Диссертация (1145286), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Поэтому вид уравнений ренормгруппы, выводимых на основе произвольности ренормировочной массы µ [9] и связь РГ функций с константамиренормировки в этих схемах совпадают. В число РГ функций входитβ-функцияβ = −g(ε/2 + γg )(3.35)100и γ-функции, сопоставляемые каждой константе ренормировки Zi соотношениемγi = β∂g ln Zi ,(3.36)в частности,γg = β∂g ln Zg .(3.37)Из (3.35)– (3.37) следуетgε1·,2 1 + g∂g ln Zg(3.38)εg∂g ln Ziγi = − ·.2 1 + g∂g ln Zg(3.39)β=−Определяемые сингулярными по ε константами ренормировки, РГфункции не содержат полюсов по ε – их сокращение в (3.38)– (3.39) дляперенормируемых моделей гарантируется теорией ренормировок.
Подтверждение сокращения полюсов в конкретных расчетах является обычно косвенной проверкой их правильности.3.2.3.2Критические показатели ϕ3 моделиДля построения диаграмм была использована программа grc из пакета GRACE [124], к которой нами была добавлена программа нахождения существенных подграфов. Для каждой диаграммы, необходимой длярасчета величин (3.34) с использованием для R-операции представления (3.3), генерировалось соответствующее подынтегральное выражение(пример его построения приведен в разделе 3.3.7.4). Расчет интеграловпроводился методом Монте-Карло [55, 54]. Для вычисления импульсныхинтегралов использовалась как сферическая d-мерная система координат, так и фейнмановское представление.Аномальные размерности γ2 и γ3 были вычислены в четырехпетлевомприближении (потребовалось рассчитать 204 диаграммы), на их основенайдена β-функция (3.35) и определена координата неподвижной точки u∗ c точностью до ε4 включительно, а затем рассчитан критическийпоказатель η = γ2 |u=u∗η = −0.1111 − 0.05882 + 0.043593 − 0.0814 + O(5 ).101(3.40)Точность расчета интегралов составляла 10−4 .
Полученный результат согласуется с данными трехпетлевого аналитического расчета [125], [126] : 432837516ζ(3)η = − − 6 + 3 − 2 10 ++ O(4 ) ≈5932332≈ −0.11111 − 0.05898 + 0.043693 + O(4 ) .(3.41)Проведенный расчет показал работоспособность предложенной схемывычислений. В старших порядках теории возмущений ее возможностилимитируются только временем счета и точностью вычисления многократных интегралов.Примененная схема расчета допускает обобщение на модели критической динамики. Подобный расчет реализован в работе [127], в которойвычислен динамический критический индекс модели A в порядке ε4 , гдевычисления проводились на основе соотношения, сходного с (3.31).3.3Представление аномальных размерностей через несингулярные интегралыВ работе [117] было замечено, что после подстановки соотношений(3.23), (3.31), (3.33) в (3.39) и разложения результата по константе связи сокращение полюсов происходит на аналитическом уровне, без вычисления диаграмм, что снимает проблему приближенного сокращениястарших полюсов при численных расчетах.
Ответ имеет простой видγ2 =2f2,1 + f2γ3 =2f3,1 + f2(3.42)гдеfi = −R(m2 ∂m2 Γ̄i )|m=µ ,i = 2, 3.(3.43)Соотношения (3.42), (3.43) позволяют вычислять РГ-функции по диаграммам 1-неприводимых функций, приведенным к сходящимся интегралам. Такое представление удобно для численных расчетов, которыедостаточно просто автоматизировать.102В работе [117] cправедливость соотношений (3.42), (3.43) была проверена в четырехпетлевом приближении. В данном и последующих разделах рассматривается доказательство данного соотношения и применениеего для вычисления аномальных размерностей и критических показателей в модели ϕ4 и различных моделях стохастической динамики.3.3.1ВведениеВ работе [117] предложена схема ренормировки, в которой аномальные размерности γi простым образом выражаются через ренормированные значения производных по массе в точке нормировки от 1неприводимых функций Γ̄iγi =2fi,1 + f2fi ≡ −R(m2 ∂m2 Γ̄i )|m=µ .(3.44)Эти соотношения были проверены в [117] в четырехпетлевом приближении и на их основе произведен численный расчет соответствующих критических показателей.
В настоящей работе они будут доказаны в общемслучае на основе уравнений ренормгруппы.3.3.2Представление ренормгрупповых функций через ренормированные функции ГринаВ описанной в разделе 3.2.1 схеме ренормировки константы Zi зависят лишь от заряда g и параметра ε, как и в схеме минимальных вычитаний (MS), поэтому ренормгрупповые функции γi и β определяются поконстантам ренормировки так же, как в схеме MS:εg∂g ln Zi,γi = − ·2 1 + g∂g ln Zgβ=−gε1.·2 1 + g∂g ln Zg(3.45)Совпадают по виду в обеих схемах и уравнения РГ.Безразмерные ренормированные функции RΓ̄i ≡ Γ̄Ri зависят от без22R2Rразмерного отношения τ = m /µ : Γ̄i (m , µ) = Γ̄i (τ, 1) ≡ Γ̄Ri (τ ).
