Диссертация (1145286), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Для многозарядной моделии, даже если ИК притягивающая точка присутствует, не каждая траектория (решение системы(2.55)) будет стремиться к этой точке при s = k/µ → 0.Траектории могут пересекать границу области стабильности, заданную неравенствами (2.58), такая ситуация обычно интерпретируется какфазовый переход первого рода. Также траектории могут уходить на бесконечность, оставаясь в области стабильности, в данном случае теория81Рис. 2.7. РГ потоки для n = 4.возмущений не применима. Таким образом, для каждой ИК притягивающей фиксированной точки g∗ можно определить область притяжения:область начальных данных g, для которых решение системы (2.55) стремится к g∗ , когда s = k/µ → 0.Общий вид РГ потоков и фиксированных точек в плоскости g1 –g2 дляслучая n = 4 показан на рисунке 2.7. В однопетлевом приближении онне зависит от ε, если перейти к координатам g1,2 /ε.
Можно заметить,что ИК притягивающая точка B с коорддинатами (2.61) лежит междудвумя седловыми точками A и C с координатами(2.59) и (2.62). А вначале координат находится ИК отталкивающая гауссова точка O.РГ потоки приближаются к точке B, если начальные данные системы(2.55) лежат внутри области притяжения (светлосерый).Во всех других случаях РГ потоки пересекают область стабильности модели (неравенство (2.58) с n = 4), уходя в нефизическую область(темно серый).82Необходимо отметить, что область притяжения полностью лежит ниже оси g2 = 0. Действительно, для начальных данных g2 > 0 (и, следовательно, для g2 > −4g1 согласно (2.58)) РГ поток не может достичьточки B. Он не может пересечь ось g2 = 0,так как функция β2 здесьисчезает для всех g1 : β2 (g2 = 0) = 0, см.
выражение в (2.53). Заметим,что β1 (g1 = 0) 6= 0, так что пересечение оси g1 = 0 возможно.Таким образом, мы можем заключить, что ИК поведение данной модели для n = 4 не является универсальным в том смысл, что оно зависит от величин констант связи g1,2 . Если они принадлежат областиприятжения ИК фиксированной точки (в частности это предполагаетg2 < 0), система претерпевает фазовый переход второго рода (и реализуется нетривиальный скейлинговый режим). Иначе РГ потоки выходятза пределы области стабильности. Для n > 4, нет ИК притягивающихфиксированных точек, поэтому реализуется только второй вариант.
Этоозначает, что учет флуктуаций изменяет тип фазового перехода со втрорго рода (предполагаемого теорией среднего поля) на первый род.Данная ситуация весьма похожа на случай комплексного антисимметричного параметра порядка [103], хотя модели не эквиваленты (в отличие от вещественной и комплкесной векторных моделей). Для n > 4РГ потоки похожи на потоки, которые получаются в модели с параметром порядка в виде тензора третьего ранга, обсуждаемого в [97] в связи спереходом из изотропной в тетраэдрическую фазу в жидких кристаллах.В работе [90] была сформулирована следующее предположение дляобщей φ4 -модели с векторным параметром порядка: если имеется ИКпритягивающая фиксированная точка, она соответствует самому быстрому затуханию корреляций (т.е.
самому большому значению эпоказателя η). Легко проверить, что выражения (2.65)–(2.67) согласуются с этимпредположением для нашей тензорной модели (хотя численные значенияη близки друг к другу для всех трех точек). Следует подчеркнуть, чтодоказательство, приведенное в [90], для низшего порядка ε-разложенияне применимо в нашем случае, так как β-функции (2.53) не выраженычерез потенциальную функцию, т.е.
они не имеют форму βi = ∂U/∂gi сопределенной функцией U = U (g1,2 ). Таким образом, мы получили независимое подтверждение предположения для нашего конкретного случаятензорной модели.832.2.2Комплексное антисимметричное поле2.2.2.1Введение.Изучение квантовых ферми-систем и фазовых переходов в них является предметом постоянного интереса. Чтобы описать равновесное состояние квантовой ферми-системы мы используем формализм температурных функций Грина, квантово-полевые методы и метод ренормгруппы.Анализ основан на микроскопической модели с локальным притягивающим взаимодействием типа “плотность-плотность” [114, 9, 115].
Действиедля фермионных полей в инфракрасном пределе может быть переформулировано в терминах комплексных антисимметричных бозонных тензорных (ранга r) полей χ, χ†Sχ = tr χ† (c0 p2 + τe0 )χ +ge02ge01tr(χχ† ) tr(χχ† ) +tr(χχ† χχ† ). (2.68)44Член с ge01 включен для мультипликативности ренормировки. Параметры действия c0 и ge02 положительны и (как и параметр τe0 ) могут бытьвыражены через параметры микроскопического действия, а затравочныйпараметр ge01 равен нулю.ИК поведение модели (2.68) было изучено в работах [103, 13] при помощи аппарата ренормгруппы и ε = 4 − D разложения в однопетлевом [103] и трехпетлевом приближении [13] и показало отсутствие ИКпритягивающей точки для четных значений r ≥ 4.
