Диссертация (1145286), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Доказательство несостоятельности нелокальной ренормировки [1] в двухпетлевом приближенииМодель 4.4) логарифмична (т.е. голая константа связи g0 безразмерна) при ε = 0 в функции (4.3) в произвольной размерности пространстваd. При фиксированной размерности d > 2 величина ε = 2 соответствует”реальной задаче”.
Вычисления в рамках ε-разложения имеют строгийсмысл только в окрестности ε = 0, в то время как продолжение результатов к реальному значению ε = 2 всегда понимается как экстраполяция.В схеме, применимой при d > 2 и рассмотренной в разделе 4.1.2 эта экстраполяция соответствует продолжению вдоль вертикального луча отточки (d, ε = 0) к точке (d, ε = 2) в плоскости (d, ε). Той же конечнойточки можно достичь вдоль луча,начиная с любой точки (d0 6= d, ε = 0),при которой модель также логарифмична. Экстраполяцию вдоль луча,начинающегося из (d0 = 2, ε = 0) следует, однако, выделить, посколькупри d = 2 в модели (4.4) появляется дополнительная УФ расходимость1PI функции Γϕ0 ϕ0 (отсутствующая при d > 2).
Для такого лучаd = 2 + 2Δ,Δ/ε = ζ = const.(4.26)Параметры ε и Δ рассматриваются как малые, а их отношение Δ/ε = ζкак фиксированная константа (ζ = 1/4 при экстраполяции в точку (d =3, ε = 2)).Выделение вкладов порядка εm с Δ/ε = const соответствует учетувсех вкладов вида εm (ε/Δ)n с любыми n = 0, 1, 2... and m + n = k в(4.25). Таким образом, использование (ε, Δ) разложения в такой форменепосредственно связано с учетом сингулярностей при Δ → 0, на которые указывалось в обсуждении соотношения (4.25).172Рис. 4.1. Граница B-A-C между областями параметров d, ε соответствующих прямому (правее кривой B-A-C) и обратному (левее) каскадамэнергии.Необходимо отметить, что сам процесс экстраполяции вдоль луча изначальной точки (d = 2, ε = 0) неприменим к описанию двумерной турбудентности, физика которой полностью отлична от трехмерной задачииз-за возникновения обратного энергетического каскада [152]. На рис.
4.1представлена пограничная кривая B-A-C между прямым (нормальными)и обратным энергетическими каскадами, полученая в [153]. Исходная(стартовая)точка экстраполяции для двумерного случая (d = 2, ε = 0)лежит в области прямых каскадов, в то время как конечная точка(d = 2, ε = 2) находится в области обратных каскадов. Таким образом,луч, соединяющий эти точки пересекает пограничную кривую B-A-C, такчто экстраполяция становится невозможной. Однако луч, соединяющийначальную точку (d = 2, ε = 0) с конечной точкой типа (d = 3, ε = 2)полностью лежит в области прямых каскадов, поэтому на таком лучепроблема изменения характера каскада не возникает.
Самая правая точка в области обратных каскадов (точка А на рис. 4.1) имеет координатыdA ' 2.06 [153]. В последующем обсуждении экстраполяции по вертикальному лучу от точки (d, ε = 0) к точке (d, ε = 2) при d > 2 следуетотметить, что условием будет не просто d > 2, а d > dA = 2.06.
Спрактической точки зрения это несущественно, так как нас интересуетразмерность пространства d = 3.173Идея двойного разложения совместно с экстраполяцией вдоль лучаΔ ∼ ε (4.26) в контексте данной проблемы была впервые высказана в [1].УФ расходимости присутствуют не только в 1PI функции Γϕ0 ϕ но также в Γϕ0 ϕ0 , и они появляются в виде полюсов по параметрам ε и Δ и ихлинейных комбинаций, или, что эквивалентно, как полюсы по ε с фиксированным отношением Δ/ε ≡ ζ = const. Чтобы убрать дополнительные расходимости из графов 1PI функции Γϕ0 ϕ0 в [1] была использованаренормировка амплитуды D0 в нелокальной корреляционной функциислучайной силы (4.2) и (4.3), т.е. соотношения (4.7) между голыми иренормированными параметрами было заменено наD0 = g0 ν03 = gµ2ε ν 3 ZD ,ν0 = νZν ,g0 = gµ2ε Zg ,Zg Zν3 = ZD(4.27)с новой константой ренормировки ZD , которая не имеет аналога в уравнении (4.7).)Следует отметить, что дополнительная константа ZD нарушает последнюю связь в (4.7) и ее следствия (4.20).
