Диссертация (1145286), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Введем обозначенияe0 = {g0 , m0 , λ0 , µ},e = {g, m, λ, µ}(3.154)для набора затравочных и ренормированных параметров. Для удобства мы включили в первый из них ренормировочную массу µ, от которой затравочное действие не зависит. Формулы ренормировки для 1неприводимых функций ΓR(n1 ,n2 ) имеют вид(0)2 RΓ(n1 ,n2 ) (e0 ) = Zψ−n1 Zψ−nΓ(n1 ,n2 ) (e) .0(3.155)Уравнения РГ для ΓR(n1 ,n2 ) получаются из условия независимости(0)Γ(n1 ,n2 ) (e0 ) от µeµ Γ(0)D(n1 ,n2 ) = 0,(3.156)eµ ≡ µ∂µ |m ,g ,λ .
Для ренормированных функций ΓRгде D0 0 0(n1 ,n2 ) с учетом(3.155) получаемhiReDµ ln Γ(n1 ,n2 ) − n1 ln Zψ − n2 ln Zψ0 = 0,(3.157)eµ ln Zφ ,γφ ≡ D(3.158)Reµ ΓRD(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) .(3.159)откуда, вводянаходимПереходя в (3.159) к дифференцированию по ренормированным переменным e с помощью равенства(Dµ )g0 ,m0 ,λ0 = (Dµ )g,m,λ + (Dµ g)g0 ,m0 ,λ0 ∂g ++(Dµ τ )g0 ,m0 ,λ0 ∂τ + (Dµ λ)g0 ,m0 ,λ0 ∂λ ,(3.160)имеемReeeDµ + (Dµ g)∂g + (Dµ τ )∂τ + (Dµ λ)∂λ ΓR(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) .(3.161)137Вводя, с учетом (3.138), РГ-функцииeµ ln Zτ ,γτ ≡ Deµ ln Zλ ,γλ ≡ Deµ ln Zg ,γg ≡ Deµ g = −g(ε + γg ) ,β≡D(3.162)получаем из (3.161) искомое уравнение ренормгруппы:R(Dµ + β∂g − γτ Dτ − γλ Dλ ) ΓR(n1 ,n2 ) = (n1 γψ + n2 γψ 0 )Γ(n1 ,n2 ) ,(3.163)где Dµ ≡ µ∂µ |τ,λ,g , Dτ ≡ τ ∂τ |λ,µ,g , Dλ ≡ λ∂λ |τ,µ,g .Уравнения (3.163) позволяют обосновать критический скейлинг:условие β(g∗ ) = 0 определяет значение заряда g∗ в неподвижной точке.
Для устойчивой неподвижной точки подстановка g = g∗ в уравнения(3.163) превращает их в уравнения Эйлера для однородных функций, авеличины γτ∗ ≡ γτ (g∗ ) и γφ∗ ≡ γφ (g∗ ) определяют критические показателисоотвествующих величин. Необходимые для расчета этих показателейРГ-функции β и γi находят обычно по теории возмущений, вычисляяконстанты ренормировки. Как следует из (3.162), РГ-функции выражаются через них соотношениямиβ(g) = −ε ·g,1 + g∂g ln Zg(3.164)γi (g) = −ε ·g∂g ln Zi.1 + g∂g ln Zg(3.165)Теория ренормировок гарантирует УФ-конечность РГ-функций(3.164), (3.165) – сокращение полюсов по ε в правых частях этих соотношений, однако сингулярный характер констант ренормировки весьмазатрудняет их определение численными методами. Отсутствие полюсовв РГ-функциях (3.164), (3.165) можно показать, используя уравнения(3.163) [9]: ренормированные функции ΓR(n1 ,n2 ) УФ-конечны по построению, выбрав достаточное число уравнений из (3.163), можно выразитьчерез них РГ-функции, что и доказывает конечность последних.