Было показано, чтокритерий стабильности действия (2.68) (условие положительной определенности взаимодействия) дается неравенствомg2 + rg1 > 0,(2.69)для g2 > 0.Более того, в [103] было показано, что система выходит за областьстабильности до того, как происходит фазовый переход второго рода.Такое поведение обычно интерпретируется как фазовый переход второго рода, и такой фазовый переход может быть рассмотрен как одна изпричин высокотемпературной сверхпроводимости.84Аналогичное поведение было получено в [13] при трехпетлевом РГанализе двумерной и трехмерной моделей, но оказалось, что трехпетлевых результатов не достаточно для точной оценки температуры фазовогоперехода, поэтому для более точной оценки необходимо развить данныйанализ для большего числа петель.В разделе 2.2.2.2 описан пяти-петлевой анализ модели с r ≥ 4.
Согласно [103] здесь нет ИК стабильной фиксированной точки в рамкахε-разложения. Поэтому, вместо того чтобы искать фиксированные точки, мы ограничились анализом фазовых траекторий. В работе [103] былопоказано, что уравнения для инвариантных зарядов могут быть построены в форме ε-разложений.Чтобы проанализировать вид этих уравнений в пространстве физической размерности (ε = 1, ε = 2), необходимо пересуммировать вычисленные значения, например, с помощью метода Бореля.
Для такого пересуммирования необходимо знание асимптотик высшего порядка (НОА)для ε-разложения. НОА для рассматриваемой модели были полученыв [13] с использованием метода инстантонного анализа [70].2.2.2.2Ренормгрупповой анализРенормированное действие рассматриваемой модели имеет следующий вид [103]:SR = Zχ2 tr χ† (−Δ)χ + Zτ Zχ2 τ tr χ† χ + Zg1 Zχ4 M ε2g1g2tr χχ† + Zg2 Zχ4 M ε tr χχ† χχ† .44(2.70)Ренормировка параметров модели определена следующим образомg0j → gj M ε Zgi ,χ → χZχ ,τ0 → τ Zτ ,(2.71)здесь M – ренормировочная масса; g1 , g2 безразмерные константы взаимодействия (индекс 0 обозначает затравочные параметры). Затравочныепараметры g0j и τ0 связаны с параметрами микроскопической модели√следующим образом g0j = ge0j /c20 , τ0 = τe0 /c0 and χ → χ/ c0 .85Диаграммная техника модели имеет вид аналогичный вещественномуслучаю.
В импульсном представлении пропагатор имеет видΠji11ij22Jij11ij22= 2k + τ01and Jij11ij22 ≡ J(i1 , i2 ; j1 , j2 ) ≡ (δi1 j1 δi2 j2 − δi1 j2 δi2 j1 ),2где δij символ Кронекера; k импульс . Тензор Jij11ij22 антисимметричен припрестановке индексов i1 ↔ i2 и j1 ↔ j2 и симметричен при перестановкепар (i1 , i2 ) ↔ (j1 , j2 ). Вершинные множители имеют вид:1V (1) (i1 , i2 ; i3 , i4 ; i5 , i6 ; i7 , i8 ) = (J(i1 , i2 ; i5 , i6 )J(i3 , i4 ; i7 , i8 )+2+J(i1 , i2 ; i7 , i8 )J(i5 , i6 , i3 , i4 ))(2.72)V (2) (i1 , i2 ; i3 , i4 ; i5 , i6 ; i7 , i8 ) =1= (J(j1 , j2 ; i1 , i2 )J(j2 , j3 ; i5 , i6 )J(j3 , j4 ; i3 , i4 )J(j4 , j1 ; i7 , i8 )+2+ J(j1 , j2 ; i1 , i2 )J(j2 , j3 ; i7 , i8 )J(j3 , j4 ; i3 , i4 )J(j4 , j1 ; i5 , i6 ))(2.73)В схеме MS всее константы ренормировки имеют видZe1Ze = 1 ++Oε1ε2,e = (gj , τ, χ)где Ze1 (g1 , g2 ) обозначает вычет при первом полюсе по ε в соответству2ющей константе ренормировки.
Отметим, что взаимодействие tr χχ†должно быть включено в модель для мультипликативной ренормируемости модели. Легко увидеть, что соответствующие контрчлены возникают при ренормировке теории, начиная с простейших однопетлевыхдиаграмм.РГ функции [9] определяются следующими соотношениямиe M Zg ,βgj = Die M ln Ze ,γe = D(2.74)e M – дифференциальный оператор M ∂M при фиксированных заздесь Dтравочных параметрах , βgj – бета-функции зарядов gi , а функции γe –аномальные размерности параметров e.
В схеме MS РГ функции связаны86с константами ренормировки следующим соотношением [9]βgj = −gj (ε + γgj ),γe = −gk ∂k Ze1 .(2.75)Для вычисления тензорной структуры графов, дающих вклады в константы ренормировки, использовалась программа “FORM” [116]. Тензорная структура графов может быть факторизована от петлевой части,петлевая же часть в таком случае совпадает с диаграммами скалярнойΦ4 модели. Значения диаграмм для скалярной теории взяты из работ, вкоторых проводился пятипетлевой расчет в O(n)-симметричной Φ4 модели [37, 76, 78, 6].В рассматриваемой модели были вычислены ренормгрупповые функции в пятипетлевом приближении (порядка 120000 диаграмм).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
