Диссертация (1145286), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Дифференцирование по квадрату массы (−∂m2 ) в (3.103) эквивалентно вставке точки (двухвостой вершины с единичным вершинным множителем). Поэтому в таких графахимеются квадратично расходящиеся один-неприводимые двухточечныеподграфы, логарифмически расходящиеся один-неприводимые четырехточечные подграфы и двухточечные подграфы со вставленной точкой.В рассматриваемой схеме ренормировки вычитательная операция дляграфов, взятых при µ = m, эквивалентна вычитанию начального отрезкаряда Тейлора по внешним импульсам(1 − Ki )F (k) = F (k) −nXkmm!m=0F (m) |k=0 ,(3.107)где n = 0 для логарифмически расходящихся подграфов и n = 2 дляквадратично расходящихся. Удобно переписать (3.107), используя интегральное представления для остатка разложения в ряд Тейлора1(1 − Ki )F (k) =n!1Z0da(1 − a)n ∂an+1 F (ak).(3.108)Объединяя (3.106) и (3.108), мы можем построить интегральное представление для R-операции [123]Y 1 Z 1Rχ =dai (1 − ai )ni ∂anii +1 χ({a}),ni ! 0i(3.109)где произведение берется по все один-неприводимым подграфам χ(i)(включая диаграмму χ как целое) с каноническими размерностями ni ≥1200, ai – параметр растягивающий импульсы, втекающие в i-ый подграф.Основное преимущество подобного представления состоит в том, чторенормированные функции представлены интегралами конечными приε = 0, а так же в подобных выражения не происходит сокращениябольших (расходящихся при ε = 0 вкладов) (“теория без расходимостей” [123]).3.3.6.2Пример вычисления диаграммы (импульсное и фйнмановское представление)В качестве примера рассмотрим вычисление вклада двухпетлевойдиаграммы в функцию f4 из (3.43).(3.110)Интеграл, соответствующий диаграмме (3.110, имеет видZJ=гдеI(k, q) =(k 2dk(2π)dZdqI(k, q) ,(2π)d111· 2·.222+ m ) q + m (k + q)2 + m2(3.111)(3.112)При ε → 0 в интеграле присутствует логарифмическая поверхностнаярасходимость и логарифмическая расходимость в подграфе.
В соответствии с (3.43) вклад этой диаграммы в функцию f4 даетсяδf4 = 3 g 2 m2ε R(−m2 ∂m2 J),(3.113)где множитель 3 это симметрийный коэффициент диаграммы (3.110).Дифференцирование по m2 снимает поверхностную расходимость. Выполняя дифференцирование по m2 и принимая во внимание симметриюдиаграммы, получим два вклада(1)(2)δf4 = δf4 + δf4121(ТЕ после формулы запятая) определяемые диаграммами,(3.114)(3.115)с соответствующими подынтегральными выражениями (3.111)I (1) (k, q) = 2111··,(k 2 + m2 )2 (q 2 + m2 )2 (k + q)2 + m2(3.116)111··.(k 2 + m2 )3 q 2 + m2 (k + q)2 + m2(3.117)I (2) (k, q) = 2Вставка точки в диаграмме (3.114) кроме поверхностной расходимоститакже снимает расходимость в подграфе.
Это приводит к тому, что интеграл (3.116) УФ-конечен и R-операция в (3.113) для данного члена(1)тривиальна (R ≡ 1). Все это позволяет легко сосчитать δf4 численно ввиде ряда Тейлора по ε.В диаграмме (3.115) расходимость в подграфе все еще присутствует и поэтому R-operation нетривиальна. Для того чтобы построить Rоперацию типа (3.109), которая устранит расходимость в подграфе, мыдолжны ввести параметр растяжения a для импульсов, втекающих в этотподграф.(3.118)Применяя R-операцию (3.109) к этой диаграмме, получим ее вклад вфункцию f4 (3.43):(2)δf422ε= 3g mZdk(2π)dZdq(2π)dZ1da ∂a I2 (k, q, a) ,(3.119)0гдеI (2) (k, q, a) = 2111··.(k 2 + m2 )3 q 2 + m2 (ak + q)2 + m2122(3.120)Выполняя дифференцирование по a и переходя к безразмерным переменным k → mk, q → mq, получим114ak 2 + 4kq1= −3 g··da 2.(k + 1)3 q 2 + 1 [(ak + q)2 + 1]20(3.121)Этот интеграл конечен при ε = 0, и также может быть вычислен численно.На практике численное вычисление интегралов наиболее эффективно проводить с использованием фейнмановских параметров ui .
