Диссертация (1145286), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Дляконстанты Колмогорова, вычисленной по 4.102) для d = 3, это приводитк результату, приведенному в Табл. 4.1.В таблице 4.1 для сравнения приведены значения константы Колмогорова, вычисленные по (4.102) в первом и втором порядке обычного εразложения (Cε ), двойного ε, Δ разложения (Cε,Δ ), вклад Cδ в (4.102)из поправки δQn в (4.109) и величину Cef f , полученную из соотношений(4.102) and (4.109). Во всх случаях рекомендованное экспериментальноезначение константы Колмогорова Cexp = 2.01 [162] лежит между величинами первого и второго приближения. Однако, разница между этими величинами весьма существенна как в ε разложении,так и в (ε, Δ) разложении, не говоря уже о ведущих членах ε разложения of the latter.
Однакодля улучшенного ε разложения , т.е. для величины Cef f = Cε +Cε,Δ −Cδ ,вычисленной в соответствии с (4.109) and (4.102), эта разница примернов три раза меньше и имеет гораздо лучшее согласие с экспериментальными данными.4.1.7ОбсуждениеМы провели детальное сравнение двух схем ренормировки для стохастической задачи Навье-Стокса вблизи размерности 2. С помощью точного двухпетлевого расчета показано, что нелокальная схема [1] не может быть согласовано использована за рамками ведущего однлпетлевогоприближения.
Напротив, наши двухпетлевые результаты подтверждают202согласованность схемы локальной ренормировки [151] , основанной наобщих принципах теории УФ нормировки.Представленный в данной главе детальный двухпетлевой анализ разных схем ренормировки важен, поскольку несогласованная модель ренормировки нелокальных членов продолжает появляться в литературе [163, 164].Правильный выбор схемы ренормировки имеет определяющее значение для надлежащего учета влияния на структурные функций дополнительных сингулярностей, появляющихся в теоретико-полевых моделяхв пределе при d → 2. Используя согласованную схему ренормировкипоказано, что надлежащий учет "ближайших сингулярностей"в коэффициентах ε разложения (4.104) приводит к существенному улучшениюрезультатов двухпетлевых РГ рассчетов при d = 3.
Также проанализировано влияние этой процедуры при других d. Оказалось, что даннаяпроцедура существенно уменьшает относительный вклад двухпетлевыхпоправок во всем рассматриваемом интервале ∞ > d ≥ 2.5. В то жевремя, этот вклад остается большим при d = 2, что, как мы полагаем, связано с влиянием сингулярностей при следующей исключительнойразмерности d = 1.)Предложенная процедура приблизительного суммирования ε разложения является, конечно, применимой не только для расчета Q(ε), нои для всех универсальных величин, таких как размерности составныхоператоров.4.24.2.11/d разложение в теории турбулентности.Вычисление константы КолмогороваКак и в разделе 4.1.6 вычисление константы Колмогорова будет основано на соотношении (4.102).
Упрощение диаграмм при расчетах в ведущем порядке по 1/d базируется на соображениях, аналогичных использованным в разделе 3.4.3. Дополнительной сложностью при вычисленииконстанты Колмогорова по сравнению с константами ренормировки со203стоит в том, что в диаграммах для парного коррелятора, необходимыхдля вычисления константы Колмогорова число линий ϕϕ не совпадает с числом интегрирований.
Эта трудность была преодолена в работах [145, 144, 139]. Вычисление в этих работах проводились в схеме MS.Ренормированное действие по прежнему имеет вид (4.4).Вычисление константы ренормировки Zν не встречает дополнительных сложностей и даетuu2 (2 + ε) u3 (10 + 9ε + 7ε2 )Zν = 1 −−−+ O(u4 ),238ε128ε3072ε(4.110)Аномальная размерность γν , получается отсюда равнойγν (u) =1 27 31u+u +u + O(u4 )432512(4.111)Используя (4.111) и решая уравнение β(u∗ ) = 0 получим координатуфиксированной точки:u∗ =884ε − ε2 − ε3 + O(ε4 ).399(4.112)Для поправочного индекса ω получаем выражениеω = β 0 (u∗ ) = 2 ε +2 2 10 3ε +ε + O(ε4 )39(4.113)совпадающее с (3.250).Вычисление константы Колмогорова согласно разделу 4.1.6, требуетвычисления парного коррелятора. Иcпользуемыq прием его расчета подробно описан в статье [139].
