Диссертация (1145286), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

Какследствие, вклад в левую часть (3.56) обусловлен двухвостыми подграфами, которые будем обозначать σα . Запишем первое слагаемое в левой4мы включили знак минус в определение операции L, чтобы все слагаемые в (3.53) входили сплюсом106части (3.56), дифференцируя соотношение (3.55):K0 ∂^τ R0 γ = K0 ∂^τ γ ++XUk ∈U (γ)XK0 ∂^τ γ (Uk ) Xσα ∈V (γ) Uk ∈Uσα (γ)YLγi  +γi ∈Uk(Uk )  ^∂τ LσαK0 γYLγi  . (3.57)γi ∈(Uk \σα )Здесь Uσα (γ) – подмножество множества U (γ), элементы которого содержат σα (в том случае, когда в Uk ∈ Uσα (γ) входит единственный элементσα , множество γi ∈ Uk \σα – пустое, и соответствующее произведение обращается в единицу). В (3.57) учтено, что производная ∂^τ Lγα отличнаот нуля только для двухвостых подграфов γα = σα , так как только дляних контрчленная операция L зависит от τ .Во втором слагаемом левой части (3.56) производная ∂^τ γ представляет собой сумму вкладов, в которых продифференцирована по ∂^τ какаялибо линия диаграммы γ, что соответствует вставке в эту линию единичной двухвостой вершины.

Действие R0 -операции на полученную диаграмму γ̇ определяется соотношением (3.55) с заменой множества U (γ)на U (γ̇). Если в набор U̇k ∈ U (γ̇) продифференцированная линия невходит, он совпадает с соответствующим набором исходной диаграммыU̇k = Uk ∈ U (γ). Совокупность таких вкладов совпадает с суммой двухпервых слагаемых в (3.57), которые таким образом сокращаются в левойчасти (3.56). Если продифференцированная линия стоит внутри вершинного подграфа, этот подграф перестает быть существенным и не требуетконтрчлена.

Если она стоит внутри какого-либо двухвостого подграфаσα , его размерность становится равной нулю, он остается существенным,изменяется только определение контрчленной операции, действующейна этот подграф: Lσ̇α = −K0 R0 σ̇α . Cовокупность таких вкладов можнозаписать в видеXXYK0 γ (Uk )  L∂^τ σαLγi  .(3.58)σα ∈V (γ) Uk ∈Uγα (γ)(γi ∈Uk \γα )107С учетом этого соотношения и третьего слагаемого в (3.57), левая часть(3.56) принимает видлевая часть(3.56) =XXσα ∈V (γ) Uk ∈Uγα (γ)K0 γ (Uk )  ∂^τ L σα − L ∂^τ σαYLγi  .(3.59)γi ∈(Uk \γα )Рассмотрим сумму, стоящую в круглых скобках в (3.59). Первое слагаемое в ней удобно дополнить операцией K0 зануления внешнего импульса ∂^τ L σα = K0 ∂^τ L σα , что возможно, т.к.

единственный зависящийот импульса вклад (∼ p2 ) в Lσα пропадает после дифференцирования∂^τ . Представляя в этом слагаемом L в виде L = R − R0 и учитывая, чтово втором слагаемом L = −K0 R0 , получаемih00^^^^^∂τ L σα − L ∂τ σα = K0 ∂τ Rσα − (∂τ R − R ∂τ )σα .(3.60)Предполагая, что для коммутатора в правой части (3.60) справедливосоотношение (3.56) (индукция), имеемK0 (∂^τ R0 − R0 ∂^τ )σα σα =Xσβ ∈V (γα )K0 R0 σα(β) [K0 ∂^τ Rσβ ] ,(3.61)(β)где – σα диаграмма, получающаяся из σα заменой подграфа σβ на единичную вершину. Такая замена понижает на 2 размерность диаграммы,(β)что делает диаграмму σα логарифмической.

