Диссертация (1145286), страница 19

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 19)

Zf = 1 [9]1293.3.7.3Выражение РГ-функций через ренормированные 1неприводимые функции с помощью уравнений ренормгруппы.Наиболее прямолинейный способ выразить РГ функции через ренормированные 1-неприводимые состоит в использовании уравнений ренормгруппы. Эти уравнения для функций ΓRn = RΓn имеют вид [9]R(µ∂µ + β∂g − γm2 m2 ∂m2 )ΓRn = nγϕ Γn ,i = 1, 2, 3 .(3.129)Для нормированных функций (3.15) из (3.129) получаемµ∂µ + β∂g − γm2 m2 ∂m2 − γi Γ̄Ri = 0,i = 1, 2, 3 ,(3.130)гдеγ1 = γm2 + 2γϕ ,γ2 = 2γϕ ,γ3 = γg + 3γϕ .Перейдем в (3.130) к точке нормировки m = µ. При любом g, согласноR(3.18), Γ̄Ri |m=µ = 1, откуда ∂g Γ̄i |m=µ = 0. Учитывая, что безразмерные22R2Rфункции Γ̄Ri зависят от отношения µ /m , находим µ∂µ Γ̄i = −2m ∂m2 Γ̄i .Вводя обозначение Fi = −(m2 ∂m2 Γ̄Ri )|m=µ , из (3.130) получаем(2 + γ1 − γ2 ) Fi = γi ,Fi = −(m2 ∂m2 Γ̄Ri )|m=µ ,i = 1, 2, 3 .

(3.131)Из системы уравнений (3.131) находим:γi =2Fi,1 + F2 − F1i = 1, 2, 3.(3.132)Эти соотношения, схожие по форме с (3.42), также позволяют выразитьРГ функции через ренормированные 1-неприводимые функции. Отличие состоит в порядке применения R-операции и дифференцирования∂m2 ...|m=µ в функциях fi и Fi . Для fi из (3.103) R-операция действует напродифференцированную диаграмму, в которой уже положено m = µ,поэтому операция K имеет простой вид (3.22), позволяющий воспользоваться для R-операции конструктивным представлением (3.3).

Для Fiиз (3.131) необходимо вначале продифференцировать ренормированнуюдиаграмму, в которой операция K дается выражением (3.21), и лишь130затем перейти в точку нормировки m = µ, использование представления(3.3) в этом случае невозможно.3.3.7.4Пример расчета величины N χ = −R∂^m2 Knχ χ.Рассмотрим в качестве χ четырехпетлевую вершинную диаграмму(3.133)Эта диаграмма имеет размерность nχ = 0, поэтому действие на нее оператора Knχ = K0 сводится к тому, что внешние импульсы диаграммынадо положить равными нулю. Диаграмма имеет три существенных подграфа – вершинные {6, 7, 8} и {5, 6, 7, 8, 9, } с размерностями n1 = n2 = 0,и двухвостый {2, 3} с размерностью n3 = 2.Действие операции −∂^m2 на линию G(k) = 1/(k 2 +m2 ) дает 1/(k 2 +1)2 ,т.е.

сводится к вставке точки (единичной вершины) в линию. Действиеэтой операции на диаграмму дает сумму вкладов со всевозможнымивставками точки:(3.134)В первой из этих диаграмм точка стоит вне существенных подграфов,и все они остаются существенными. Во второй диаграмме точка стоитвнутри вершинного подграфа {5, 6, 7, 8, 9} и делает его несущественным(n2 → −2), в третьей диаграмме становятся несущественными оба вершинных подграфа (n1 → −2, n2 → −2), в четвертой точка стоит внутри двухвостого подграфа {2, 3} и превращает его в логарифмический(n3 → 0).131Следующий шаг при вычислении величины N χ = −R∂^m2 Knχ χ – действие на полученные диаграммы R-операцией согласно (3.3) – долженосуществляться с учетом этих изменений.