Проиллюстрируем его на диаграмма изображенное на рисунке 4.3.qpk1Рис. 4.3. Пример двухпетлевой диаграммы.204Зависимость от внешнего импульса p этой диаграммы определяетсявыражениемAJ(p) = d−2+6ε ,(4.114)pзадача состоит в вычислении амплитуды A. Проблема в том, что одна излиний ϕϕ диаграммы имеет составной импульс p−k1 Для ее преодоленияиспользуем следующий прием.
Проинтегрируем обе части соотношения(4.114) с достаточно хорошей функцией F (p2 ), не зависящей от d. Тогдаамплитуду A можно представить в видеRRdpJ(p)F (p2 )dpJ(p)F (p2 )RA=R=(4.115)dpp2−d−6ε F (p2 ) Sd dpp1−6ε F (p2 )Подставляя в числитель в (4.115) выражение, определяемое диаграммой и переходя от интегрирования по p к интегралу по k2 = p − k1 , получаем интеграл с простыми импульсами на линиях ϕϕ, который стандартным образом сводится к трехкратному интегралу по модулям импульсов k1 , k2 , q, независящему от d.
Теперь необходимо сделать заменупеременных, чтобы сократить знаменатель в (4.115). Для этого будемрассматривать k1 , k2 как декартовы составляющие двумерного вектораK, аргумент функции тогда принимает вид F (k12 + k22 ) = F (K 2 ). Переходя при интегрировнии по K к полярной системе координат, а вместо q кбезразмерной переменной w = q/K? получаем в числителе множителемR∞интеграл 0 dKK 1−6ε F (K 2 ), совпадающий с интегралом в знаменателе(4.115).Окончательный результат вычисления скейлинговой функции имеетвид1uR(1, u) = +2 161π2u2 π 2+ε 1−++ ...,26384(4.116)с точностью до членов высшего порядка по u ∼ ε. Подставляя в этовыражение координаты неподвижной точки, получаемR(1, u∗ ) = 1/2 + ε/12 + (5/36 − π 2 /108)ε2 + O(ε3 )205(4.117)Для вычисления константы Колмогорова согласно общей схеме, необходимо рассчитать величинуQ(ε) = [4(d − 1)u∗ /9]1/3 A(ε) R(1, u∗ ),(4.118)где A(ε) дается выражениемΓ(2 − 2ε/3)Γ1/3 (d/2)Γ2/3 (d/2 + ε)A(ε) =.Γ(d/2 + 2ε/3)Γ2/3 (2 − ε)(4.119)Используя формулу Стирлинга, в пределе d → ∞ находимA(ε) = 21Γ(2 − 2ε/3)21−π/6ε + O(ε3 ).=1+2/39Γ (2 − ε)(4.120)Подставляя (4.112), (4.117) и (4.120) в (4.118), получаем(4εd)1/3Q(ε) =3ε1++1849π2 2−ε + O(ε3 ) .162 27(4.121)Константа Колмогорова CK и скьюнес фактор S получаются из(4.102), с заменой d(d + 2) → d2 в первом из соотношений.
Таким образом в ведущем порядке асимптотики больших d получим CK ∝ 1/dи S ∝ 1/d1/2 . Несмотря на то, что эти результаты соответствуют пределу больших d, можно воспользоваться ими для того чтобы оценитьконстанту Колмогорова в физической размерности пространства d = 3.Поставляя (4.121) во второе из соотношений (4.102) и полагая ε = 2 иd = 3 получим S ' −0.73, тогда как рекомендованным в [161] значениемявляется S ≈ −0.28. Естественно сложно ожидать лучшего совпадениябез учета старших поправок разложения, поэтому достаточно удивительно, что для константы Колмогорова ситуация существенно лучше.Подставляя первое, второе и третье приближения из в первое соотношение (4.102), при ε = 2 и d = 3 получим:(1)CK ≈ 1.75,(2)CK ≈ 1.94,(3)CK ≈ 1.50,Все эти значения находятся в разумном согласии с экспериментальнойоценкой CK ≈ 1.9 рекомендованной в [161].2064.2.2Стохастическая модель турбулентного переноса пассивного векторного поля4.2.2.1Ренормировка, критические размерности.Перенос пассивного поперечного векторного поля θi полем турбулентных пульсаций vi описывается уравнением∇t θi + ∂i P = κ0 ∂ 2 θi + ηi ,∇t ≡ ∂t + (vk ∂k ),(4.122)где P (x)– давление, κ0 – коэффициент диффузии, ηi (x) – поперечнаягауссова случайная сила с нулевым средним и корреляторомhηi (x)ηk (x0 )i = δ(t − t0 ) Cik (r/L).(4.123)Параметр L – интегральный масштаб шума, Cik – безразмерная функция, конечная при r = 0 и быстро убывающая при r → ∞.