Поэтому автор работы [1]выдвинул предположение, что в схеме двойного (ε, Δ) разложения приреальной величине ε = 2 поле скорости ϕ и частота ω имеют размерности отличные от Колмогоровских (4.21). Это безусловно верно, еслииспользуются соотношения ренормировки (4.27). В дальнейшем будетпоказано, что схема ренормировки [1] с соотношениями (4.27) не является внутренне согласованной. Это не очевидно в однопетлевом приближении, которым ограничился автор работы [1], но становится очевиднымуже в следующем двухпетлевом приближении. В [151] была предложенадругая конструкция двойного (ε, Δ) разложения, в которой последнееравенство в (4.7) и его следствия (4.20) и (4.21) сохраняются.
Этот подход будет рассмотрен в разделе 4.1.4.Основная задача данного раздела доказать, что схема мультипликативной ренормировки (4.27) содержит внутренние противоречия. Дляэтого рассмотрим представления типа (4.11) для 1PI функций Γϕ0 ϕ иΓϕ0 ϕ0 . В соответствии с (4.27) амплитуда D0 в (4.10) теперь приобретает дополнительный множитель ZD , поэтому вместо соотношения (4.11)174получаем)Tr Γϕ0 ϕ |ω=0(1)(2)2= −Zν + us2ε γϕ0 ϕ Zν−2 ZD + (us2ε )2 γϕ0 ϕ Zν−5 ZD+ ... . (4.28)2νp (d − 1)Аналогичное соотношения для 1PI функции Γϕ0 ϕ0 будетTr Γϕ0 ϕ0 |ω=0(1)(2)23= ZD + us2ε γϕ0 ϕ0 Zν−3 ZD+ (us2ε )2 γϕ0 ϕ0 Zν−6 ZD+ ... .32ε4−d−2εgν µ p(d − 1)(4.29)Параметр разложения u = g S̄d из (4.9).
В разделе 4.1.2 величина d рассматривалась как фиксированный параметр и поэтому было возможнотрактовать S̄d как простой нормирующий множитель. Сейчас d определяется соотношением (4.26), при вычислениях в обычной MS схеме величина S̄d должна бытьразложена по малому параметру Δ ∼ ε. Следуя [1],будем использовать модифицированную MS схему (см.,например, [154]),в которой величина S̄d рассматривается как целое и не раскладываетсяпо Δ.
Хорошо известно, что выбор схемы не отражается на каких-либофизически важных результатах.The constants Z are sought as series of form (4.8) and determined fromthe condition of cancellation of the UV divergences (poles in ε with Δ/ε =const) in relations (4.28) and (4.29).
Denoting by Z (n) the contribution oforder un ∼ g n in any of these constants we arrive at expressions similarto (4.14) and (4.15): at the first order in u ∼ g (ТК Константы Z ищутся в виде рядов вида (4.8) и определяются из условия сокращения УФрасходимостей (полюсов по ε с Δ/ε = const) в соотношениях (4.28) и(4.29). Обозначая через Z (n) вклад порядка un ∼ g n в любую из этихконстант, мы приходим к выражениям, аналогичным (4.14) и (4.15): впервом порядке по u ∼ gno(1)us2ε γϕ0 ϕ ,no2ε (1)= −Lε us γϕ0 ϕ0 ,Zν(1) = Lε(1)ZD175(4.30)и во втором порядкеZν(2)(2)ZDno(1)2 4ε (2)2ε (1)(1)= Lε u s γϕ0 ϕ + us γϕ0 ϕ [ZD − 2Zν ] ,no(1)2 4ε (2)2ε (1)(1)= Lε −u s γϕ0 ϕ0 + us γϕ0 ϕ0 [3Zν − 2ZD ] .(4.31)(4.32)для вычислений в двухпетлевом приближении нужны следующие вклады(1)A+ B + ...,εC D= 2 + + ...,εεγϕ0 ϕ =(2)γϕ0 ϕ(1)A0+ B 0 + ...,εC 0 D0= 2 ++ ...