Рассмотрим построение Rоперации на примере первой диаграммы χ1 в (3.134). Расставим некоторым образом импульсы интегрирования и сделаем растяжения импульсов, втекающих в существенные подграфыВыбранной расстановке импульсов соответствует следующая функцияχ1 ({a}) в (3.3)25 222 22χ−11 ({a} , {k}) = (k1 + 1) (k2 + 1)(k3 + 1) (k4 + 1) (a1 a2 k1 + a2 k3 + k4 ) + 1 ·· (a3 k1 + k2 )2 + 1 (a1 k1 + k3 )2 + 1 (k3 + k4 )2 + 1 .Учитывая размерности подграфов ni из (3.3) получаем окончательно1Rχ1 =2Z01Zda1 ∂a101Zda2 ∂a201da3 (1 − a3 )2 ∂a33132Zd {k} χ1 ({a} , {k}) .3.4Теория без расходимостей в стохастической динамике3.4.1Обобщение на критическую динамику3.4.1.1ВведениеМетод ренормализационной группы и ε-разложения является в настоящее время основным инструментом изучения как статических, так идинамических критических явлений.

Для статических критических показателей в настоящее время известны аналитические ответы вплоть довысоких порядков теории возмущений (6-ой порядок ε-разложения в модели φ4 , см., гл. 2). Аналитические расчеты в моделях критической динамики значительно менее развиты, они ограничиваются, как правило,первым порядком теории возмущений, лишь в отдельных случаях имеются результаты в более высоких порядках – второй порядок в теорииперколяции [130], третий порядок в A-модели [9].

Известны также численные результаты во втором порядке в H-модели [131] и теории турбулентности [132].В работах [117], [118] (разделы 3.2,3.3), предложен подход, позволяющий сводить вычисление β-функции и аномальных размерностей в моделях критической статики к расчету интегралов, не содержащих сингулярностей по ε, удобных для численного интегрирования. Это позволиловпервые [6] произвести полностью независимую проверку аналитическихпятипетлевых результатов [37, 76, 78]. В данном разделе такой подходобобщается на модели критической динамики. Рассмотрение проводитсяна примере модели A.3.4.1.2Ренормировка моделиРассмотрим модель A критической динамики в пространстве размерности d = 4 − ε.

Неренормированное действие этой модели определяетсянабором φ0 двух полей φ0 ≡ {ψ0 , ψ00 } и имеет вид [9]:133S0 (φ0 ) = λ0 ψ00 ψ00 + ψ00 [−∂t ψ0 + λ0 δS0st /δψ0 ] =1= λ0 ψ00 ψ00 + ψ00 [∂t ψ0 + λ0 (∂ 2 ψ0 − τ0 ψ0 − g0 ψ03 )]3!(3.135)с неренормированным статическим действиемS0st (φ0 ) = −(∂ψ0 )2 /2 − τ0 ψ02 /2 −1g0 ψ04 .4!(3.136)Ренормированное действие дается выражением [9]:SR = Z1 λψ 0 ψ 0 + ψ 0 [−Z2 ∂t ψ + λ(Z3 4ψ − Z4 τ ψ −1Z5 µε gψ 3 )] ,3!(3.137)оно получается из исходной мультипликативной ренормировкой параметров и полейλ0 = λZλ ,τ0 = τ Zτ ,g0 = gµε Zg ,ψ0 = ψZψ ,ψ00 = ψ 0 Zψ0 , (3.138)гдеZ1 = Zλ Zψ2 0 ,Z2 = Zψ0 Zψ ,Z4 = Zψ0 Zλ Zτ Zψ ,Z3 = Zψ0 Zλ Zψ ,(3.139)Z5 = Zψ0 Zλ Zg Zψ3 .С другой стороны, ренормированное действие может быть представленов виде суммы базового действия SB и контрчленов ΔS:SR = SB + ΔS ,(3.140)где базовое действие имеет видSB = λψ 0 ψ 0 + ψ 0 [−∂t ψ + λ(4ψ − τ ψ −1 ε 3µ gψ )] .3!(3.141)Введем обозначение для 1-неприводимых функции Грина базовойтеории (3.141)Γ(n1 ,n2 ) ≡ hψ .

