Диссертация (1145286), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Этафункция пропорциональна поперечному проекторуΓij (k, ω) = Pij (k)Γ(k, ω) ,Γ(k, ω) =Γii (k, ω).d−1(3.220)Определим нормированную функцию равную единице в беспетлевомприближенииΓ(k, ω)Γ(k, ω) =.(3.221)−νk 2151Тогда в схеме NP для ее ренормированной версии требуется следующееусловие нормировкиRΓ |k=0,ω=0,µ=m = 1 ,(3.222)Rа именно, все диаграммные вклады в ренормированую функцию Γдолжны сокращаться контрчленами в точке ренормировки k = 0, ω = 0,µ = m. Это условие определяет схему вычитаний и вид константы ренормировки Zν .Фейнмановская диаграммная техника, этой модели (3.218), (3.215),(3.216), содержит пропагаторы, которые в (k, t)-представлении имеютвидdf (k)2exp−νk|t−t|Pij (~k) = −−−−−− (3.223)122νk 2< vi (t1 )vj0 (t2 ) >= θ(t1 − t2 ) exp − νk 2 (t1 − t2 ) Pij (~k) = −−−−−−| (3.224)< vi (t1 )vj (t2 ) >=Взаимодействие в (3.218) передставлено−v 0 (v∂)v = vj0 Vjsl vs vl с вершинным множителем)тройнойвершиной*Vjsl = iks δjl = −−−|− •,(3.225)где ks представляет собой аргумент импульса поля v 0 .
Перечеркнутая линия в (3.225) соответствует полю v 0 , точка соответствует полю vs , свернутому с iks и обычная линия соответствует полю vl .)Ряд возмущений для функции Γ можно представить какΓ(k, ω, m, µ) =Xn≥1un µnεXχ(i)n (k, ω, m) ,iu≡Sd g,(2π)d(3.226)где суммирование по i происходит по всем n-петлевым диаграммамфункции Γ. Для удобства введен нормированный заряд u, в котором Sdпредставляет собой площадь поверхности единичной сферы в d-мерномпространстве.1523.4.3.3РГ-уравнения, РГ-функции, выраженные через ренормированные функции ГринаВ используемой схеме ренормировки (аналогично MS схеме) константы ренормировки Zν и Zg зависят только от размерности пространстваd и параметра ε и не зависят от отношения m/µ. РГ-уравнения выглядят точно так же, как в MS схеме [9].
В частности, уравнение для 1неприводимой функции ΓR будет(µ∂µ + β(g)∂g − γν (g) ν∂ν )ΓR = 0 ,(3.227)гдеγi (g) =−2εg∂g ln Zi,1 + g∂g ln Zgβ(g) = −g(2ε + γg ) = −g(2ε − 3γν ) .(3.228)Последнее уравнение в (3.228) является следствием соотношения междуконстантами ренормировки Zg и Zν в (3.219). Уравнения (3.228) определяют β и γν РГ-функции в терминах констант ренормировки.
Эти функции конечны и не содержат полюсов по ε ввиду ренормируемости теории.Используя уравнение (3.227), можно выразить РГ-функции чарез ренормированные функции Грина ΓR .)RСначала получим РГ-уравнение для нормированных функций Γ .Используя (3.221) и (3.222), получимRR(µ∂µ + β(g)∂g − γν (g) ν∂ν )Γ = γν Γ .(3.229)Рассматривая это уравнение в точке нормировки k = 0, ω = 0, µ = m ипринимая во внимание, чтоRRΓ |k=0,ω=0 (m, µ, ν) = Γ |k=0,ω=0 (m/µ) ,R∂g Γ |k=0,ω=0,µ=m = 0,(3.230)получаемRγν (g) = −(m∂m Γ ) |k=0,ω=0,µ=m .(3.231)В (3.231) РГ-функция γν выражена через ренормированную функциюRΓ .
Обычно (как правило) вычисление ренормированных функций включает вычисление констант ренормировки, расходящихся по ε. Чтобы рас153сматривать только конечные объекты, надо принять во внимание контрчлены в R-операции, действующей на диаграммы базового (в которомZν = 1),ΓR = RΓ = (1 − K)R0 Γ .(3.232)Здесь R0 -операция исключает расходимости в подграфах диаграмм, аоперация (1 − K) убирает оставшиеся поверхностные расходимости.
R0 операция может быть записана следующим образом [123]R0 Γ =Y(1 − K)j Γ ,(3.233)jгде для каждой диаграммы Γ произведение берется по всем расходящимся подграфам. Ренормировка (3.232), (3.233) убирает расходимостифункции ΓR как целого и расходимости в каждой диаграмме.Формальный индекс УФ-расходимости 1-неприводимой функции <vv 0 >1−ir равен 2. Это приводит к возможным контрчленам типа k 2 иiω.
