Диссертация (1145286), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Но, на самом деле, уничтожениеУФ расходимостей (полюсов по ε)) во всех порядках теории возмущенийявляется не капризом, а настоятельной необходимостью. Если такие полюса остаются, то нет гарантии, что результаты, полученные в низшемпорядке теории возмущений не будут включать в себя поправок того жепорядка величины от членов более высокого порядка, т.е. вычисленияв низшем порядке становятся полностью недостоверными. Поэтому вывод [1] о том, что соотношения (4.20) нарушаются в (ε, Δ) схеме являетсянекорректным; во внутренне согласованной схеме ренормировки [151] этисоотношения продолжают выполнятся.Теперь кратко обсудим возможность использования нелокальной ренормировки в NP схеме. Соотношения (4.27) в этом случае сохраняются,а две независимые константы ренормировки Zν и ZD2 должны быть определены из следующих условий ренормировки при p = µ для 1PI функцийΓϕ0 ϕ (4.28) и Γϕ0 ϕ0 (4.29):)Tr Γϕ0 ϕ |ω=0 = −1 ,νp2 (d − 1) p=µTr Γϕ0 ϕ0 |ω=0= 1.gν 3 µ2ε p4−d−2ε (d − 1) p=µ(4.43)Проблема зависимости констант ренормировки от волновогоо числа вэтом случае отсутствует.
Однако следует проверить, что условия (4.39)и (4.40) остаются необходимыми, чтобы убедиться в отсутствии УФ расходящихся (при ε → 0) вкладов ∼ u2 ε−1 log(µ/p) в ренормированных178функциях Грина Γϕ0 ϕ и Γϕ0 ϕ0 для произвольных значений волнового числа p.(2)В заключение укажем на то, что ”плохие” вклады (4.42) в ZD исчезают при ζ = −1, т.е. при Δ = −ε в (4.26). Тогда d = 2 + 2Δ = 2 − 2ε инакачка энергии становятся локальной: df ∼ p4−d−2ε = p2 (Такая модельрассмотрена в [155]). В этом случае мультипликативная ренормировка(4.27) удовлетворяет требованию локальности контрчленов и независимости соответствующих констант Z от log s в соответствии с общей теорией.4.1.4Построение (ε, Δ) разложения в двузарядноймодели с локальными контрчленами. Расчетконстант ренормировки в двухпетлевом приближении.В предыдущем разделе было показано, что в (ε ,Δ) схеме (4.26)мультипликативна ренормировка амплитуды D0 в (4.3) неприемлема.Причина состоит в том, что контрчлен со структурой (4.3) нелокален∼ k 4−d−2ε = k 2−2Δ−2ε на лучах (4.26).Руководствуясь общей теорией УФ ренормировки, авторы [151] предложили другую схему, в которой используются локальные контрчлены∼ k 2 вместо нелокальных ∼ k 2−2Δ−2ε , чтобы поглотить сингулярностиграфов 1PI функции Γϕ0 ϕ0 .
Это соответствует добавлению члена ∼ ϕ0 ∂ 2 ϕ0в функционал действия. В функционале (4.4) с корреляционной функцией D из (4.2) и (4.3) такого члена нет, так что при добавлении члена∼ ϕ0 ∂ 2 ϕ0 ренормировка становится мультипликативной. Это не существенно, если нашей единственной целью является устранение расходимостей из функций Грина, что вполне возможно и при немультипликативной ренормировке. Однако, для того чтобы использовать стандартную технику РГ, мультипликативная ренормировка необходима. Поэтому авторы [151] предложили рассматривать двузарядную модель, в которой к функции (4.3) ∼ k 4−d−2ε = k 2−2Δ−2ε добавлен член ∼ k 2 с неза-179висимым коэффициентом:df (k) = D10 k 2−2Δ−2ε + D20 k 2 = g10 ν03 k 2−2Δ−2ε + g20 ν03 k 2 .(4.44)Здесь, амплитуда D0 в (4.3) обозначена D10 .
