Диссертация (1145286), страница 13

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 13)

Далее будет использоваться отмасштабированный на 16π 2 заряд gi → gi /16π 2 .Результаты контролировались по значениям, получаемым при r = 2 иr = 3. В этих случаях рассматриваемая модель (2.70) эквивалентна O(2)и O(6)- векторным Φ4 моделям, соответственно.Уравнение ренормгруппы приводит к хорошо известным уравнениямдля инвариантного заряда∂ξ ḡi =βgi,2 + γτḡi |ξ=0 = gi ,где ξ ≡ lnτ.M2(2.76)ИК режим ξ → −∞ определяется ИК притягивающими фиксированнфми точками (g1∗ , g2∗ ), которые определяются из условий βgi (g1∗ , g2∗ ) =0 с i = 1, 2. Фиксированная точка ИК притягивающая, если матрицааωij ≡ ∂gj βgi (g1∗ , g2∗ ) является положительно определенной. Однако, в [103]было показано, что в однопетлевом приближении таких точек не существует при r ≥ 4.

При r = 2 существует ИК притягивающая точка,которая описывает критическое поведение переходов в сверхпроводящеесостояние в системах с фермионами со спином 1/2. Так же модель (2.70)имеет ИК фиксированную точку при r = 3. Поскольку при r ≥ 4 фиксированные точки отсутствуют уже в однопетлевом приближении, вместопоиска фиксированных точек в 5 петлевом приближнии мы будем исследовать траектории инвариантных зарядов.87g22.521.510.60.40.2g10.1Рис. 2.8. Траектории инвариантных зарядов для D = 3 и r = 4; пунк−Γтирная линия – граница применимости методапересуммирования.ab2.2.2.3cРешение РГ уравненийИнстантонный анализ [12] показывает, что для системы (2.76) с r = 4в модели существует два типа инстантонов.

Первый инстантон содержитhχiодин ненулевой блок, для него a(1) = 3(2g1 + g2 )/4. Второй инстантонсожержит два ненулевых блока и a(2)2 = 3(4g1 + g2 )/8. Поэтому в области устойчивости действия(2.69) существует две области, в которыхрассматриваемые функции имеет разное поведение:Область I: если инвариантные зарядов удовлетворяют условию 8ḡ1 +3ḡ2 > 0, тогда |a(1)| > |a(2)|.

И ближайшая сингулярность находится вt = −1/a(1);Область II: если инвариантный заряд удовлетворяет условию 8ḡ1 +3ḡ2 ≤ 0, тогда |a(2)| > |a(1)|. В этом случае ближайшая сингулярностьнаходится на вещественной полуоси в точке t = 1/|a(2)|.Таким образом, плоскость (ḡ1 , ḡ2 ) разделена линией 8ḡ1 +3ḡ2 = 0, выше которой аналитические свойства функции определяются инстантономс одним ненулевым блоком, а ниже этой линии свойства определяютсяинстантоном с двумя блоками. Начальные значения инвариантных зарядов расположены в первой области.Численное решение РГ уравнений (2.76) с пересуммированной правойчастью для r = 4 показаны на рис.2.8 для ε = 1 и рис.2.9 для ε = 2.Из рисунка 2.8 видно, что для трехмерной модели траектории инвариантных зарядов с различными начальными данными пересекают границу88g22.521.510.60.40.20.1g1Рис.

2.9. Траектории инвариантных зарядов для D = 2 и r = 4; пунктирная линия – граница применимости метода пересуммирования.1g20.90.60.3−0.2g1−0.1Рис. 2.10. Решения РГ уравнений (D = 3, r = 4) для различного числа петель: 1-петля – нижняя линия (пунктирная), 5-петель – верхняя(сплошная).189стабильности действия, аналогичное поведение имеет место для другихзначений r ≥ 4.Рисунок 2.10 показывает зависимость траекторий инвариантных зарядов от числа учтенных петель для D = 3. Видно, что учет старшихпорядков приводит к малым поправкам для траектории.В случае D = 2 (ε = 2), в отличие от трехпетлевого случая [13],только редкие траектории инвариантных зарядов выходят за областьстабильности действия (2.69) (см. рис.

(2.9)). Такие траектории соответствуют малым начальным значениями ренормированных констант связи.2.2.2.4ОбсуждениеВ отличие от электронных систем (r = 2, r - число спиновых степенейсвободы), где происходит фазовый переход второго рода, в фермионныхсистемах с высшими спинами (r ≥ 4) критические флуктуации разрушают стабильность системы, и в системах с размерностью пространстваD = 3 имеет место фазовый переход второго рода. Учет пятипетлевогоприближения оказывается достаточным, чтобы достоверно сделать подобные выводы.Более того, анализ, проведенный в [12], позволяет сделать оценкитемпературы данного фазового перехода.

Было показано, что температура фазового перехода больше, чем температура, предсказываемая наоснове формализма для фазовых переходов второго рода.Что касается двумерных систем, то оказалось, что учета 5 петлевогоприближения недостаточно для того, чтобы сделать предсказание о типефазового перехода, а так же его температуре.90Глава 3Теория без расходимостейВ этой главе описан предложенный автором новый подход, основанный на R операции и схеме вычитаний с точкой нормировки, позволяющий выразить константы ренормировки через несингулярные интегралы в виде, удобном для численного счета. Дальнейшее развитие этого подхода позволило выразить через несингулярные интегралы непосредственно аномальные размерности, минуя константы ренормировки.С использованием данного подхода были вычислены аномальные размерности модели ϕ4 в 5 петлевом приближении.

