Диссертация (1145286), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Фиксированная точка g∗ является ИКустойчивой если вещественная часть всех собственных значений матрицы ωij ≡ ∂βi /∂gj g=g∗ строго положительны (см., например, [71,9]). Нижебудет показано что в нашей модели (4.45) система двух β функций (4.74)и (4.75) в интересующей нас области ε > 0, Δ > 0 имеет ИК устойчивуюфиксированную точку g∗ = {g1∗ , g2∗ } с g1∗ 6= 0, g2∗ 6= 0.В случае наличия фиксированной точки, из уравнений РГ (4.71) следует что (см.
[9, 156]) искомая асимптотика W R IR функции Грина W Rобладает свойством ”ИК скейлинга” [в (t, x) представлении]W R IR (λ−Δω t, λ−1 x) = λΔW W R IR (t, x),XΔW =ΔΦ ,(4.76)Φгде x набор всех переменных типа координат, а t все времена, в то времякак λ > 0 произвольный параметр растяжения. Суммирование в (4.76)для ΔW идет по всем полям Φ = {ϕ, ϕ0 } входящим в функцию W R . В190(4.76) указаны только те из аргументов функции W R что подвергаютсярастяжениям для данного масштабного преобразования.Величины Δω и ΔΦ в (4.76) это критические размерности частоты ω иполей Φ = {ϕ, ϕ0 }.
Они все однозначно выражаются через величину γν∗ ≡γν (g∗ ) – значение аномальной размерности γν (g) из (4.73) в фиксированноточке:Δϕ = 1 − γν∗ ,Δϕ0 = d − Δϕ ,Δω = 2 − γν∗ ,γν∗ ≡ γν (g∗ ).(4.77)В фиксированной точке g1∗ 6= 0 и g2∗ 6= 0 значение γa∗ ≡ γa (g∗ ) легконаходится из определения фиксированной точки β1 (g∗ ) = β2 (g∗ ) = 0 и∗= 2Δ+соотношений (4.74) и (4.75): γg∗1 = −2ε, γg∗2 = 2Δ, γν∗ = 2ε/3, γD22ε. Подстановка γν∗ = 2ε/3 в (4.77) ведет к (4.20) и (4.21) для ε = 2. Такимобразом, в двухзарядной модели (4.45) с локальной ренормировкой [151]критические размерности поля скорости ϕ и частоты ω при реальномзначении ε = 2 воспроизводят колмогороские значения, в отличии отпредположения автора работы [1].Рассмотри снова функцию (4.70). Она является частным случаемфункции W R и удовлетворяет РГ уравнениям (4.71): DRG G = 0.
Представление решения (4.71) для G(p) удобное для анализ асимптотики приp → 0 может быть получено с использованием инвариантных переменных ē = ē(s, e) соответствующих полному набору ренормированных переменных e ≡ {ν, g1 , g2 }. Они определяются как решения DRG ē = 0 соператором DRG из (4.72) и начальным условием ē = e при s = 1. Втерминах инвариантных переменных решение РГ уравнений (4.71) дляG(p) может быть представлено в видеG(p) = ν 2 p2−d R(s, g1 , g2 ) = ν̄ 2 p2−d R(1, ḡ1 , ḡ2 ).(4.78)Правая часть (4.78) зависит от s только через инвариантные переменныеē(s, e), их поведение в пределе s → ∞ – определяемое ИК фиксированнойточкой (см ниже) – очень простое: инвариантные заряды ḡ1 и ḡ2 стремятся к своим фиксированным значениям g1∗ = O(ε) и g2∗ = O(ε), тогда какинвариантная вязкость имеет простую степенную асимптотику.