Подставляя (3.60), (3.61) в(3.59), находим окончательно для левой части (3.56)левая часть(3.56) =XXσα ∈V (γ) Uk ∈Uσα (γ)K0 γ (Uk ) K0 ∂^τ Rσα−XXσα ∈V (γ) Uk ∈Uσα (γ)K0 γ (Uk ) Xσβ ∈V (σα )Y(Lγi ) −γi ∈(Uk \σα )K0 R0 σα(β) [K0 ∂^τ Rσβ ]Y(Lγi ) .γi ∈(Uk \σα )(3.62)Теперь надо показать, что полученное выражение совпадает с правойчастью (3.56).

Напомним, что в ней γ (α) получается из исходной диаграммы γ заменой двухвостого подграфа σα на точку (единичную вершину).108Запишем действие R0 -операции на γ (α) , используя представление (3.55)R0 γ (α) = γ (α) +Xγ (Uk ) Uk ∈U (γ (α) )Y(Lγi ) .(3.63)γi ∈UkСущественные подграфы диаграммы γ (α) , не содержащие вставки в линию, совпадают с соответствующими подграфами диаграммы γ (не содержащими внутри себя σα ). Выделяя в (3.63) вклад таких подграфов,получаем для правой стороны (3.56) вкладXXσα ∈V (γ) Uk ∈Uσα (γ)K0 γ (Uk ) K0 ∂^τ R σαY(Lγi ) ,(3.64)γi ∈(Uk \σα )совпадающий с первым слагаемым в (3.62).Существенные подграфы диаграммы γ (α) , содержащие вставку точки в линию, могут интерпретироваться как результат замены подграфаσα на точку внутри подграфа σβ ∈ U (γ).

Размерность получающего(α)ся в результате такой замены подграфа σβ на 2 меньше размерностиквадратично расходящегося подграфа σβ , однако он остается существенным (логарифмическим). Суммирование в (3.63) по наборам Uk , содер(α)жащим подграфы вида σβ , можно реализовать путем суммирования поUk ∈ Uσβ и последующего суммирования по всем σβ ∈ Vσα , где Vσα (γ) –множество существенных подграфов диаграммы γ, содержащих в себеподграф σα .

Такое суммирование дает следующий вклад в правую часть(3.56)XXXσα ∈V (γ) σβ ∈Vσα (γ) Uk ∈Uσβ (γ)hi(α)(Uk ) ^K0 γLσβ K0 ∂τ RσαY(Lγi ) (3.65),γi ∈(Uk \σβ )осталось показать, что он совпадает со вторым слагаемым из (3.62).Учтем, что в тройной сумме (3.65) операция L при действии на лога(α)рифмическую диаграмму σβ определяется выражением L = −K0 R0 , а109также произведем замену переменных суммирования α ↔ β, это дает−XXXσβ ∈V (γ) σα ∈Vσβ (γ) Uk ∈Uσα (γ)hi(Uk ) 0 (β)^K0 γK0 R σα K0 ∂τ RσβY(Lγi ) .γi ∈(Uk \σα )(3.66)В (3.62) суммирования по Uk и по σβ независимы, поэтому их можнопоменять местамиYXXX(Lγi ) .K0 γ (Uk )  K0 R0 σα(β) [K0 ∂^τ Rσβ ]−γi ∈(Uk \σα )σα ∈V (γ) σβ ∈V (σα ) Uk ∈Uσα (γ)(3.67)PPОстается доказать, что суммированияσα ∈V (γ)σβ ∈V (σα ) в (3.67) иPPσβ ∈V (γ)σα ∈Vσβ (γ) в (3.66) идут по одинаковым наборам σα и σβ .

Вэтом нетрудно убедиться, если учесть, что в (3.67) отличный от нуляPвклад дают слагаемые из суммы σα ∈V (γ) , в которых σα ∈ Vσβ (γ) – вPпротивном случае отсутствуют слагаемые в σβ ∈V (σα ) . Аналогичным образом, вклад в (3.66) дают только слагаемые с σβ ∈ V (σα ).3.3.4Комбинаторная часть доказательстваПокажем, что (3.52) выполняется в каждом порядке теории возмущений. В беспетлевом приближении условия нормировки (3.16) приводят ктому, что, Γ̄i |g=0 = 1 и величины Fi и fi из (3.50) равны нулю.

