Диссертация (1145286), страница 11
Текст из файла (страница 11)
. . , n) в евклидовом пространстве размерности d = 4 − ε. Действиеимеет видS(φ) = S0 (φ) + V (φ)(2.32)со свободной частьюS0 (φ) =1tr{φ(−∂ 2 + τ0 )φ}2(2.33)и взаимодействием, содержащим две независимые структурыV (φ) = V1 (φ) + V2 (φ) = −g10g20{tr(φ2 )}2 −tr(φ4 ).4!4!(2.34)Здесь и ниже подразумеваются соответствующие интегрирования и суммирования, τ0 отклонение температуры (или ее аналога) от критическогозначения, а g10 , g20 константы взаимодействия. В подробной записи:1S0 (φ) = −2ZdxnXφik (x)(−∂ 2 + τ0 )φik (x)i,k=1и аналогично для V (φ).
Кубический член tr(φ3 ) исчезает из-за ассиметрии поля φ и не дает вклада во взаимодействие.Корреляционные функции (функции Грина) модели определяютсяфункциональным усреднением с весом exp S(φ). Действие (2.32)–(2.34)инвариантно относительно преобразования φ → OφO† , где O ∈ O(n)ортогональная матрица ранга n (свойство антисимметричности сохраняется при таком преобразовании).Для устойчивости модели необходимо, чтобы взаимодействие (2.34)было отрицательным для всех значений поля φ. Легко видеть, что условие V (φ) < 0 порождает следующие ограничения на константы связи:2g10 + g20 > 0,73ng10 + g20 > 0(2.35)для четных n и2g10 + g20 > 0,(n − 1)g10 + g20 > 0(2.36)для n нечетных.Для n = 2 и n = 3 модель (2.32)–(2.34) сводится к хорошо известным случаям: однокомпонентной φ4 -модели и O(3)-симметричной векторной модели.
Соответствие устанавливается при помощи соотношенийφik = εik φ для n = 2 и φik = εikl φl для n = 3, где оба ε – полностьюантисимметричные тензоры с нормировкой ε12 = ε123 = +1. После этогообе структуры в V (φ) переходят в φ4 для n = 2 и (φl φl )2 для n = 3, иостается единственная константа связи g0 = 2g10 + g20 . В обоих случаях,условия устойчивости (2.35), (2.36) переходят в единственное неравенство g0 > 0.2.2.1.3Диаграммная техникаФейнмановская диаграммная техника модели (2.32)–(2.34) выводитсястандартным образом; см., например, [71, 9, 91]. В импульсном представлении голый пропагатор определяется свободной частью действия (2.33)и имеет видJik;lmhφik φlm i0 = 2,(2.37)(p + τ0 )где p = |p| волновое число.
ТензорJik;lm =1(δil δkm − δim δkl )2(2.38)построен из символов Кронекера δ, антисимметричен по отношению к перестановкам индексов i ↔ k и l ↔ m и симметричен относительно перестановок пар ik ↔ lm. Он играет роль единичного оператора в пространстве антисимметричных тензоров таким образом, что Jik;lm φlm = φik иJik;lm Jlm;js = Jik;js . Его след по парам индексов Jik;ik = n(n − 1)/2 даетчисло независимых компонент антисимметричного тензора ранга n.Взаимодействия V1,2 (φ) в (2.34) соответствуют четверным вершинам(1)(2)с вершинными множителями (−g10 )Vab;cd;ef ;mn и (−g20 )Vab;cd;ef ;mn , где тен-74зоры(1)Vab;cd;ef ;mn =1(Jab;cd Jef ;mn + Jab;ef Jcd;mn + Jab;mn Jcd;ef )3(2.39)и(2)Vab;cd;ef ;mn1=6Jab;ij Jcd;jk Jef ;kp Jmn;pi + Jab;ij Jcd;jk Jmn;kp Jef ;pi ++ Jab;ij Jef ;jk Jmn;kp Jcd;pi + Jab;ij Jef ;jk Jcd;kp Jmn;pi ++ Jab;ij Jmn;jk Jef ;kp Jcd;pi + Jab;ij Jmn;jk Jcd;kp Jef ;pi (2.40)и определены так, что(1)Vab;cd;ef ;mn φab φcd φef φmn = {tr(φ2 )}2и(2)Vab;cd;ef ;mn φab φcd φef φmn = tr(φ4 ),и таким образом, что они антисимметричны относительно перестановокиндексов a ↔ b, c ↔ d и т.п., и симметричны относительно перестановокпар ab ↔ cd, ab ↔ mn и т.п.Таким образом, диаграммы в данной модели представляются в видедвух множителей: первый соответствует диаграмме однокомпонентнойφ4 модели с соответствующим симметрийным коэффициентом и дополнительным множителем, идущим от свертки тензоров в вершинах (2.39),(2.40) и пропагаторах (2.37).2.2.1.4Ультрафиолетовая ренормировкаАнализ ренормируемости модели (2.32)–(2.34) аналогичен случаю однокомпонентной φ4 модели; см., например, [71, 9, 91].