Однако, как видно из (3.225), внешняя линия v 0 этой функции всегда умножается на внешний импульс k, поэтому остается расходимостьтолько типа k 2 . В используемой схеме ренормировки это соответствуетследующим операциям вычитания для функции Γ и для 1-неприводимых(i)подграфов диаграмм χn из (3.226), соответственно(1 − K)Γ(k, ω, m, µ) = Γ(k, ω, m, µ) − Γ |k=0,ω=0,µ=m ,(1 − K)χj (kj2 , ωj , m) = χj (kj2 , ωj , m) − χj |kj =0,ω=0 ,(3.234)где kj и ωj импульс и частота, втекающие в подграф χj .
Вычитаниерасходимостей в подграфах приводит к конечным интегралам, соответствующим ренормированным фейнмановским диаграммам.Поскольку безразмерный контрчлен Γ |k=0,ω=0,µ=m не зависит от m,принимая во внимание (3.231),получимγν (g) = −(m∂m RΓ) |k=0,ω=0,µ=m = −(m∂m R0 Γ) |k=0,ω=0,µ=m .154(3.235)Подставляя разложение (3.226) в (3.235), имеемγν (g) =Xn≥1nu (γν )n ,−2nε(γν )n = −mXi(m∂m R0 χ(i)n ) |k=0,ω=0,µ=m .(3.236)Это основное соотношение для вычисления РГ-функций γν .)3.4.3.4Предел больших dРассмотрим диаграммы в импульсном представлении в сферическойсистеме координат.
Тогда размерность пространства d входит в меру инR∞Rπтегрирования 0 dk k d−1 0 dθ (sin θ)d−2 ... и в линии vv диаграмм какk 2−d−2ε . Число vv-линий в диаграммах совпадает с числом петель, следовательно импульсы на линиях vv всегда можно выбрать в качествеимпульсов интегрирования. Множитель θ(k − m)k 2−d−2ε в (3.216) измеR∞R∞няет 0 dk k d−1 на m dk k 1−2ε , и зависимость от d в радиальной частипропадает.
Когда d → ∞, угловой вес (sin θ)d−2 имеет резкий максимумпри θ = π/2. Поскольку cos(π/2) = 0, внутренние произведения различных внутренних импульсов интегрирования исчезают. Тогда в ведущемприближении при d → ∞ можно считать, что импульсы интегрированияортогональны друг к другу и внешнему импульсу p. В этом приближении подынтегральные выражения не зависят от углов, интегрированиепо углам дает множитель Sd , включенный в определение заряда u (3.226).Этот заряд конечен в ренормгрупповой фиксированной точке.Поэтому основной вклад в функции Грина при d → ∞ вносят диаграммы без скалярных произведений, что существенно уменьшает числодиаграмм.
В однопетлевом приближении из четырех диаграмм рисунка3.1 ненулевой вклад дает только первая диаграмма(1)χ1 |k=0,ω=0 =Z∞mk 1−2εdk.4k 2(3.237)Затем, из уравнения (3.236) можно найти однопетлевое выражение дляаномальной размерности γν ,)(1)(γν )1 = −m2ε m∂m χ1 |k=0,ω=0 =1551.4(3.238)Рис. 3.1. Однопетлевые диаграммы.В двухпетлевом приближении в ведущем порядке при больших dтолько 6 из 120 диаграмм дают вклады. Рассмотрим в качестве примера диаграммы на Рис. 3.2.
Их интегрирование по времени даетИнтегрирование по времени даетРис. 3.2. Пример двупетлевой диаграммы.∞∞12dkk+.dqqkk 4 (k 2 + q 2 ) k 2 (k 2 + q 2 )2mm(3.239)Это выражение имеет расходящийся подграф с петлевым импульсом q ивнешним импульсом k. Соответствующая расходимость интеграла по qпри ε = 0 логарифмическая и локализована (находится) в первом слагаемом (3.239). Действуя на этот подграф операцией вычитания (1 − K) ииспользуя (3.233), получаем(1)χ2 |k=0,ω=0 =132Z1−2ε∞Z1−2ε 2∞k2dkkdqq+k 2 (k 2 + q 2 )2mmZ ∞hZ ∞2 io2k 21−2ε1−2ε 2k+dqq−dqq. (3.240)k 4 (k 2 + q 2 )k4q2mµ(1)R0 χ2 |k=0,ω=0 =132Z1−2εnZ1561−2εВ соответствии с (3.236) вклад этой диаграммы в (γν )2 будетZih 21 ∞214ε0 (1)1−2ε− µ m∂m R χ2 |k=0,ω=0 |µ=m =− ++dqq32 11 + q 2 q 2 (1 + q 2 )2Zih11 ∞21−2ε+(3.241).+dkk32 1k 2 (1 + k 2 ) (1 + k 2 )2Сделав замену переменных q 2 = x, k 2 = x и объединив интегралы, можно переписать (3.241) следующим образом− µ4ε(1)m∂m R0 χ2 |k=0,ω=01|µ=m =32Z∞1x−εdx.(x + 1)2(3.242)Вычисление оставшихся двухпетлевых диаграмм приводит к1(γν )2 = −16∞Z1x−εdx.(x + 1)2(3.243)В MS-схеме РГ-функции не зависят от ε.