Рядытеории возмущений для функций Γ̄2 , Γ̄3 имеют видK0 Γ̄ = Γ̄ =XgnXnCn, j γn, j (τ ) ,(3.68)j(для модели ϕ3 на самом деле ряд по u = g 2 ), где γn, j (τ ) – n-петлевыедиаграммы на нулевых внешних импульсах, а Cn, j – их симметрийныекоэффициенты. Коэффициенты соответствующего ряда для K0 Γ2 будемпомечать верхним индексом 1, а диаграммы обозначать буквой σ (как и110все двухвостые подграфы на нулевых импульсах в других диаграммах):K0 Γ2 =XgnXn(1)Cn, j σn, j (τ ) .(3.69)jПодставляя (3.68), (3.69) в (3.50), (3.51), находимF =XgnXnCn, j R0 ∂^τ γn, j (τ ) ,f=XnjF1 =XngnX(1)Cn, jgnXCn, j ∂^τ R0 γn, j (τ ) .j(3.70)(3.71)R∂^τ σn, j (τ ) .jПодставляя (3.70), (3.71) в (3.52) и приравнивая коэффициенты при g n ,получаемXCn, jR0 ∂^τXX(1)0^− ∂τ R γn, j =Cn1 ,j Cn2 ,l (R0 ∂^τ γn1 , j )(∂^τ Rσn2 , l ) ,n1 , n2 j, ljn1 > 0 , n2 > 0 ,n1 + n2 = n(3.72).При n = 1 равенство (3.72), очевидно, выполняется – правая часть равнанулю, а в левой R0 = 1 и оба вклада сокращаются.

Методом индукциимы убедимся в справедливости соотношения (3.72) для всех n > 1, основываясь на соотношении (3.56).Подставляя (3.56) в (3.72), имеемX(l)Cn, j R0 γ^n, j XX(1)^∂τ Rσl =Cn1 , j Cn2 ,l (R0 ∂^τ γn1 , j )(∂^τ Rσn2 , l ) . (3.73)n1 , n2 j, lj, lЧтобы убедиться в справедливости этого равенства достаточно, очевидно, доказать соответствующее равенство, в котором опущена R0 -операцияв левой и правой частях:Xj, l(l)Cn, j γ^n, j X X(1)^∂τ Rσl =Cn1 , j Cn2 ,l (∂^τ γn1 , j )(∂^τ Rσn2 , l ) .(3.74)n1 , n2 j, lДоказательство соотношения (3.74) будет основано на том, что обе егочасти после приведения подобных членов имеют вид суммы вкладов все-111возможных произведенийĊn1 γ̇n1 Cn2 ∂^τ Rσn2 ,(3.75)где γ̇n1 – диаграмма со вставленной точкой в одну из линий, а Ċn1 и Cn2– симметрийные коэффициенты величин γ̇n1 и σn2 .Рассмотрим правую часть соотношения (3.74).

В ней величина(1)∂^τ Rσn2 , l уже входит со своим симметрийным коэффициентом Cn2 ,l . Второй сомножитель, ∂^τ γn1 , j , представляет собой сумму вкладов вида γ̇n1 ,j ,в которых вставлена точка в одну из линий. Среди них есть одинаковые.Покажем, что после приведения подобных членов каждый вклад такжевойдет со своим симметрийным коэффициентом Ċn1 ,j .Симметрийный коэффициент 1-неприводимой N -хвостки определяется соотношениемN!C=,(3.76)Sгде S – мощность (число элементов) группы симметрии Λ диаграммыпо перестановкам вершин, линий, соединяющих одинаковые вершины ивнешних хвостов.