Параметры g10 и g20 , введенные в (4.44) играют роль двух независимых голых заряда.Вклад с D20 в соотношении (4.44) соответствует тепловым флуктуациям. Модель только с этим членом была проанализирована ранее [155].В теории турбулентности в качестве “реального значения” этого параметра следует рассматривать D20 = 0 , так как только первый член в(4.44) при ε = 2 отражает реальную для теории турбулентности накачкуэнергии вихрями большого масштаба. Ниже будет показано, что исчезновение голого параметра g20 = D20 ν0−3 = 0 не подразумевает исчезновениесоотвествующего ренормированного параметра g2 , так что в терминахренормированных параметров функция (4.44) приводит к двузарядноймодели.Неренормированное действие как и прежде функционал, но с функцией накачки (4.44) вместо (4.3) в корреляционной функции (4.3).
Вкраткой записи1S(Φ) = ϕ0 (D10 k 2−2Δ−2ε + D20 k 2 )ϕ0 + ϕ0 [−∂t ϕ + ν0 ∂ 2 ϕ − (ϕ∂)ϕ] . (4.45)2Пропагаторы hϕϕ0 i0 и hϕ0 ϕ0 i0 соответствующие действию (4.45) сохраняют прежний вид (4.5), в то время как hϕϕi0 заменяется на(D10 k 2−2Δ−2ε + D20 k 2 )20exp−νk|t−t|.hϕϕi0 =02ν0 k 2(4.46)Нас интересует область ε > 0 и Δ > 0 в (4.26). В этой области в модели (4.45) появляется дополнительная проблема ”Λ расходимостей”, которой не было в модели (4.4) с функцикй накачки (4.3). РассмотримRэто подробнее.
Интегралы по импульсам – в краткой записи dk . . . –соответствующие обсуждаемым диаграммам, всегда сводятся к ”почтилогарифмическим” в данном наборе моделей. Их отклонение от логарифмичности проявляется в виде множителей типа k α с малым показателемα = 2mΔ − 2nε. Показатель α может быть вычислена с помощью следу180ющего простого правила: каждое интегрирование по волновому векторудает вклад 2Δ в α, член с D10 из (4.46) дает вклад −2ε − 2Δ, а членс D20 не дает вклада в α. Можно легко увидеть, что если в (4.44) оставить только нелокальный член с D10 (т.е.
вернуться к модели (4.3)) всепоказатели α для диаграмм Γϕ0 ϕ и Γϕ0 ϕ0 при ε > 0 и Δ > 0 становятся отрицательными. Все интегралы сходятся при k → ∞ и могут быть взятыпо всему пространству волновых векторов (без дополнительного обрезания), а расходимости проявляются как полюса по ε, Δ и их линейныхкомбинаций.Однако в модели с накачкой (4.44) – из-за наличия членов с D20 – приΔ > 0 возникают интегралы с α > 0. Они расходсятс в пределе k → ∞и тем самым требуют введения УФ обрезания Λ.
В качестве примераприведем значения α для интересующих нас диаграмм. В однопетлевыхдиаграммах Γϕ0 ϕ : α = −2ε, 2Δ; в двухпетлевых: α = −4ε, −2ε + 2Δ, 4Δ;в однопетлевых диаграммах Γϕ0 ϕ0 : α = −4ε−2Δ, −2ε, 2Δ; в двухпетевых:α = −6ε − 2Δ, −4ε, −2ε + 2Δ, 4Δ.Таким образом в двузарядной модели (4.44) при Δ > 0 (всегда подразумевается что ε > 0) некоторые интегралы имеют Λ расходимости прибольших k. Чтобы устранить данные расходимости необходима дополнительная процедура Λ ренормировки. В данный момент важно, что послеΛ ренормировки может быть взят предел Λ → ∞ и после этого расходимости будут проявляться в виде полюсов по ε, Δ и их комбинациям.
Теже самые полюса могут быть найдены с использованием ”формальнойсхемы”, где все интегралы понимаются как аналитическое продолжениепо параметрам ε и Δ из области где нет Λ расходимостей.В нашем случае это область с ε > 0 и малыми (по сравнению с ε)отрицательными Δ < 0 (т.е. d < 2). Далее мы будем рассматривать результаты полученные в ”формальной схеме”. В ней нет УФ обрезания Λ,но расходимости проявляются в виде полюсов по ε при Δ/ε = const. Целью перенормировки является устранения данных полюсов.