Хорошоизвестно, что можно написать подинтегральное выражение в фейнмановском представлении непосредственно по диаграмме (минуя импульсноепредставление).Оказывается, что этот способ может быть расширен наинтегралы типа (3.120) с параметрами растяжений.Проиллюстрируем это на диаграмме (3.118)(2)δf42dk(2π)dZZdq(2π)dZ.(2)Вклад δf4вид:(3.122)в фейнмановском представлении будет иметь следующий+ ε)Γ2 (2 − ε/2)= 3g· J4 ,4Z 1Z 1Z 1Z 1u21 δ(u1 + u2 + u3 − 1)J4 = 2du1du2du3da ∂a(.3.123)(u1 u2 + u1 u3 + au2 u3 )2−ε/200002 Γ(1(2)δf4Этот интеграл имеет сингулярность из-за нулей в знаменателе.
В отсутствии дифференцирования по растягивающему параметру нули знаменателя при u1 = 1, u2 = u3 = 0 приводят к полюсу по ε. Однако, последифференцирования по a мы получаем следующее выражение:J4 = (ε − 4)Z1Zdu111Z0du310dau2 u3 u21 δ(u1 + u2 + u3 − 1).(u1 u2 + u1 u3 + au2 u3 )3−ε/2(3.124)Видно, что эта сингулярность становится интегрируемой, и интегралможно вычислить как ряд Тейлора по ε.0du2Z0123Присутствие интегрируемых сингулярностей на позволяет достичьжелаемой точности в численных расчетах.
Это проблема решается с помощью техники разложения на сектора [53]. При наличии растягивающих параметров невозможно использовать существующие стратегиисекторных разложений. Нами была разработано обобщение стратегииS [128], которое может быть применено к данному типу интегралов.
Этопозволило вычислить аномальные размерности в 5 порядке теории возмущений.3.3.6.3Подиаграммное сравнение с расчетами в MS схеме. Пятипетлевые результаты.Для более точной проверки результатов, полученных в [78], мы провели подиаграммное сравнение наших результатов с результатами работы [78]6 . Чтобы осуществить подиаграммное сравнение величин, вычисленных по NP схеме, нужно построить вклады контрчленов в МS схеме.Так как в NP схеме были вычислены только конечные части диаграмм(3.43), прежде всего необходимо построить контрчлены в NP схеме, изатем пересчитать их из NP схемы в MS схему.The first problem (construction of counterterms in NP scheme) can besolved using representation for couterterms obtained in [117] (ТК Перваяпроблема (построение контрчленов в NP схеме) может быть решена сиспользованием предстваления полученных в [117] (см.
также раздел 3.2(n)Zi2 (n)(n)=N Γ̄i − J Γ̄i,n(3.125)where n – number of loops, N Γ̄i = fi , где n – число петель, N Γ̄i = fi ,а второй член определяется суммой диаграмм низших порядков теориивозмущений (это отражает тот факт, что все полюса высоких порядковмогут быть выражены через диаграммы низших порядков).Следующий шаг состоит в пересчете контрчленов из NP схемы в MSсхему. Он может быть выполнен с использованием так называемой R−1операции [129]. Эта операция позволяет рекурсивно пересчитать кон6значения для конкретных диаграмм представлены в [91]124трчлены из одной схемы в другую (без необходимости вычисления диаграмм).Пересчет наших результатов показал, что они находятся в хорошемсогласии с [91, 78]: все диаграммы совпадают с точностью до 10−5 , чтоподтверждает исправления, произведенные в [78].)В работе [78] утверждается, что в [37, 76] есть неточности в 6 диаграммах.
В таблицах 3.1, 3.2 приведены диаграммы, исправленные в [78],значения из предыдущих работ [37, 76] и результаты наших численныхрасчетов с оценкой погрешности. Нумерация диаграмм (первый столбец)в таблице 3.1 такая же, как в [37], в таблице 3.2 – как в [76].Сравнение показывает, что обсуждаемый подход является эффективным и может быть использован для широкого круга моделей.125Таблица 3.1. Сравнение диаграмм двухточечной функции Грина, вычисленных в [37], исправленных в [78] и полученных с помощью NP схемы.N910индекс Никеля1/1/2e112-23-34-44-e1/31/41/1/2e112-34-334-4-e1/31/4значение из [37] значение из [78] данная работа0.4-0.93333-0.93335(9)1.4666661.4666661.466669(9)-1.066666-1.066666-1.0666665(8)0.5333330.5333330.5333330.35634780.03165080.03164(7)0.6416660.6416660.641670(8)-0.7666666-0.7666666-0.7666665(5)0.40.40.4126Таблица 3.2.