Данная191асимптотика может быть легко определена если выразить инвариантныепеременные ē = (ν̄, ḡ1 , ḡ2 ) в терминах голых параметров e0 = (ν0 , g10 , g20 )и волнового числа p. По определению голые параметры e0 как и инваeµ e0 = 0.риантные переменные ē удовлетворяют уравнению DRG e0 = DСвязь между двумя наборами параметров определяется соотношениямиg10 = ḡ1 p2ε Zg1 (ḡ),ν0 = ν̄Zν (ḡ),g20 = ḡ2 p−2Δ Zg2 (ḡ) ,(4.79)верными поскольку обе части любого из них удовлетворяют РГ уравнениям, а при s ≡ µ/p = 1 они совпадают с (4.47) в соответствии сначальными условиями. Используя связь между константами ренормировки Zg Zν3 = 1 и исключая их их первых двух соотношений в (4.79)находим g10 ν03 = D10 = ḡ1 p2ε ν̄ 3 , а отсюдаν̄ = (D10 p−2ε / ḡ1 )1/3 ,что для искомой асимптотики s → ∞ (учитывая ḡ1 → g1∗ ) даетν̄ → ν̄∗ = (D10 /g1∗ )1/3 p−2ε/3 ,s → ∞.(4.80)Подставляя полученный результат в (4.78) получимG(p) ' (D10 /g1∗ )2/3 p2−d−4ε/3 R(1, g∗ ),s → ∞.(4.81)Это соотношение будет использовано в разделе 4.1.6.Все вышесказанное верно для любой схемы ренормировки, от которойзависит только явный вид РГ функций γa в (4.73) и (4.74).
Мы сначалаприведем результаты двухпетлевых расчетов в MS схеме (раздел. 4.1.4,а затем кратко обсудим изменения в формулах для NP схемы. Как былупомянуто выше, все физически значимые результаты не зависят от схемы ренормировки.В MS и MSсхемах все РГ функции γa не зависят от ε. В модели(4.45) они зависят только от зарядов и параметра ζ = Δ/ε. Двухпетлевыевыражения для констант Za в (4.73) приведены в (4.63) и (4.64). Приeµ ln Za из (4.73) операция Deµ может бытьвычислении величин γa = D192заменена на DRG из (4.71), а вклады с Dµ и Dν опущены, посколькувеличины Za не зависят от µ и ν.
Тогда2(4ζ + 3)u21γν = 2 (u1 + u2 ) ++ 2(5ζ + 3)u1 u2 − 4R (u1 + u2 )2 + ... , (4.82)2+ζγD22 (u1 + u2 )2 ζ(13 + 19ζ)u31=−u2(2 + ζ)u22(34ζ + 19 + 6ζ 2 )u21− 6u21 + (13 + 31ζ)u1 u2+2+ζ4(1 − R) (u1 + u2 )3++ ... . (4.83)u2Напомним, что u1 ∼ g1 и u2 ∼ g2 – заряды с более удобной нормировкой(4.53), многоточие соответствует поправкам высших порядков O(u3 ).Подставляя величины (4.82) и (4.83) в (4.74) получим выражениядля β функций в двухпетлевом приблжении. Тогда из условийβ1 (g∗ ) =β2 (g∗ ) = 0 можно найти координаты фиксированных точек g∗ ∼ u∗ . Врамках ε разложения существует три фиксированных точки [151]: 1) тривиальная u1∗ = 0, u2∗ = 0; 2) ”кинетическая” u1∗ = 0, u2∗ 6= 0; and 3)”колмогоровская” u1∗ 6= 0, u2∗ 6= 0.