. . ψ ψ 0 . . . ψ 0 i1−irr .(3.142)| {z } | {z }n1134n2Поверхностные УФ расходимости при ε = 0 присутствуют в диаграммах 1-неприводимых функций Γ(0,2) , Γ(3,1) , имеющих логарифмическуюрасходимость, и квадратично расходящихся диаграммах функции Γ(1,1) .1-неприводимые подграфы, имеющие поверхностную УФ расходимость,будем называть существенными. Очевидно, что данные подграфы совпадают с диаграммами 1-неприводимых функций Γ(0,2) , Γ(3,1) и Γ(1,1) .Учет контрчленов в (3.140) можно заменить действием R-операциина диаграммы базовой теории (3.141) [9] и записать ренормированныефункции ΓR(n1 ,n2 ) в виде0ΓR(n1 ,n2 ) = RΓ(n1 ,n2 ) = (1 − K)R Γ(n1 ,n2 ) ,(3.143)где операция R0 устраняет расходимости в существенных подграфах диаграммы, а (1 − K) – остающуюся поверхностную расходимость. Конкретная схема ренормировки определяется заданием операции K отборарасходящихся частей 1-неприводимых диаграмм.Как и в [118], выберем схему ренормировки, аналогичную схеме вычитаний на нулевых импульсах (и частотах) с дополнительным условиемµ2 = τ .

Конкретизировать такой выбор удобно с помощью следующихнормированных функций (на нулевых частотах и импульсах):Γ1 =Γ2 =Γ3 =Γ4 =Γ5 =Γ(0,2)|p=0,ω=0 ,2λ∂ıω Γ(1,1) |p=0,ω=0 ,1 Γ(1,1)|p=0,ω=0 ,− ∂p22λΓ(1,1) − Γ(1,1) |τ =0|p=0,ω=0 ,−λτΓ(3,1)−|p=0,ω=0 .λgµε(3.144)(3.145)(3.146)(3.147)(3.148)Константы ренормировки определим из требований:RΓi |µ2 =τ = 1,i = 1, ..., 5 .135(3.149)Условия (3.149) означают, что в точке нормировки контрчлены полностью сокращают диаграммные вклады в ренормированные аналогифункций Γi .Константам ренормировки Zi , определяемым условиями (3.149), cоответствует операция K отбора расходящихся частей диаграмм видаKΓ(0,2) = Γ(0,2) |p=0,ω=0,µ2 =τ ,KΓ(3,1) = Γ(3,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ ,KΓ(1,1)τ= Γ(1,1) |τ =0 + 2 Γ(1,1) |µ2 =τ − Γ(1,1) |τ =0µ(3.150)+p=0,ω=02+p · ∂p2 Γ(1,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ + iω · ∂iω Γ(1,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ .

(3.151)При µ2 = τ операция (3.151) упрощаетсяKΓ(1,1) |µ2 =τ = Γ(1,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ + p2 · ∂p2 Γ(1,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ ++iω · ∂iω Γ(1,1) |p=0,ω=0,µ2 =τ ,(3.152)так что при µ2 = τ все три операции в (3.150) и (3.152) сводятся квычитанию на нулевых импульсах и частотах при µ2 = τ .Полную R-операцию можно записать в виде [123]RΓ =Y(1 − Ki )Γ,(3.153)iгде произведение берется по всем существенным (имеющим поверхностную расходимость) подграфам диаграмм, входящих в Γ, и диаграммамв целом (если у них есть поверхностная расходимость).3.4.1.3Уравнения РГВ используемой схеме ренормировки константы ренормировки зависят, как и в MS схеме, только от константы связи и размерности пространства, поэтому уравнения ренормгруппы для 1-неприводимых функций ΓR(n1 ,n2 ) можно получить аналогично тому, как это делается в [9] для136схемы MS.

Характеристики

Список файлов диссертации