Поле viудовлетворяет стохастическому уравнению Навье-Стокса (4.1), поле θi внего не входит (пассивность примеси).Стохастическая задача (4.122), (4.123), (4.1), (4.2) эквивалентнаквантово-полевой модели с удвоенным числом полей Φ = {v, v 0 , θ, θ0 }с действиемS(Φ) = Sv (v0 , v) + θ0 Dθ θ0 /2 + θ0 −∇t + κ0 ∂ 2 θ,(4.124)где D0 – коррелятор шума (4.123), а Sv – действие, описывающее полетурбулентных пульсацийSv (v0 , v) = v 0 Dv v 0 /2 + v 0 −∇t + ν0 ∂ 2 v,(4.125)Роль зарядов играют ранее введенный заряд g0 = D0 /ν03 и безразмерныйзаряд u0 = κ0 /ν0 – аналог обратного числа Прандтля.Анализ показывает, что с учетом галилеевой инвариантности модели, а также ее симметрии по отношению к сдвигу θ → θ + const, УФрасходимости присутствуют только в 1-неприводимых функциях hv 0 viи hθ0 θi, а соответствующие контрчлены имеют вид v 0 ∂ 2 v и θ0 ∂ 2 θ.
Они207воспроизводятся мультипликативной ренормировкой параметровν0 = νZν ,κ0 = κZκ ,g0 = gµ2ε Zg ,Zg = Zν−3(4.126)Однопетлевой расчет дает:(d − 1) 1+ O(g 2 ),4(d + 2) 2ε1(d2 − 3)Zκ = 1 − g S̄d+ O(g 2 ),2d(d + 2) 2εu(u + 1)Zν = 1 − g S̄d(4.127)где S̄d = Sd /(2π)d и Sd ≡ 2π d/2 /Γ(d/2) площадь поверхности единичнойd-мерной сферы.Бета-функции модели имеют вид:eµ g = g[−2ε + 3γν ],βg = Deµ u = u[γν − γκ ],βu = D(4.128)где аномальные размерности γν и γκ определяются константами ренормировки (4.127)(d − 1)+ O(g 2 ),4(d + 2)2(d − 3)1γκ = g S̄d+ O(g 2 ).2d(d + 2) u(u + 1)γν = g S̄d(4.129)Решая уравнения βg (g ∗ ) = 0, βu (g ∗ , u∗ ) = 0, находим, что ИК притягивающей неподвижной точке соответствуют корниg∗ S̄d = 2ε4(d + 2)+ O(y 2 )3(d − 1)2(d2 − 3)u∗ (u∗ + 1) =+ O(y).d(d − 1)(4.130)(4.131)Связь констант ренормировки Zg = Zν−3 в (4.126) приводит к тому,что критические размерности γν∗ и γκ∗ определяются точноγν∗ = γκ∗ =2082ε3(4.132)т.е.
не имеют поправок ∼ ε2 и т.д. Это приводит к тому, что точно определяется и критическая размерность поля θ (как ранее и критическаяразмерность поля v)εΔθ = −1 +(4.133)34.2.2.2Структурные функции. Аномальный скейлинг какследствие наличия опасных составных операторов.Структурная функция n-го порядка определяется равенствомS2nD E0 2n= θ|| (t, x) − θ|| (t, x )(4.134)где r = x − x0 , θ|| = θi ri /r. В ИК-области ренормгруппа предсказываетследующее поведение структурных функцийS2n ' D0−n r−2Δθ F2n (r/L)(4.135)Нас интересует поведение структурных функций в области r << L инерционный интервал.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