Модель логарифмична (константы связи g10 , g20 безразмерны) при d = 4. В размерной регуляризации, УФ расходимости проявляются в виде полюсов по ε = 4−d,отклонению размерности пространства от его логарифмического значения d = 4. Стандартный анализ, основанный на счете размерностей исоображениях симметрии, показывает, что поверхностные УФ расходимости, для устранения которых требуются контрчлены, присутствуют75только в парной hφφi и четверной hφφφφi один-неприводимых функцияхГрина. Требуемые контрчлены имеют тот же вид, что и члены действия,и поэтому воспроизводятся мультипликативной ренормировкой полей ипараметров теории.Соответсвующее ренормированное действие имеет видSR (φ) =1g1 µεg2 µ εtr{φ(−Z1 ∂ 2 +Z2 τ )φ}−Z3 {tr(φ2 )}2 −Z4 tr(φ4 ).
(2.41)24!4!Здесь τ , g1 и g2 ренормированные аналоги затравочных параметров (синдексом “0”), а µ ренормировочная масса (дополнительный произвольный параметр ренормированной теории). Действие (2.41) может бытьвоспроизведено мультипликативной ренормировкой поля φ → φZφ и параметров:τ0 = τ Zτ ,g01 = g1 µε Zg1 ,g02 = g2 µε Zg2 ,(2.42)таким образом, чтоZ1 = Zφ2 ,Z2 = Zτ Zφ2 ,Z3 = Zg1 Zφ4 ,Z4 = Zg2 Zφ4 .(2.43)Мы используем схему минимальных вычитаний (MS), где все константыренормировки Zi имеют вид “1+ полюса по ε,”Zi = 1 +∞XAin (g1,2 ) ε−n ,(2.44)n=1с коэффициентами, зависящими только от безразмерных реномрированных констант связи g1,2 . Константы Z1,2 и Z3,4 вычисляются непосредственно из двухточечной и четырехточечной (один-неприводимых)функций Грина, тогда константы (2.42) могут быть найдены из соотношений (2.43).Однопетлевой расчет даетZ2 = 1 +1{(n2 − n + 4)g1 + (2n − 1)g2 },12ε76(2.45)Z3 = 1 +1{(n2 − n + 16)g1 + 2(2n − 1)g2 + 3g12 /g2 },12ε(2.46)1{24g1 + (2n − 1)g2 },12ε(2.47)Z4 = 1 +Для того, чтобы упростить выражения, здесь и введены новые константысвязи: g1,2 → g1,2 /(8π 2 ).Можно показать, что модель (2.32)–(2.34) с g20 = 0 также является мультипликативно ренормируемой: взаимодействие V1 не генерируетструктуры типа V2 в контрчленах.