Разобьем линии диаграммы γn1 ,j на группы линий (орбиты), переходящих друг в друга при всевозможных преобразованияхиз группы симметрии. Перенумеруем орбиты индексом [k] и обозначим(n , j)tk 1 число элеметов в k-ой орбите. Дифференцирование ∂^τ каждой из[k]линий орбиты дает одинаковую диаграмму γ̇n1 ,j , в которую вставленаточка в одну из линий орбиты:∂^τ γn1 ,j =X(n1 , j) [k]γ̇n1 ,jtk.(3.77)[k]Из теории групп следует, что мощность S группы равна произведениючисла элементов орбиты t на мощность стабилизатора Sst любого элемента орбиты (подгруппы с фиксированным элементом)S = tSst .(3.78)Выбирая в качестве фиксированного элемента линию с точкой, находим(n1 , j)Sn1 ,j = tk112[k]Sn1 ,j ,(3.79)откуда с учетом (3.76) получаемCn1 ,j ∂^τ γn1 ,jX [k] [k]X (Nn ,j )! t(n1 , j) [k]X (Nn ,j )! [k]11kγ̇n1 ,j =Ċn1 , j γ̇n1 ,j ,=γ̇n1 ,j =[k]Sn1 ,jS[k][k]где Ċn1 , j =(Nn1 ,j )![k]Sn1 ,j[k]n1 ,j[k](3.80)[k]– симметрийный коэффициент диаграммы γ̇n1 , j .

Под-ставляя (3.80) в правую часть (3.74), приходим к выражениюправая часть (3.74) =X X[k][k](1)Cn1 , j γn1 , j Cn2 ,l (∂^τ Rσn2 , l ) ,(3.81)n1 , n2 j, l ,kимеющему вид суммы вкладов (3.75).Рассмотрим теперь левую часть (3.74). Если в диаграмме γn,j имеется несколько одинаковых подграфов σl , то среди возникающих при(l)их последовательном стягивании диаграмм γn,j могут быть одинаковые.Чтобы привести подобные члены, определим для каждого σl -подграфа“орбиту” – совокупность σl -подграфов, переходящих друг в друга припреобразованиях симметрии диаграммы γn,j , в которую вставлен подграф.Перенумеруем орбиты подграфа σn2 ,l индексом [k] и обозначимP(n ,l,[k])tn, 2jчисло элеметов в k-ой орбите.

В суммеl по всевозможнымподграфам σl диаграммы γ^n, j в левой части (3.74) все элементы однойорбиты дают одинаковый вклад. Сумму по подграфам можно записатьPPкак сумму n2 по числу петель подграфа n2 < n, сумму l по различным подграфам σn2 ,l и сумму по орбитам подграфа σn2 ,l . Вклад k-орбиты(n ,l,[k])будет входить с множителем tn, 2jи в ней будет учитываться толькоодин элемент:левая часть (3.74) =X(n ,l,[k]) (n2 ,l,[k])Cn, j tn, 2jγ^n, j^∂τ Rσn2 ,l .(3.82)j, n2 ,l,kЧтобы завершить приведение подобных членов учтем, что при замене наточку несимметричного по внешним концам подграфа в “несимметричной” линии получаются 2 одинаковых вклада.

5 Таким образом, чтобы5Подграф σ будем называть в дальнейшем симметричным, если в его группу симметрии входитперестановка внешних хвостов. Линию, в которую вставлена точка, будем называть симметричной,если в группу симметрии входит перестановка концов линии.113свести (3.82) к сумме различных вкладов, надо ввести при них допол(n ,l,[k])нительный множитель κn, 2j(в дальнейшем называемый просто κ1 ),который равен 1 для всех симметричных подграфов σn2 ,l , а для несимметричных подграфов равен единице, если они вставлены в симметричнуюлинию, и двойке, если они вставлены в несимметричную линию. Нашей(n ,l,[k]) (n2 ,l,[k])задачей будет показать, что произведение Cn, j tn, 2jκn, jсводится к(n ,l,[k])произведению симметрийных коэффициентов диаграмм σn2 ,l и γ^n, j2.Опуская значки, эту задачу можно сформулировать в виде равенстваCγ tσ κ1 = Cσ Cγ̇ .(3.83)Здесь Cγ – симметрийный коэффициент рассматриваемой 1неприводимой N -хвостки, tσ – число элементов некоторой σ-орбиты,один из элементов которой заменен на точку, κ1 – множитель, равный 2,если заменяемый подграф несимметричен и находится на несимметричной линии, и 1 в остальных случаях.

Характеристики

Список файлов диссертации