В нашей схеме однопетлевыерезультаты тоже не зависят от ε. Зависимость двухпетлевых результатовот ε можно обнаружить разлагая подинтегральное выражение в (3.243)в ряд Тейлора. Число необходимых членов ряда определяется требуемойточностью. Принимая во внимание, что заряд u в фиксированной точкеu∗ = O(ε), для вычисления третьего порядка разложения необходимознать два следующих члена(γν )2 =1(1 − 2ε ln 2) + O(ε2 ) .32(3.244)Рассмотрим пример вычисления трехпетлевой диаграммы. После ин-Рис. 3.3. Пример трехпетлевой диаграммы.157тегрирования по времени диаграмме Рис. 3.3 соответствует интеграл)(1)χ3 |k=0,ω=0 =1156Z∞dk k1−2εZ∞dq q1−2ε∞mmmZds s1−2ε1k 2 (k 2+q 2 )(k 2.+ q 2 + s2 )(3.245)Диаграмма на рис.
3.3 содержит два расходящихся подграфа: однопетлевой подграф с внутренним циркулирующим импульсом s и внешнимиимпульсами k и q ("подграф 1") и двухпетлевой подграф с внутреннимициркулирующими импульсами q и s и внешним импульсом k ("подграф2"). Действие R0 -операции сводится к последовательному применениюдвух операций вычитания (1 − K)2 (1 − K)1 на подграфы, выполненныхв произвольном порядке. Тогда из (3.245) получаемZ ∞ZnZ ∞1q 1−2ε h ∞s1−2ε−1−2εdk kdq 2ds−156 m(k + q 2 ) m(k 2 + q 2 + s2 )mZ ∞Z ∞Z ∞Zq 1−2ε h ∞s1−2ε ios1−2ε is1−2εdq 2dsds 2 −ds 2−.(3.246)−sq(q + s2 )s2µµµµ(1)R0 χ3 |k=0,ω=0 =Здесь два первых слагаемых являются результатом действия (1 − K)1операции на однопетлевой подграф.
Третье и четвертое слагаемые это результат действия (1 − K)2 на всю диаграмму после действия(1 − K)1 . Дифференцируя (3.246) по m, можно легко увидеть, что(1)− µ6ε m∂m R0 χ3 |k=0,ω=0 |µ=m = 0, т.е. эта диаграмма не дает вкладав (γν )3 .Полное число трехпетлевых диаграмм 4080, и только 83 из них остаются при d → ∞. Их вклад(γν )3 =1(7 + 6 ln 2) + O(ε) .512(3.247)Поэтому из (3.236), (3.238), (3.244), (3.247) следует, что аномальная размерность γν в трехпетлевом приближенииu u2u3γν = + (1 − 2ε ln 2) +(7 + 6 ln 2) + O(u4 ) .4 32512(3.248)Подставляя (3.248) в β-функцию (3.228) и решая уравнение β(u∗ ) =0, можно найти величину заряда в фиксированной точке в виде εразложения8ε 8ε2 4ε3u∗ =−−(1 − 2 ln 2) .(3.249)399158В соответствии с (3.228), (3.248) и (3.249), индекс ω = β 0 (u∗ ) будет210ω = 2ε + ε2 + ε3 .39(3.250)Последнее выражение совпадает с полученным в [139].3.4.3.5ОбсуждениеВ данном разделе Было проведено вычисление аномальной размерности γν и экспоненты ω в трехпетлевом приближении модели развитойтурбулентности в пространстве большой размерности с использованиемметода нахождения РГ-функций без использования констант ренормировки.
Вычисления показали эффективность данного метода. Главнымпреимуществом метода является то, что для вычисления n-петлевых результатов надо оценить набор из (n − 1)-размерных интегралов, не имеющих сингулярностей по ε. Процедуру вычисления легко автоматизировать. Основная трудность в вычислении высших порядков теории возмущений состоит в том, что число диаграмм в записи с несимметричнойвершиной существенно возрастает.
В рассмотренном случае (d → ∞)число диаграмм заметно уменьшается. Так что в четырехпетлевом приближении из 417872 диаграмм останется только 1692 диаграммы.)Существенное уменьшение числа диаграмм может свидетельствоватьо том, что ε-разложение функции γν (ε) имеет конечный радиус сходимости в пределе при d → ∞ в отличие от общего случая, когда наблюдается факториальный рост соответствующих коэффициентов ряда. Тоже самое происходит в теории фазовых переходов с аномальными размерностями γ(ε, n). Здесь ε = 4 − d, d представляет собой размерностьпространства и n число компонент поля.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