Результатыполученые таким образом совпадают с результатами при Δ > 0 после Λренормировки и последующего перехода к Λ → ∞.181Соотношения мультипликативной ренормировки в формальной схемеимеют видeD10 = g10 ν03 = g1 µ2ε ν 3 ,g10 = g1 µ2ε Zg1 ,D20 = g20 ν03 = g2 µ−2Δ ν 3 ZD2 , g20 = g2 µ−2Δ Zg2 ,ν0 = νZν ,(4.47)Zg1 Zν3 = 1, Zg2 Zν3 = ZD2 ,с двумя независимыми константами ренормировки (вязкости ν0 и амплитуды D20 ), амплитуда D10 не ренормируется.
Константы ренормировкиZν и ZD2 находятся из условия что 1PI функции Γϕ0 ϕ |ω=0 and Γϕ0 ϕ0 |ω=0УФ конечны (т.е. учитывая Δ/ε = const не содержат полюсов по ε).Безразмерные параметры разложения данных величинα1 ≡D10 S d,32ν03 p2εα2 ≡D20 S d32ν03 p−2Δ(4.48)с S d из (4.9). Вместо соотношения (4.10) теперь имеемXTr Γϕ0 ϕ |ω=0(n ,n ) α1n1 α2n2 γϕ0 ϕ1 2 ,= ν0 p2 −1 +d−1n ≥0,n ≥0,(4.49)12n1 +n2 ≥1и аналогичное выражение для Γϕ0 ϕ0 :XTr Γϕ0 ϕ0 |ω=0(n ,n ) = D10 p2−2Δ−2ε + D20 p2 1 +α1n1 α2n2 γϕ0 ϕ1 2 .d−1n ≥0,n ≥−1,(4.50)12n1 +n2 ≥1В терминах ренормированных переменных соотношения (4.49) и (4.50)приводят к следующим представлениямXTr Γϕ0 ϕ |ω=0(n ,n )= −Zν + Zνα1n1 α2n2 γϕ0 ϕ1 2 ,2νp (d − 1)n ≥0,n ≥0,(4.51)12n1 +n2 ≥1XTr Γϕ0 ϕ0 |ω=0u1 2ε+2Δ(n ,n )= s+ ZD2 + ZD2α1n1 α2n2 γϕ0 ϕ1 0 2 ,3−2Δ2(d − 1)g2 ν µpu2n ≥0,n ≥−1,12n1 +n2 ≥1182(4.52)где параметры разлодения α1 and α2 из (4.48) выражены через ренормированные параметры с использованием соотношений (4.47):α1 = u1 s2ε Zν−3 ,α2 = u2 s−2Δ ZD2 Zν−3(4.53)Здесь, u1 = g1 S d /32, u2 = g2 S d /32 и s ≡ µ/p.
Зависимость от ε коэф(n ,n )(n ,n )фициентов γϕ0 ϕ1 2 и γϕ0 ϕ1 0 2 в (4.51) и (4.52) определяется соотношениямивида (4.33) и (4.34), в которых зависящие от ζ = Δ/ε коэффициенты A,B, C, D, A0 , B 0 , C 0 и D0 теперь имеют индексы (n1 , n2 ) соответствующиеγ (n1 ,n2 ) . В однопетлевом приближении, аналогично (4.33), необходимо вычислитьA0i,kAi,k(i,k)(i,k)0γϕ0 ϕ =+ Bi,k ,γϕ0 ϕ0 =+ Bi,k,(4.54)εεдля следующего набора индексов: (i, k) = {(1, 0), (0, 1)} для γϕ0 ϕ и(i, k) = {(2, −1), (1, 0), (0, 1)} для γϕ0 ϕ0 . В двухпетлевом приближениисоотношения аналогичные (4.34) включают в себя(i,k)γϕ0 ϕCi,k Di,k= 2 +,εε(i,k)γϕ0 ϕ000Ci,kDi,k= 2 +,εε(4.55)с индексами (i, k) = {(2, 0), (1, 1), (0, 2)} для γϕ0 ϕ и (i, k) ={(3, −1), (2, 0), (1, 1), (0, 2)} для γϕ0 ϕ0 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