Выполнено обобщениеподхода на задачи стохастической динамике, с использованием данного подхода выполнен ряд многопетлевых расчетов: модель А критической динамики (3 петли), модель направленной перколяции (2 петли).В стохастической теории турбулентности выполнены трехпетлевые расчеты бета-функции и поправочного индекса ω в пространствах высокойразмерности. Расчеты, изложенные в этой главе, опубликованы в работах [117, 118, 6, 119–121].3.1ВведениеАналитические расчеты критических показателей в моделях критического поведения РГ методом и ε-разложения сталкиваются в старшихпорядках теории возмущений с существенными трудностями [91].

Этонаиболее сильно проявляется в моделях критической динамики, где точность расчета даже в наиболее простой, так называемой A-модели, допоследнего времени ограничивалась трехпетлевым приближением [122].91Результаты ренормгрупповых расчетов с использованием εразложения существенно отстают от соответствующих расчетов в“реальном пространстве“, в которых не стоит проблема вычисления сингулярных по ε констант ренормировки, и главная задача заключается ввычислении конечных интегралов высокой кратности, которую можнорешать численно. Основной целью данной главы является нахождениетакой реализации РГ подхода с использованием ε-разложения, в которойзадача также сводилась бы к вычислению конечных интегралов и весьпроцесс расчета можно было бы автоматизировать.Для решения этой задачи важно выбрать наиболее удобную схемуренормировки.

Мы будем использовать реализацию процедуры ренормировки в терминах R-операции, в которой ренормированные величинызаписываются в виде [9]ΓR = RΓ = (1 − K)R0 Γ,(3.1)где R0 – неполная R-операция, устраняющая расходимости в подграфахдиаграмм, операция (1 − K) устраняет остающуюся поверхностную расходимость. Выбор операции K (выделение расходящейся части) неоднозначен, в MS схеме выделяются только полюса по ε, в схеме вычитанийна нулевых импульсах (N M ) – отрезок ряда по импульсу, длина которогоопределяется размерностью подграфа.

Конечный продукт – критическиепоказатели в форме ε-разложения – не зависит от схемы ренормировки.Схема M S удобна для аналитических вычислений, для численныхрасчетов более удобна схема N M . Операцию вычитания (1 − K) в этойсхеме можно, используя известную формулу для вычитания из функцииF (k) первых n членов ее ряда Тэйлора, записать в виде(1−K)F (k) = F (k)−nXkmm=0m!F(m)|k=01=n!1Z0da(1−a)n ∂an+1 F (ak). (3.2)Поскольку в схеме (N M ) вычитается начальный отрезок ряда по импульсу, это позволяет получить следующее представление для действия92R-операции [123]Y 1 Z 1Rχ =dai (1 − ai )ni ∂anii +1 χ({a}),ni ! 0i(3.3)где произведение берется по всем существенным подграфам (включаядиаграмму χ как целое) χ(i) с канонической размерностью ni ≥ 0, ai– параметр растяжения внутри i-то подграфа импульсов, втекающих вэтот подграф.

Преимущество такой записи ренормированных величин втом, что ответ представляется в виде интегралов, конечных при ε = 0,причем в форме, в которой не происходит сокращения больших вкладовв подынтегральном выражении (“теория без расходимостей“ [123]).Нашей задачей будет расчет РГ функций (β-функции и аномальныхразмерностей), определяющих в виде ε-разложения критические индексы модели. Эти функции имеют наиболее простой вид в схемах с ”примитивными“ вычитаниями, в которых контрчлены являются полиномами по импульсам и массам, а РГ функции от масс не зависят (например, схема M S) [9].

Cхема N M не является примитивной, но становитсятаковой после небольшой модификации, при этом в полученной схемесохраняется возможность записи интересующих нас величин в удобнойдля расчета форме (3.3).В разделе 3.2 рассматривается способ, позволяющий представить расходящиеся диаграммы (и константы ренормировки) в виде комбинациисходящихся интегралов с сингулярными коэффициентами, с использованием данного подхода были вычислены константы ренормировки ианомальные размерности в модели ϕ3 .

Анализ выражений, полученныхдля аномальных размерностей, позволил сначала предположить, а потом и доказать прямое представление аномальных размерностей черезнесингулярные операции (см. раздел 3.3). Данное представление особенно ценно при численном вычислении интегралов, поскольку при вычислении аномальных размерностей через константы ренормировки (рассчитанные численно) происходит большое число неточных сокращений(в силу погрешностей численного счета), так, например, старшие полюса, рассчитанные численно, не сокращаются точно, естественно, остатокс точностью до погрешности равен нулю, и, тем самым, данные вклады93могут быть отброшены, однако в случае с вкладами, дающими нетривиальный вклад в аномальные размерности это не так, поскольку подобныесокращения приводят к существенному росту погрешности в коэффициентах разложения аномальных размерностей.

Характеристики

Список файлов диссертации