.εεγϕ0 ϕ0 =(2)γϕ0 ϕ0(4.33)(4.34)Это аналоги соотношений (4.12) и (4.13) однако с другими коэффициентами, которые теперь могут зависеть от отношения Δ/ε = ζ.Подставляя выражения (4.33) в (4.30), можно найти однопетлевойвклад в константу ренормировки:Zν(1)uA=,ε(1)ZDuA0=−.ε(4.35)Однопетлевой расчет дает следующие значения (впервые полученные в[1]):)A = −1 ,A0 =1.2+ζ(4.36)В однопетлевом приближении нет проблем с log s в константах Z, так чтомультипликативная ренормировка (4.27) не выявляет каких либо проблем.Рассмотрим теперь двухпетлевые вклады (4.31) и (4.32). Принимаяво внимание уже известные однопетлевые выражения, получимZν(2)(2)ZD0DAuA2uAC= Lε u2 s4ε 2 ++ us2ε+B−−, (4.37)εεεεε 0 0D03uA 2uA02 4ε C2ε A0= Lε −u s++ us+B+.ε2εεεε(4.38)176Условие сокращения вкладов ∼ ε−1 log s в (4.37) будет4C + 2A(−A0 − 2A) = 0,(4.39)−4C 0 + 2A0 (3A + 2A0 ) = 0.(4.40)и аналогично в (4.38))Наше двухпетлевой расчет коэффициентов C и C 0 дает1,2(2 + ζ)23C0 =−.(2 + ζ)(3 + ζ) (3 + ζ)C =1−(4.41)Подстановка вычисленных величин (4.36) и (4.41) в соотношения (4.39)и (4.40) показывает, что условие (4.39) выполнено, а (4.40) нет.
Это озна(2)(2)чает, что в Zν нет ”плохого” вклада, а в ZD он есть:2(1 + ζ)(4 + 3ζ) −1· ε log(µ/p),(2 + ζ)2 (3 + ζ)(4.42)коэффициентом которого является выражение в левой части (4.40).Таким образом, внутри схемы ренормировки [1], в соответствии с соотношениями (4.27), появляется зависимость констант ренормировки отвнешнего волнового числа посредством log s = log(µ/p), что полностьюнеприемлемо по определению констант ренормировки. Нетрудно понятьпричину этого: в схеме (4.27) нарушен фундаментальный принцип общей теории УФ ренормировки – требование, что все контрчлены должны быть локальными (полиномиальными функциями внешних волновыхвекторов) [154]. Введение коэффициента ZD в член ∼ ϕ0 Dϕ0 в действии(4.4) с нелокальной функцией накачки (4.3) равносильно введению нелокальных контрчленов со структурой p4−d−2ε . Эта особенность оставляетобсуждаемую схему за рамками стандартной теории УФ ренормировки стаким неприятным следствием как появление (непреемлимой) зависимости констант ренормировки от волновых чисел.
Эти аргументы привелик тому, что авторы [151] изменили схему (ε, Δ) ренормировки, чтобыудовлетворить требованию полиномиальной формы по волновым векто177рам для всех контрчленов (локальность), хотя в однопетлевом приближении [1], противоречивость схемы явно не видна.Можно было бы изменить соотношение (4.32), чтобы исключить зави(2)сящие от волнового числа вклады (4.42) из ZD .
Получится (4.32), однакоиз требования, чтобы в двухпетлевом приближении все УФ расходимости - полюса по ε - были исключены из ренормированной 1PI функции(2)Γϕ0 ϕ0 следует, что любые изменения в ZD из (4.32) будут приводить кпоявлению полюсов по ε в ренормированной функции Γϕ0 ϕ0 .Можно возразить, что вполне достаточно однопетлевого приближения, в котором нет никаких проблем.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