Мы используем этот прием для численного расчета РГ-функций через ΓR(n1 ,n2 ) ,точнее, через ренормированные аналоги функций Γ̄i из (3.144)-(3.148)Γ̄Ri = RΓ̄i ,i = 1, ..., 5.138(3.166)RRУравнения на Γ̄R1 , Γ̄4 , Γ̄5 непосредственно получаются из (3.163) подстаRновкой их определений (3.144), (3.147), (3.148), а для Γ̄R3 , Γ̄4 – действием на соответствующие уравнения из (3.163) операциями ∂p2 ... |p=0,ω=0и ∂i ω...
|p=0,ω=0 с использованием коммутативности этих операций c Rоперацией. Учитывая следующие из (3.139) и (3.158) связи между РГфункциямиγ1 = γλ + 2γψ0 ,γ2 = γψ + γψ0 ,γ4 = γλ + γτ + γψ0 + γψ ,γ3 = γλ + γψ0 + γψ ,γ5 = γλ + γg + γψ0 + 3γψ ,(3.167)получаем(µ∂µ + β∂g − γτ τ ∂τ − γi ) Γ̄Ri = 0,i = 1, ..., 5 .(3.168)Безразмерные величины Γ̄Ri зависят только от безразмерного отношенияRτ̃ = τ /µ2 : Γ̄Ri (τ, µ, λ) = Γ̄i (τ̃ ), с учетом этого уравнения (3.168) можнозаписать в видеβ∂g − (2 + γτ )τ̃ ∂τ̃ − γi Γ̄Ri = 0,τ̃ ≡τ,µ2i = 1, ..., 5.(3.169)Переходя в (3.169) к точке нормировки τ̃ = 1 и учитывая (3.149), получаем(2 + γτ ) Fi = γi ,i = 1, ..., 5 ,(3.170)гдеFi ≡ ∂^τ̃ Γ̄Ri ,∂^τ̃ ...
≡ −∂τ̃ ... |τ̃ =1 .(3.171)Подставляя в (3.170) следующее из (3.167) соотношение γτ = γ4 − γ3 ,запишем(2 + γ4 − γ3 ) Fi = γi ,i = 1, ..., 5 .(3.172)Решая уравнения (3.172) с i=3, 4 относительно γ3 и γ4 , а затем оставшиеся уравнения относительно γ1 , γ2 и γ5 , находимγi =2Fi,1 + F3 − F4139i = 1, ..., 5.(3.173)Соотношения (3.173) выражают РГ-функции через ренормированные 1неприводимые функции Fi .
Однако, как и в статическом случае [118], [6],данные функции неудобны для вычислений, более удобными для расчетаявляются функцииfi = R∂^τ̃ Γ̄i ,(3.174)в которых R-операция действует на продифференцированные диаграммы, в которых уже положено µ2 = τ (τ̃ = 1), поэтому операция K имеетпростой вид (3.152). Для функций же Fi из (3.170) необходимо вначалепродифференцировать ренормированную диаграмму, в которой операция K дается выражением (3.151), и лишь затем перейти в точку нормировки µ2 = τ . Мы покажем, что как и в статическом случае величиныFi и fi связаны простыми соотношениямиFi = (1 − F4 )fi ,i = 1, 2, 3, 5 .(3.175)Записывая (3.173) в видеγi =2Fi /(1 − F4 ),1 + F3 /(1 − F4 )и подставляя сюда fi = Fi /(1 − F4 ) из (3.175), приходим к соотношениюγi =2fi,1 + f3i = 1, 2, 3, 5 ,(3.176)с помощью которого и будут производиться дальнейшие расчеты РГфункций.Используя (3.176) и (3.167), получаем формулы для вычисления остальных РГ-функций:γλ =γψ0 =2(f3 − f2 ),1 + f3f1 − f3 + f2,1 + f3γψ =γg =f2 − f1 + f3,1 + f32(f5 − 2f3 − f2 + f1 ).1 + f3140(3.177)3.4.1.4Представление R-операцииВеличины fi вычисляются в точке нормировки µ2 = τ , операции вычитания (1 − K) в формуле (3.153) для них сводятся к вычитанию начального отрезка ряда по импульсу и частоте.