С другой стороны, модель g10 = 0не является замкнутой с точки зрения ренормировки: взаимодействие V2порождает обе структуры V1,2 . Это приводит к возникновению знаменателя с g2 в однопетлевом выражении (2.46).Как и в обычной ϕ4 модели, нетривиальные вклады в константу Z1возникают только в двухпетлевом приближении:Z1 = 1 −2.2.1.51{(n2 − n + 4)(4g12 + g22 ) + 8(2n − 1)g1 g2 }.22 · 24 ε(2.48)РГ уравнения и РГ функцииРГ уравнения для ренормированных функций Грина в мультипликативно ренормируемой теории выводятся стандартным образом (см.,например, [9]). В модели (2.41) РГ уравнение для реномрированной nточечной функции WnR имеет вид:{Dµ + β1 ∂g1 + β2 ∂g2 − γτ Dτ − nγϕ }WnR = 0,(2.49)где Dx ≡ x∂x для любой переменной x.РГ функции (β-функции для констант связи и аномальные размерности γ) определяются соотношениямиeµ ln Zi for any Zi ,γi ≡ D(2.50)eµ операция Dµ при фиксированных затравочных параметрах игде Deµ gi = gi [−ε − γg ],βi ≡ Di77i = 1, 2,(2.51)где второе равенство следует из соотношений (2.42).
В схеме MS аномальные размерности зависят только от констант связи g1,2 и могут бытьнайдены из следующих соотношенийγi = − (Dg1 + Dg2 ) Ai1 (g1,2 ),(2.52)где Ai1 коэффициенты при первом полюсе по ε в (2.44). В однопетлевомприближении Zτ = Z2 , Zg1 = Z3 и Zg2 = Z4 , из уравнений (2.52) и явныхвыражений (2.45)–(2.48) получим:β1 = −εg1 +111 2(n − n + 16)g12 + (2n − 1)g1 g2 + g22 ,12641β2 = −εg2 + 2g1 g2 + (2n − 1)g2212(2.53)иγτ = −γϕ =2.2.1.61{(n2 − n + 4)g1 + (2n − 1)g2 },121{(n2 − n + 4)(4g12 + g22 ) + 8(2n − 1)g1 g2 }.22 · 24(2.54)Фиксированные точки и критические режимыВозможные асимптотические режимы ренормированной моделиопределяются асимптотическим поведением системы обычных дифференциальных уравнений для так называемых инвариантных зарядовDs ḡi (s, g) = βi (ḡ),ḡi (1, g) = gi .(2.55)Здесь s = k/µ безразмерный импульс, g = {gi } полный набор константвзаимодействия и ḡi (s, g) соответствующие инвариантные переменные.Как правило, ИК (s → 0) и УФ (s → ∞) поведение функций Гринаопределяется фиксированными точками gi∗ системы (2.55).
Координатывозможных фиксированных точек находятся из требования, что все βфункции зануляются:βi (g∗ ) = 0.78(2.56)Тип фиксированной точки определяется матрицейωik = ∂βi /∂gk |g=g∗ ,(2.57)которая возникает в линеаризованной версии системы (2.55) вблизи данной точки. Для ИК притягивающих фиксированных точек (которые нами интересны) матрица ω положительна, т.е. вещественные части всех собственных значений ωi положительны.Как уже было замечено ранее, для n = 2 и n = 3 данная модель эквивалентна скалярной и O(3)-симметричной векторной модели. Единственная константа связи, возникающая в функциях Грина, это комбинацияg = 2g1 + g2 . Из (2.53), (2.54) можно легко увидеть, что соответсвующая бета-функция β = 2β1 + β2 и аномальные размерности γϕ,τ зависяттолько от параметра g и с точностью до обозначений совпадают с хорошо известными выражениям для скалярного и векторного случаев.
