Диссертация (1145286), страница 23

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 23)

При фиксированном n коэффициенты ε-разложения факториально растут, а коэффициенты (1/n)разложения имеют конечный радиус сходимости как и ряды по ε [9]. Внастоящее время в теории турбулентности известен только третий порядок по ε в двойном (ε, 1/d)-разложении при d → ∞.

Однако результаты,полученные в данной работе и в [139] выявили некоторые упрощения в этих разложениях. Из уравнений (3.249) и (3.250) следует, чтоиррациональный вклад в u∗ с ln 2 (заряд в фиксированной точке зави159сит от схемы ренормировки) исчезает в физическом значении индексаω. Вклады некоторых диаграмм пропорциональные ln2 2 , π 2 , dilog(3/2),которые являются типичными для рядов критической показателей в моделях критической динамики, сокращаются в полной сумме диаграмм.Коэффициенты в (3.250) являются рациональными числами. Это даетвозможность просуммировать ряды и найти функцию γν (ε) при d → ∞без использования ε-разложения.160Глава 4Исследованиестохастической моделитурбулентности впространствах различнойразмерностиВ данной главе приведены результаты исследования стохастическойтеории турбулентности.При выполнении ренормгрупповых расчетов в трехмерной теориитурбулентности было замечено, что часть диаграмм дает подавляющийвклад в РГ функции.

Этот факт связан с тем, что данные диаграммыимеют расходимости в двумерном пространстве (полюса по Δ в пространстве размерности d = 2+2Δ). Предложенное в работе улучшенное εразложение позволяет последовательно суммировать такие вклады, чтосущественно улучшает сходимость теории возмущений и дает хорошеесогласие с экспериментом для константы Колмогорова.Рассмотрена стохастическая теория турбулентности в пространствахвысокой размерности.1/d разложение является альтернативой теориитурбулентности в ”реальном” пространстве d = 3.

Предполагается, чторазмерность пространства d → ∞ является критической для теории тур161булентности – аномальный скейлинг исчезает и становится справедливатеория Колмогорова (аналог d = 4 в ϕ4 модели). Поэтому исследованиепредела d → ∞ представляется очень важным, особенно если удастся построить 1/d разложение для произвольного ε. В рамках данногоподхода произведено вычисление ведущих по 1/d вкладов в константуКолмогорова, бета функцию и поправочныы индекс в третьем порядке теории возмущений.

Также рассмотрена проблема аномального скейлинга в модели турбулентного переноса пассивного векторного поля, являющейся наиболее близкой к теории турбулентности моделью. Дажев такой относительно простой модели, это оказывается весьма нетривиальной проблемой из-за смешивания большого количества составныхоператоров, тем не менее, полученные результаты оставляют надеждуна решение проблемы аномального скейлинга в теории турбулентностив рамках данного подхода. Результаты этих исследований опубликованыа работах [142–145, 139, 146–148, 132]4.14.1.1Улучшенное ε-разложение для трехмерной турбулентностиВведениеМетод ренормгруппы в теории турбулентности позволяет вычислятьразнообразные физические величины - критические показатели и отношение универсальных амплитуд - в форме разложения по малому параметру ε.

Однако реальная величина этого параметра не мала, что приводит к оправданным сомнениям о пригодности этого метода для приемлемых численных оценок изучаемых величин. До сих пор вычисления проводились только в простейшем (однопетлевом) приближении, поэтомубыло невозможно оценить как следующие за ведущим члены разложения в действительности соотносятся с с ведущим членом при реальныхзначениях параметра ε. В работах [132] and [149] эта проблема была проанализирована на примере вычисления скьюнес-фактора и константыКолмогорова в инерционном интервале.

Вычисления показали, что относительный вклад двухпетлевых поправок в действительности велик,162порядка 100 % при размерности пространства d = 3. Однако этот вкладбыстро уменьшается с ростом d = 3: уже для d = 5 он составляет только30 %, а в пределе при d → ∞ доходит до 10 %. Если же размерностьпространства уменьшается от d = 3 до d = 2, наблюдается большой ростпоправочного члена.Анализ зависимости коэффициентов ε-разложения от размерностипространства выявил, что это свойство связано с расходимостью некоторых графов в пределе при d → 2, а сингулярности по d−2 ≡ 2Δ накапливаются с ростом порядка теории возмущений. Именно вклад этих графовдает большую величину поправочного члена и при d = 3.

Так что удовлетворительные количественные результаты могут быть ожидемы толькопосле суммирования, по крайней мере приблизительного, вкладов большинства сингулярных графов во всех порядках теории возмущений. Такое суммирование было выполнено в [150] с помощью дополнительнойрекормировки и двойного разложения по ε и Δ. В результате произошлозначительное относительное уменьшение поправочного члена и улучшилость совпадение с экспериментом. Вычисление в [150] были выполненыв двухпетлевом приближении как для обычного ε-разложения, так и длядвойного (ε, Δ) разложения. Эти разложения использовались как дополняющие друг друга для того чтобы получить конечный результат, чтоотличает подход в [150] от [1, 103], в которых были выполнены толькооднопетлевые вычисления в (ε, Δ) разложении.В работе [1], где впервые двойное разложение было применено встохастической модели Навье-Стокса, метод устранения расходимостейбыл, на первый взгляд, естественной мультипликативной ренормировкойнелокальных корреляционных функций случайной силы (в дальнейшембудем называть его нелокальной схемой).