Для логарифмическихподграфов имеем(1 − K)Γ(p2 , ω) = Γ(p2 , ω) − Γ |p=0,ω=0 ,(3.178)а для квадратичных –(1 − K)Γ(p2 , ω) = Γ(p2 , ω) − Γ |p=0,ω=0 −−p2 · ∂p2 Γ |p=0,ω=0 −iω · ∂iω Γ |p=0,ω=0 .(3.179)В обоих случаях операцию вычитания можно записать в виде остаточного члена ряда Тейлора в интегральной форме:2(1 − K)Γ(p , ω) =Z1da ∂a Γ(ap2 , aω)(3.180)da(1 − a) ∂a2 Γ(ap2 , aω)(3.181)0для логарифмических подграфов и2(1 − K)Γ(p , ω) =1Z0– для квадратичных.Действие операции R на диаграмму χ с учетом (3.180), (3.181) можнозаписать в виде [123]:Rχ =YZi01dai (1 − ai )ni ∂anii +1 χ({a}),(3.182)где произведение берется по всем существенным подграфам χ(i) (включая диаграмму χ как целое), ai – параметр растяжения внутри i-то подграфа импульсов и частот, втекающих в этот подграф; ni = 0 для логарифмических подграфов и ni = 1 для квадратичных.
Преимуществотакой записи ренормированных величин в том, что ответ представляетсяв виде интегралов, конечных при ε = 0, причем в форме, в которой не141происходит сокращения больших вкладов в подынтегральном выражении (“теория без расходимостей”).3.4.1.5Ренормировка величин fi и их связь с FiДокажем соотношение (3.175). Рассмотрим с этой целью процедуруренормировки в соотношении (3.174). Операция −∂τ , действуя на диаграммы базовой теории, сводится к сумме вставок во всевозможные линии составного оператора ψψ 0 ≡ Ψ.
Вставка такого оператора улучшает ультрафиолетовую сходимость диаграмм, она порождает также новый тип расходящихся подграфов. Обозначим Γ(n1 ,n2 ;1) 1-неприводимуюфункцию, получающуюся вставкой одного оператора Ψ в Γ(n1 ,n2 ) , тогда− ∂τ Γ(n1 ,n2 ) = Γ(n1 ,n2 ;1) .(3.183)Среди величин Γ(n1 ,n2 ;1) поверхностная расходимость (логарифмическая)остается только у Γ(1,1;1) . Соответствующие подграфы принадлежат таким образом к классу существенных и их надо учитывать в R-операции(3.153) принимая во внимание,чтоKΓ(1,1;1) = Γ(1,1;1) |p=0,ω=0,µ2 =τ .(3.184)Как и для величин Γi , вычитания с K из (3.184) приводят к тому, чтов точке нормировки p = 0, ω = 0, µ2 = τ все диаграммные вклады вΓR(1,1;1) сокращаются в ренормированной функции контрчленами, остается только беспетлевой вклад.
С учетом того, что такой вклад в Γ(1,1)равен −p2 − τ , соответствующий вклад в Γ(1,1;1) = −∂τ Γ(1,1) равен 1. ПоэтомуΓR(3.185)(1,1;1) |p=0,ω=0,µ2 =τ = 1.Для неренормированных функций соотношение, аналогичное (3.183),имеет вид(0)(0)− ∂τ0 Γ(n1 ,n2 ) (e0 , p) = Γ(n1 ,n2 ;1) (e0 , p),(3.186)(0)где Γ(n1 ,n2 ;1) – 1-неприводимая функция со вставкой одного оператораψ0 ψ00 ≡ Ψ0 . Перейдем в (3.183) к ренормированным величинам. Ренормировка составного оператора Ψ определяется равенством Ψ = ZΨ ΨR , с142(0)учетом этого ренормировка величины Γ(n1 ,n2 ;1) записывается в виде(0)2ZΨ ΓRΓ(n1 ,n2 ;1) = Zψ1−n1 Zψ1−n0(n1 ,n2 ;1) .(3.187)Выразим операцию ∂τ0 в левой части (3.186) в терминах ренормированных переменных.