Записав для них уравнения РГ и переходя в точку нормировки m = µ, можно103выразить РГ-функции через Γ̄Ri (см раздел 3.3.7.3) :γi =2Fi,1 + F2 − F1i = 1, 2, 3,гдеFi ≡ ∂^τ Γ̄Ri ,∂^τ ... ≡ −∂τ ... |τ =1 ,τ≡(3.46)m2.µ2(3.47)Отличие соотношений (3.46) от искомых (3.44) состоит в порядке применения R-операции и дифференцирования в функциях Fi из (3.47) и fi из(3.44), которые по аналогии с Fi перепишем в видеfi = R∂^τ Γ̄i .(3.48)В fi R-операция действует на продифференцированную диаграмму, в которой уже положено m = µ (τ = 1), поэтому операция K имеет простойвид (3.22).
Для Fi из (3.47) необходимо вначале продифференцироватьренормированную диаграмму, в которой операция K дается выражением(3.21), и лишь затем перейти в точку нормировки m = µ.Мы покажем, что величины Fi и fi связаны соотношениямиf i − Fi = f i F 1 ,i = 2, 3.(3.49)Записывая тогда (3.46) в видеγi =2Fi /(1 − F1 )1 + F2 /(1 − F1 )и подставляя сюда Fi /(1 − F1 ) = fi из (3.49), приходим к искомомусоотношению (3.44). Доказательство формулы (3.49) и является основнойзадачей данного раздела.Прежде чем переходить непосредственно к доказательству, преобразуем входящие в (3.49) величины к удобному виду.
Величины Γ̄2 , Γ̄3являются логарифмическими, поэтому диаграммы для их производных∂^τ Γ̄2 , ∂^τ Γ̄3 не имеют поверхностной расходимости, так что в выражениях (3.48) для f2 , f3 можно заменить R на R0 . Такую же замену можносделать в выражениях F2 , F3 из (3.47) – контрчлены KR0 Γ̄2 и KR0 Γ̄3для логарифмических величин Γ̄2 , Γ̄3 не зависят от τ и пропадают после104дифференцирования ∂^τ .
Таким образом, имеемfi = R0 ∂^τ Γ̄i ,Fi = ∂^τ R0 Γ̄i ,i = 2, 3 .(3.50)Преобразуем таким же образом выражение для F1 . С учетом условия^нормировки (3.16) из (3.15) и (3.47) находим F1 = ∂^τ Γ̄R1 = 1 − K0 ∂τ RΓ2 .Единица в этом соотношении сокращает беспетлевой вклад в Γ2 , обозначая соответствующую функцию Γ2 = Γ2 + m2 , получаемF1 = −K0 ∂^τ RΓ2 .(3.51)С учетом (3.50), (3.51) искомое соотношение (3.49) записывается в видеR0 ∂^τ0^− ∂τ R Γ̄i = −R0 ∂^τ Γ̄i · K0 ∂^τ RΓ2i = 2, 3.(3.52)Доказательство этого соотношения проведем в два этапа. Вначалерассмотрим действие коммутатора в левой части (3.52) на индивидуальные диаграммы, входящие в Γ̄i .
Результат дается соотношением (3.56) вразделе 3.3.3. Вторая часть доказательства – комбинаторная: в разделе3.3.4 ( будет показано, что, суммируя вклады (3.56) с симметрийнымикоэффициентами, определяющими Γ̄i , мы получим выражение, факторизующееся на множители, стоящие в правой части (3.52).3.3.3Доказательство для отдельной диаграммыОперация R0 на диаграмме определяется по заданной контрчленнойоперации L соотношением [9]R0 = 1 +XLγ +XLγ Lγ 0 + ... .(3.53)γ,γ 0γЗдесь γ, γ 0 ...
– существенные подграфы диаграммы, действие Lγ на диаграмму сводится к замене подграфа γ его контрчленом Lγ. Однократноесуммирование проводится по всем различным существенным подграфам,двукратное – по всем различным парам непересекающихся существенных подграфов, затем по тройкам и т.д. Операция L выражается через105операцию отбора расходящейся части диаграммы K соотношениемL = −KR0 .4(3.54)Соотношения (3.53), (3.54) определяют операцию R0 рекуррентно (почислу петель).Перепишем (3.53) в более удобной для дальнейшего форме.
Определим V (γ) – множество существенных подграфов диаграммы γ и множество U (γ), элементами которого Uk являются входящие в V (γ) одиночные существенные подграфы, а также всевозможные пары непересекающихся подграфов, тройки и т. д. Тогда (3.53) можно записать в виде0Rγ =γ+Xγ(Uk ) Uk ∈U (γ)Y(Lγi ) ,(3.55)γi ∈Ukгде γ (Uk ) – диаграмма γ со стянутыми подграфами из Uk , с соответствующими вершинными множителями.Докажем, что для логарифмических диаграмм γ справедливо равенствоXK0 [∂^τ R0 γ − R0 ∂^τ γ] =K0 R0 γ (α) (K0 ∂^τ Rσα ) ,(3.56)σα ∈V (γ)где γ (α) – диаграмма, получающаяся заменой двухвостого подграфа σαна единичную вершину. Доказательство проведем, преобразовав левуюи правую части (3.56) к совпадающим между собой выражениям.В нашей схеме коммутатор в левой части (3.56) отличен от нуля (вотличие от схемы MS), так как в ней операция K коммутирует с операцией дифференцирования ∂m2 только для логарифмических диаграмм.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