В работе [151] была использована другая схема ренормировки, основанная на общем утверждениитеории УФ ренормировки, состоящем в том, что контрчлены локальны.В однопетлевом приближении, которым ограничились авторы [1, 103],возможно убрать расходимости графов как в нелокальной [1], так и влокальной [151] схеме ренормировки, так что на этом уровне оба приближения могут считаться приемлемыми. Однако это не так уже в двухпетлевом приближении.

Далее мы покажем, что схема ренормировки [1]не годится для для двухпетлевых расчетов, поскольку в этой схеме двух163петлевые вклады в константы ренормировки имеют неприемлимую зависимость от внешних волновых векторов, в то время как в схеме локальной ренормировки [151] этого не происходит. Вид последней схемы болеесложный, и может возникнуть сомнение в необходимости ее использования, тем более, что аргументация в ее пользу требует обсуждения такназываемой Λ ренормировки (аналогичной сдвигу критической температуры в теории критических явлений).

Ниже будет проведен детальныйанализ этих моментов, а также даны технические детали метода, позволившего получить двухпетлевые результаты анонсированные в RapidCommunication [150].В разделе 4.1.2 мы рассмотрим основные особенности (теоретикополевой) процедуры ренормировки и последующий асимптотическийанализ в двухпетлевом приближении в размерности больше двух. В разделе 4.1.3 приведена подробная аргументация того, почему мультипликативная нелокальная ренормировка не применима во двухпетлевом порядке двойного разложения.

В разделе 4.1.4 показана применимость схемылокальной двузарядной ренормировки на примере результатов двухпетлевых вычислений в пространстве с размерностью d ≤ 2 , для которыхбезусловно верна простейшая комбинированная схема аналитический иразмерной ренормировки.Чисто технические вопросы возможности аналитического продолжения результатов, полученных для d ≤ 2 в областьразмерности больше двух обсуждены в приложении.

РГ-уравнения выведены в разделе 2.2.1.5, там же приведены их двухпетлевые решениядля асимптотического анализа в инерционнм интервале. Детали методарасчета универсальных констант и улучшеного ε-разложения приведеныв разделах 4.1.6. Sec. 4.1.7)4.1.2Ренормировка модели в фиксированном пространстве размерности d > 2Статистическая модель развитой изотропной турбулентности несжимаемой жидкости основана на стохастическом уравнении Навье-Стокса∇t ϕi = ν0 ∂ 2 ϕi − ∂i P + fi ,164∇t ≡ ∂t + (ϕ∂).(4.1)Здесь ϕi (t, x) нерасходящееся поле скорости, P(t, x) и fi (t, x) давлениеи поперечная случайная сила на единицу массы, соответственно, ν0 кинематическая вязкость.

Для случайной силы предполагается Гауссовораспределение с нулевым средним и корреляционной функциейδ(t − t0 )fi (t, x)fj (t0 , x0 ) ≡ Dij (t, x; t0 , x0 ) =(2π)dZdk Pij (k) df (k) exp ik (x − x0 ) ,(4.2)где Pij (k) = δij −ki kj /k 2 оператор поперечного проектора, d размерностьпространства координат. Для функций df (k) в РГ подходе используетсястепенная форма.df (k) = D0 k 4−d−2ε .(4.3)The quantity Величина ε > 0 в уравнении (4.3) играет рольформальногопараметра разложения. Величина, соответствующая физической моделиε = 2, поскольку для ε → 2, D0 ∼ (2 − ε) мы приходим к dF (k) ∼ δ(k),что соответствует вводу энергии бесконечно большими вихрями.Стохастическая задача (4.1) и (4.2) эквивалентна квантовотеоретико-полевой модели с двойным набором поперечных векторныхполей Φ ≡ {ϕ, ϕ0 } и действиемS(Φ) = ϕ0 Dϕ0 /2 + ϕ0 [−∂t ϕ + ν0 ∂ 2 ϕ − (ϕ∂)ϕ],(4.4)где D корреляционная функцмя случайной силы (4.2), и подразумеваются все необходимые интегралы по (t, x) и суммирования по индексамвекторов.

Действие (4.4) приводит к стандартной диаграммной техникес голым пропагатором, (t, k) представление которого будетhϕ(t)ϕ0 (t0 )i0 = θ(t − t0 ) exp −ν0 k 2 (t − t0 ) ,hϕ0 ϕ0 i0 = 0,df (k)20hϕϕi0 =exp−νk|t−t|,02ν0 k 2(4.5)где общий множитель Pij (k) опущен для простоты. Взаимодействиев уравнении (4.4) приводит к трехточечной вершине −ϕ0 (ϕ∂)ϕ =ϕ0i Vijs ϕj ϕs /2с вершинным множителемVijs = i(kj δis + ks δij ), где k вол-165новой вектор поля ϕ0 . Параметром разложения в теории возмущенийявляется константа связи g0 ≡ D0 /ν03 .)Модель (4.4) логарифмическая (т.е.

константа g0 безразмерна) приε = 0. В принято аналитической схеме ренормировки УФ расходимости имеют форму полюсов по ε в корреляционных функциях поляΦ ≡ {ϕ, ϕ0 }. Размерный анализ показывает, что для d > 2 поверхностные УФ расходимости могут быть только в одночастично-неприводимых(1PI) функциях Γϕ0 ϕ и Γϕ0 ϕϕ . Эти расходимости можно удалить контрчленами)ϕ0 ∂ 2 ϕ ,ϕ 0 ∂t ϕ ,ϕ0 (ϕ∂)ϕ(4.6)в действии. Однако из-за симметрии в модели (4.4 размерный анализдопускает только один контрчлен. Во-первых, пространственная производная, действующая на поле ϕ может быть перенесена на поле ϕ0 спомощью интегрирования по частям.

Характеристики

Список файлов диссертации