В силу (3.138) фиксация переменных g0 , µ, λ0 означаеттакже фиксацию g, µ, λ. Таким образом,(∂τ0 )g0 ,µ,λ0 = Zτ−1 (∂τ )g,µ,λ .(3.188)Подставляя (3.188) в (3.186) и используя формулы ренормировки (3.155),(3.187), получаемR− ∂τ ΓR(n1 ,n2 ) (e, p) = Zψ Zψ 0 Zτ ZΨ Γ(n1 ,n2 ;1) (e, p),(3.189)или, с учетом (3.139),− ∂τ ΓR(n1 ,n2 ) (e, p) =Z4ZΨ ΓR(n1 ,n2 ;1) (e, p).Zλ(3.190)Учет констант ренормировки при построении ΓR(n1 ,n2 ;1) также можно заменить действием R- операции на диаграммы базовой теории [9]ΓR(n1 ,n2 ;1) = RΓ(n1 ,n2 ;1) .(3.191)Подставляя (3.191), (3.183) в (3.190), находим− ∂τ ΓR(n1 ,n2 ) = −Z4ZΨ R∂τ Γ(n1 ,n2 ) .Zλ(3.192)Переписывая эти равенства для нормированных функций Γ̄i из (3.144)–(3.148), учитывая (3.171), (3.174), (3.185) и полагая µ2 = τ , получаем1 − F4 =Fi =Z4ZΨ fi ,ZλZ4ZΨ ,Zλ(3.193)i = 1, 2, 3, 5.(3.194)143Подставляя величинуравенству (3.175).3.4.1.6Z4Zλ ZΨиз (3.193) в (3.194), приходим к искомомуОбсуждениеВ даннойм разделе проведено обобщение результатов, полученных вработах [117] и [118] для моделей критической статики на динамическиемодели.
В работе [117] соотношение вида (3.176) в модели φ3 было угадано и проверено в четырехпетлевом приближении, в [118] это соотношениебыло доказано в произвольном порядке теории возмущений. Приведенное в настоящей работе доказательство соотношения (3.176) заметно короче, чем в [118]. Это связано с тем, что в нем используется информацияо возможности обобщения процедуры ренормировки на случай расширенной теории с учетом составных операторов [71], а также ее формулировки в терминах R-операции [9].Соотношения (3.174), (3.176), (3.182) позволяют вычислять РГфункции β и γi непосредственно по диаграммам для Γ(2,0) , Γ(1,1) и Γ(3,1)в форме, не содержащей полюсов по ε.
Эффективность такого подхода была проверена путем численного расчета критических показателейв трехпетлевом приближении. Результат с большой точностью совпалс аналитическим ответом, приведенным в [9]. Были рассчитаны такжекритические показатели в другой модели критического поведения – теории перколяции, в которой в настоящее время известен аналитическийответ во втором порядке ε-разложения [130]. В этом случае также имело место хорошее совпадение численных результатов с аналитическими.Предложенный способ может использоваться в старших порядках теориивозмущений.3.4.2Модель направленной перколяции3.4.2.1ВведениеОдной из динамических моделей, в которой происходит переход второго рода, является направленная перколяция [133, 134].
Она, в частности, объясняет адронные взаимодействия при очень высоких энер-144гиях [135], стохастические процессы реакционной диффузии на решетке [136], распространение инфекционных болезней [130], и т.д.Критические экспоненты могут быть сосчитаны в виде пертурбативного разложения по формально малому параметру . Теоретически такиевычисления не должны зависеть от выбора ренормализационной схемы.С практической точки зрения для вычислений наиболее удобно использовать схему с точкой нормировки (NP).3.4.2.2Ренормировка моделиТеоретико-полевая формулировка процесса перколяции [130] основана на следующем действииS = ψ † (−∂t + D0 ∂ 2 − D0 τ0 )ψ +D0 λ0 † 2[(ψ ) ψ − ψ † ψ 2 ],2(3.195)где ψ плотность перколирующих агентов, ψ † вспомогательное (MartinSiggia-Rose) поле, D0 коэффициент диффузии, λ0 положительная константа связи, τ0 отклонение от пороговой величины введенной вероятности (аналог критической температуры в статических моделях).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