ИКпритягивающая точка с β(g∗ ) = 0, β 0 (g∗ ) > 0 существует в физическойобласти параметров g∗ > 0 для ε > 0.Для n ≥ 4 мы имеем двухзарядную модель, не сводящуюся к однозарядной. В ренормированой теории возмущений физическая областьпараметров задается неравенствами (2.35), (2.36) с заменой gi0 → gi :2g1 + g2 > 0,2g1 + g2 > 0,ng1 + g2 > 0 for even n(n − 1)g1 + g2 > 0 for odd n.(2.58)Анализ однопетлевого приближения (2.53) дает следующие фиксированные точки:1) Гауссова (свободная) фиксированная точка g1∗ = g2∗ = 0, УФ притягивающая (ИК отталкивающая)для всех n с собственными значениямиω1,2 = −ε.2) Точкаg1∗ = 12ε/(n2 − n + 16), g2∗ = 0.(2.59)для всех n ≥ 4, она лежит в физической области параметров, но являетсяседловой точкой с собственными значениями ω1 = ε и ω2 = −ε(n2 − n −8)/(n2 − n + 16), которые вещественны и имеют разные знаки.79Соотношение g2∗ = 0 верно во всех порядках теории возмущений.Это является следствием того, что модель (2.32) с g2 = 0 замкнута сточки зрения ренормировки, см.
конец раздела 2.2.1.4. Для однозарядноймодели с единственным взаимодействием V1 в (2.32) эта точка являетсяИК притягивающей с единственным собственным значением ω1 = ε.3) Две нетривиальные фиксированые точки с ненулевыми координатами:p(4n2 − 4n − 143) ± (2n − 1) (−8n2 + 8n + 97)g1∗ = −6ε,(4n4 − 8n3 − 123n2 + 127n + 1696)p(2n − 1)(n2 − n − 20) ± 12 (−8n2 + 8n + 97)g2∗ = 12ε. (2.60)(4n4 − 8n3 − 123n2 + 127n + 1696)Однако для n ≥ 5 эти точки оказываются комплексными и не могут бытьдостигнуты РГ потоками (2.55) с вещественными начальными данными.Только в случае n = 4, точки (2.60) становятся вещественными и имеютследующий вид:g1∗ = 12ε/17,g2∗ = −12ε/17(2.61)для знака плюс под корнем в (2.60) иg1∗ = 9ε/11,g2∗ = −12ε/11(2.62)для знака минус.
Обе точки лежат в области стабильности модели (2.58).Первая точка ИК притягивающая с собственными значениями ω1 = ε,ω2 = ε/17, в вторая – седловая с ω1 = ε, ω2 = −ε/11.2.2.1.7Критические показатели, обсуждениеМожно заключить, что в случае двухзарядной модели n ≥ 4 с обоими взаимодействиями V1,2 ИК притягивающая фиксированная точка вобласти стабильности модели присутствует только для n = 4; в однопетлевом приближении она дается выражением (2.61). Для модели с толькоодним взаимодействием V1 существует еще одна ИК притягивающая точка (2.59) для любых n.80Существование ИК притягивающей точки подразумевает существование скейлинга для всех функций Грина, определяемого двумя независимыми критическими показателями [71, 9, 91]η = 2γϕ∗ ,1/ν = 2 + γτ∗ ,(2.63)где γi∗ = γi (g1∗ , g2∗ ) значения аномальных размерностей (2.50) в рассматриваемой фиксированной точке.Для фиксированной точки (2.59) из (2.54) получаем(n2 − n + 4) 2η= 2ε,(n − n + 16)2(n2 − n + 4)1/ν = 2 − 2ε,(n − n + 16)(2.64)что для n = 4 даетε2η= ,491/ν = 2 −4ε.7(2.65)Для первой фиксированной точки (2.61) получим6ε2,η=2891/ν = 2 −9ε,17(2.66)5ε2η=,2421/ν = 2 −5ε.11(2.67)а для второй (2.61)Все эти выражения имеют поправки порядка O(ε3 ) для η и O(ε2 ) для1/ν.Для однозарядной модели инвариантный заряд ḡ всегда лежит в интервале (0, g∗ ) и стремится к ИК фиксированной точке g∗ , когда s = k/µстремится к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
