 + ζ) (2 + ζ) (3 + ζ) (2 + ζ) 2(ζ + 4) (2 ζ + 1)13+31ζ2(4ζ+1)311 34 ζ + 19 + 6 ζ 211+++ 2 2 u2 2−u1 2 −u1 u2 −222(2 + ζ) ζ (2 + ζ) 2 (1 − ζ)(1 − ζ) ζ 2 ζ ζ 32uuu1u11222+ 3 u1 2 + 6−(R − 1 ) , (4.64)+u2 (3 + ζ)(1 − ζ)ζгдеR = −0.168 .Это число было получено при помощи численного вычисления двойного интеграла, через который выражаются все нетривиальные вклады в(4.63) и (4.64).В заключение, приведем аналогичные (4.63) и (4.64) выражения в NPсхеме. В этой схеме константы Z вместо (4.43) определяются нормировочными условиямиTr Γϕ0 ϕ |ω=0 = −1 ,νp2 (d − 1) p=µu1Tr Γϕ0 ϕ0 |ω=0=+ 1,(4.65)32ε4−d−2εgν µ p(d − 1) u2p=µс Γϕ0 ϕ из (4.51) и Γϕ0 ϕ0 из (4.52).
Отсюда следует следующий вид константренормировки:1 313Zν = 1 + − − ζ + c u1 ++c+u2 2ζ2 1 1c−1 1+ −1 −+ 2c − 3ζ + R − 2 +u1 222ζ ζ 22R−2 112+R+c++ 6 + 2c − − 4u1 u2 +−u2 2 ,(ζ − 1) 2ζζ −1 2ζ 2 2ζ(4.66) 2 175u1231− +ZD2 = 1+ c −+ 2 c − − 5 ζ − 2 u1 + c + +(2 + ζ) 2 (2 + ζ) u22 ζ 3531−68 + 2 Rc + 8 1 u1+−+12−2c++33 + ζ 2 + ζ 23+ζ2 + ζ u2 32c − 24+c 111+ 2c − 1 − −+ 3 R − 2 ζ − 10 ++3u1 22ζ 4 + 2ζ ζ2+ζ 51 1c − 4 28 − 6 R 112+R+c+−+16+4c++uu+−−12ζ − 1 ζ 2ζζ −12ζ 2 2ζ187где c ' 0.2274 еще одна константа найденная численным интегрированием.
Можно легко проверить, что выражения (4.66) и (4.67) отличаютсяот (4.63) и (4.64) только на УФ-конечную ренормировку параметров ν,u1 и u2 .В NP схеме, в отличии от MS, ренормированные функции Грина имеют аналитическую зависимость от параметров ε и Δ, т.е. в них нет множителей типа aε + bΔ в знаменателе.В константах Z в MS схеме с фиксированным значением ζ ≡ Δ/ε =const зависимость от ε присутствует только в виде полюсов 1/ε, 1/ε2 ит.д. С другой стороны, в NP схеме константы Z содержат и не расходящиеся вклады ∼ 1, ε, ε2 и т.д. Для вычисления с точностью до ε2 РГфункций и поправочных индексов ω на лучах (4.26) с ζ = Δ/ε = constнужны только члены порядка 1/ε и 1 для однопетлевых вкладов ∼ u вZ, тогда как в двухпетлевом приближении ∼ u2 нужны только члены1/ε2 и 1/ε.
Выражения (4.66) и (4.67) приведены с указанной точностью.4.1.5Уравнения ренормгруппыИспользование ренормированных параметров как таковых не решаетосновной проблемы: большого значения параметра разложения, растущего с ростом числа Рейнольдса. Однако это первый шаг к использованию метода ренормальзиационной группы, который решает эту проблему путем суммирования вкладов теории возмущений.
Рассмотрим вкачестве примера одновременную парную корреляционную функциюhϕi (t, x)ϕj (t, x0 )i ≡ Gij (r) ,r ≡ x − x0 ,(4.68)которая будет наиболее интересна нам в дальнейшем. ПреобразованиеФурье этой функции может быть записано в видеGij (p) = Pij (p)G(p),(4.69)где Pij (p) – поперечный проектор и p ≡ |p|. Из соображений размерностиможно получить следующее представление для скалярой функции G(p)188из (4.69):G(p) = ν 2 p−d+2 R(s, g1 , g2 ),s=µ,p(4.70)где R это безразмерная функция от безразмерных аргументов. Мы хотимвычислить G(p) в инерционном интервале волновых чисел p. Посколькув рассматриваемой модели (4.3) внешний масштаб турбулентности положен бесконечности, это соответствует области s = µ/p 1.
РазложениеG(p) содержит степени параметра s чьи показатели растут до бесконечности, поэтому такое представление не подходит для поиска асимптотического поведения s → ∞. Напомним как это решается при помощиметода ренормгруппы.Поскольку поля Φ = {ϕ, ϕ0 } в данной модели не ренормируются,ренормированная функция W R отличается от неренормированной W =hΦ . . .
Φi только выбором переменных и видом разложения(g1 и g2 вместоg10 и g20 ), можно написатьW R (g1 , g2 , ν, µ, . . . ) = W (g10 , g20 , ν0 , . . . ) .Здесь e0 ≡ {ν0 , g10 , g20 } набор голых параметров, а e ≡ {ν, g1 , g2 } ихренормированные аналоги, многоточие соответствует аргументам не затронутым ренормировкой, таким как координаты, времена и т.п. Неренормированные функции W не зависят от µ, тогда как ренормированные функции W R зависят из за введения µ в соотношениях ренормировки (4.47). Нехависимость от µ функций W соответствует уравнениюeµ W = 0.
Здесь и далее Deµ ≡ µ∂µ при фиксированных параметрах e0 .Deµ W = 0 записаное в терминах ренормированной функцииУравнение DW R = W и ее аргументов e, µ и есть основное уравнение РГeµ W R (g, ν, µ, . . . ) = DRG W R (g, ν, µ, . . . ) = 0,D(4.71)eµ выраженная в терминах ренормированных переменных:где DRG это DDRG ≡ Dµ + β1 ∂g1 + β2 ∂g2 − γν Dν ,189(4.72)где Dx ≡ x∂x для любой переменной x. РГ функции (аномальные размерности γ и β функции) в (4.72) определяются следующим образомeµ ln Zaγa ≡ Deµ gi , ,βi ≡ Da ≡ {ν, g1 , g2 , D2 }i = 1, 2.(4.73)Член с Dν в (4.71) записан с учетом соотношения (4.47) для ν и определения γν (4.73). Из (4.73) соотношений (4.47) следуетβ1 (g1 , g2 ) = g1 [−2ε − γg1 (g1 , g2 )] ,β2 (g1 , g2 ) = g2 [2Δ − γg2 (g1 , g2 )] ,γg1 = −3γν ,(4.74)(4.75)γg2 = γD2 − 3γν .Мы интересуемся ИК асимптотикой (малыми значениями волновых векторов p и частот ω) ренормированной функции W R или, что эквивалентно, большими расстояниями и разностями времен в (t, x) представлении (статические объекты типа (4.68) - (4.70) не зависят от t или ω).Она определяется ИК устойчивой фиксированной точкой g∗ , в которойβ(g∗ ) = 0 для всех β функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