Сравнение диаграмм четырехточечной функции Грина, вычисленных в [76], исправленных в [78] иполученных с помощью NP схемы(“s.c.” = симметрийный коэффициент).Nиндекс Никеляs.c.1/1/24 e112-34-e35-45-e5-e1/21/32 ee12-234-34-45-5-ee- 1/21/31/1/232 ee12-ee3-445-455-5–1/31/42e123-e23-45-45-e5-e-127значение из [76] значение из [78] данная работа33/23/220.80714720.80714720.807141(50)14.2469505.8605385.860525(14)-4.14771102-4.14771102-4.1477109(10)12.365051.9957721.99578(20)-16.734897-16.734897-16.734892(6)11.53974611.53974611.539747(1)-1.70502-1.12169-1.12165(10)2.1333332.1333332.133338(20)-1.333333-1.333333-1.333333(1)0.5333330.5333330.5333333.3.73.3.7.1Дополнительные замечанияЗамечание к соотношению (3.17).При получении этого соотношения для Γ̄2 использована коммутативность операций R0 и ∂p2 ...|p=0 .
При этом надо уточнить, как понимаетсядействие R0 -операции на продифференцированные по импульсу диаграммы. Зависимость диаграммы от p2 возникает после выполнения интегрирования по всем внутренним импульсам, при дифференцировании жеотдельных линий операцию ∂p2 надо понимать как 21 ∂p2 . В результате возникает сумма вкладов, в которых имеются однократно и двукратно продифференцированные линии. Если такая линия стоит внутри вершинного подграфа, это делает его несущественным и R0 -операция на него недействует. Если однократно продифференцированная линия стоит внутри двухвостого подграфа, его размерность уменьшается на единицу иоперация вычитания K на такой подграф принимает вид Kχ = K1 χ, гдеK1 f (k) ≡ (∂k f )|k=0 . Если внутри двухвостого подграфа окажутся двепродифференцированные линии или одна дважды продифференцированная, то подграф становится логарифмическим и для него Kχ = K0 χ.Все эти случаи объединяются общим правилом: существенными являются подграфы χα с размерностью nα ≥ 0, операция K для них имеет видKχ = Knα χα .1283.3.7.2Константа ренормировки Z1 .Ренормированному действию (3.4) отвечает УФ-конечный производящий функционалZZG(A) = C −1 exp (S + Aϕ) Dϕ ,C = exp (S) Dϕ .(3.126)Конечной является также и его производная по m2Z1∂m2 G(A) = − Z1ϕ2 − hϕ2 i exp (S + Aϕ) Dϕ.2(3.127)Определяя составной оператор φ равенством φ ≡ ϕ2 и вводя его ренормированный аналог φR = Zφ ϕ2 , перепишем (3.127) в виде1∂m2 G(A) = − Z1 Zφ−12Z(φR − hφR i) exp (S + Aϕ) Dϕ.(3.128)Интеграл в правой части этого равенства УФ-конечен, это означаетУФ-конечность произведения Z1 Zφ−1 ≡ Zf 7 .
Конечность величины Zfприводит к тому, что соответствующая РГ-функция γf = β∂g ln Zfобращается в ноль в неподвижной точке β(u∗ ) = 0 (несингулярнаяфункция ∂g ln Zf (u) не может иметь полюса в точке u = u∗ = O(ε) врамках ε-разложения). Следовательно, для аномальных размерностейγ∗ ≡ γ|u=u∗ имеем γ1∗ = γφ∗ , так что аномальную размерность γ1∗можно находить, вычисляя константу ренормировки Zφ . Диаграммы,определяющие эту константу, являются логарифмическими и для ихвычисления можно воспользоваться соотношениями, аналогичными(3.26), (3.31). Отметим также, что непосредственно в модели (3.4)величина γ1∗ выражается через γ2∗ и γ3∗ , необходимость ее независимогорасчета возникает только в обобщениях модели ϕ3 [126].7В рамках схемы MS это означает равенство констант ренормировок Z1 и Zφ , т.е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