В области которая нас интересуетε > 0, Δ > 0, только колмогоровская точка окаывается ИК устойчивой,в однопетлевом приближении она имеет видu1∗ + u2∗ =ε+ O(ε2 ),3u2∗ =ε+ O(ε2 ).9(1 + ζ)(4.84)Из соотношений (4.82) и (4.83) может быть найден двухпетлевой вкладв (4.84). Мы не приводим его, т.к. координаты фиксированной точки неявляются физическими и зависят от схемы ренормировки. Физическиизмеряемыми величинами не зависящие от схемы ренормировки являются собственные значения матрицы ωij = ∂βi /∂gj g=g∗ . В нашем случаеω матрица 2 × 2, чьи собственные значения ω± в двухптелевом прибли-193жении в колмогоровской фиксированной точке!p9ζ 2 − 12ζ − 8ω± =+3()24(1 + 3ζ)R − 6 − 12ζ − 9ζ2p+−3 − 2R − 3ζ ±2 .299ζ − 12ζ − 84ζ+ ±3(4.85)Ниже приведены относительно простые выражения для следа и детерминанта этой матрицы:42Tr ω = ω+ + ω− = (3ζ + 4) − (3ζ + 3 + 2R)2 ,3944det ω = ω+ ω− = (3ζ + 2)2 − (2R + 1)(3ζ + 2)3 .39(4.86)(4.87)Однопетлевой вклад ∼ ε в (4.84) - (4.86) и ∼ ε2 в (4.87) были получены ранее [151].
В однопетлевом приближении эта фиксированная точка g∗ ИК устойчива в области ε > 0, ζ > −2/3. В области ε > 0 иζ < −2/3 оба собственных значения (4.85) вещественны и имеют противоположные знаки. С ростом ζ после пересечения ζ0 = −2/3 оба собственных значения становятся положительными, а после пересечения√2(1 − 3)/3 ' −0.488, аргумент под корнем в (4.85) становится отрицательным, т.е.
фиксированная точка становится притягивающим фокусом с ω± = a ± ib и a > 0. Она остается такой до следующей границы√2(1 + 3)/3 ' 1.821, после которой аргумент корня снова становитсяположительным, аоба собственных значения ω± вещественными и положительными. Для нашего ”физического” луча ζ = 1/4 (d = 3) фиксированная точка g∗ является притягивающим фокусом.Сказанное выше относится к однопетлевому приближению.
Учетдвухпетлевых поправок в (4.85) - (4.87) приводит к деформации границобласти ИК стабильности, но физический сегмент луча (4.26) с ζ = 1/4,0 < ε ≤ 2 остается в этой области.Переходя к NP схеме, в которой константы Z определяются условиями (4.65), используя двухпетлевые выражения для констант Z из (4.66)194и(4.67), получим:γν = (2 + 3 Δ − c ) u1 + (2 + c Δ + 3 Δ) u2 − 4 (u1 + u2 )2 (2R + 1) ,(4.88)hiu1 2 + (7 − c) Δ + (4 − 2 c) 2γD2 =u2hihi+ 2 2 + 5 Δ + (2 − c) u1 + 2 + (3 + c)Δ u2(u1 + u2 )3 (2R + 1)−4, (4.89)u2гдн обозначения такие же как в 4.66) и (4.67). РГ функции (4.88) и (4.89),в отличие от своих аналогов в MS cхеме, не содержат множителей типа ζ + const в знаменателях, т.е они аналитичны по паре параметровε, Δ, что является следствием аналитичности ренормированных функций Грина. Координаты фиксированных точек u∗ ∼ g∗ полученные из(4.88) и (4.89) в однопетлевом приближении, сохраняют вид (4.84), нодвухпетлевые вклады (которые мы не приводим) отличчаются от аналогичных вкладов в MS схеме.
Тем не менее, собственные значения ω±матрицы ω, остаются в точности равными значениям в MS схеме, поскольку эти величины не зависят от схемы ренормировки.В заключение отметим, что при попытке использовать соотношение(4.43) в NP схеме в модели с нелокальной ренормировкой [1], некорректность данной модели проявится в виде полюсов по 1/ε в двухпетлевыхвкладах в РГ функции γa .4.1.6Скьюнес фактор и константа КолмогороваПоказатель степени волнового числа в (4.81) определяется точно и неимеет поправок в виде более высоких степеней ε. При физическом значении ε = 2 этот показатель принимает колмогоровское значение. Чтобы найти константу Колмогорова, должна быть вычислена амплитудаэтой функции, что, однако, может быть сделано только приближенно,поскольку ε-разложение для этой величины не обрывается.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
