Диссертация (1145286), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Согласно гипотезе Колмогорова функции F2n (r/L)имеют конечный предел F2n = const. С учетом (4.133) при физическомзначении ε = 2 получаем колмогоровское предсказаниеS2n ∼ r2n/3(4.136)Аномальному скейлингу соответствуе ситуация, когда функцияF2n (r/L) имеет в области малого аргумента степенную асимптотикуF2n (r/L) ∼ r −ξnL,ξn > 0(4.137)Основываясь на операторном разложении Вильсона (operator productexpansion, OPE) в работе [165] было высказано предположение, что возникновение аномального скейлинга может быть обусловлено существованием в модели так называемых "опасных"операторов с отрицательными критическими размерностями и ξn в (4.137) – это наибольшая помодулю размерность этих операторов.
Наличие в теории опасных операторов – нетривиальная вещь, до сих пор ни в одной из полевых моделей209они не были обнаружены. В работе [165] было показано, что в моделитурбулентного переноса пассивной скалярной примеси такие операторысуществуют и были рассчитаны в виде ε-разложения их критические размерности, и тем самым найдены показатели аномального скейлинга. Инвариантность структурных функций относительно сдвига θ → θ + constозначала, что вклад в OPE дают только галилеево инвариантные составные операторы. Для скалярной примеси роль таких операторов играютстепени (∂i θ∂i θ)k , причем в функцию n-го порядка дают вклад операторы с k ≤ n.
Для случая векторной примеси аналогом таких операторовявляются скалярные операторы вида ∂i θj ∂k θl . . . со свернутыми значками. Задача их ренормировки становится намного более сложной – этихоператоров намного больше и, главное, их ренормировка происходит сосмешиванием (в отличие от мультпликативной ренормировки для скалярной примеси). Рассчитывать ассоциированные с этими операторамикритические размерности в общем случае (для произвольных d и n) непредставляется возможным, поэтому в работах [142, 143] задача решалась в главном порядке по 1/d.
Было показано, что число операторов,которые необходимо учитывать в этом случае, существенно сокращается– необходимо принимать во внимание только операторы в которых отсутствуют свертки производных с индексами поля. Они, в свою очередь,могут быть выражены через базисные операторы φk – скалярные операторы, которые включают 2k множителей ∂θ и которые нельзя выразитьчерез произведение скалярных операторов меньшего размера. Такой базисный оператор может быть записан в видеφk = ∂ l1 θsk ∂ l1 θs1 ∂ l2 θs1 ∂ l2 θs2 ∂ l3 θs2 ∂ l3 θs3 · · · ∂ lk θsk−1 ∂ lk θsk .(4.138)Для заданного n все интересующие нас операторы могут быть записаны в видеF = (φ1 )n1 (φ2 )n2 .
. . (φq )nq ,(4.139)гдеqPknk = n. Приведем несколько примеров. Для n = 2 имеется 2k=1оператора вида (4.139)F = {φ21 , φ2 } ,210(4.140)для n = 3 имеется 3 таких оператораF = {φ31 , φ1 φ2 , φ3 } ,(4.141)для n = 4 таких операторов 5F = {φ41 , φ21 φ2 , φ22 , φ22 , φ1 φ3 , φ4 } ,(4.142)а для n между 5 и 11 число операторов составляет 7, 11, 15, 22,30,42 и 56,соответственно.
Эти числа намного меньше, чем общее число операторовс заданным n : например, 2 вместо 6 для n = 2 и 30 вместо 47246 дляn = 9 . Однако, для n = 28 имеется уже 3718 операторов вида (4.139),так что проблема остается весьма нетривиальной даже в пределе d → ∞.Ведущий член двойного разложения по ε и 1/d матрицы критическихразмерностей семейства (4.139) для заданного n имеет видΔ=−2ε eΔ + ...,3d(4.143)где многоточие это поправки по ε и 1/d. Для элементов матрицы Δ̃ былразработан простой алгоритм вычисления, в результате чего оказалось,эти элементы оказались целым неотрицательными числами.Например, для n = 7 имеем семействоF = {φ71 , φ51 φ2 , φ31 φ22 , φ1 φ32 , φ41 φ3 , φ1 φ23 , φ31 φ4 , φ21 φ5 ,φ1 φ6 , φ21 φ2 φ3 , φ22 φ3 , φ1 φ2 φ4 , φ2 φ5 , φ3 φ4 , φ7 }211(4.144)и соответствующую матрицу Δ̃0200000000000008404060000000000040060040060000000120000000640000400030800200000000006006160008000160480810000200000000048151224002000000036040240032001400480241201003480000002400000430104000048001201224081060000000040048161501400000240000168011140000000024000404835Собственные значения матриц определяют спектр размерностей составных операторов.
Анализ показал что все они вещественны и отличныот нуля. В спектре встречаются собственные значения обоих знаков и,следовательно, присутствуют опасные операторы. Главный вклад OPEопределяется максимальным положительным собственным значением.Максимальные собственные значения растут с ростом n:2.828;9.67356;104.5518;20.617;135.55;35.5888;170.54059;209.5366;299.53063;350.52832;405.53;594.52175;665.52055;740.51949;989.51686;1080.5;1175.5;54.5717;464.5246;77.5602;252.5334;527.52308;819.51852;1274.5;1377.5;(4.145)902.51765;1484.5.Достаточно удивительно, но эти числа могут быть описаны оченьпростой формулой:λ0 (n) = 2n2 − 3n + 1/2 + O(1/n),212(4.146)где поправки порядка O(1/n) достаточно малы даже для небольших значений n.
Таким образом можно считать, что спектр опасных операторовопределен во всем диапазоне n.Тем самым аномальный скейлинг пассивной векторной примеси дляструктурных функций S2n описывается формуламиS2n (r) ' D0−n rn(2−2ε/3) (mr)Δn ,Δn = −(y/3d) 2n2 − 3n + 1/2 + O(1/n) .213(4.147)ЗаключениеОсновные результаты, полученные в диссертации, можно сформулировать в следующем виде.1. Разработаны новые методы вычисления многопетлевых диаграмм.Предложено обобщение индекса Никеля на графы, у которых линии ивершины могут обладать произвольными свойствами, подобное обобщение позволяет описывать графы практически любой известной теории.Сиспользованием данного представления разработана библиотека, позволяющая выполнять манипуляции над графами: поиск подграфов, стягивание подграфов в точку и т.п.
Разработана программа, позволяющаяполностью автоматизировать вычисление контрчленов с использованиемR∗ операции и интегрирования по частям. Разработан алгоритм, основанный на учете симметрий графа, позволяющий существенно уменьшитьколичество вычисляемых (численно) секторов. Данный подход позволилпроизвести ряд вычислений, недоступных ранее.
В частности были выполнены: Расчет ведущих сингулярностей в суперсимметричной теорииЯнга-Миллса в различных размерностях пространства (вплоть до 4 порядка ТВ), что позволило проверить аналитические расчеты и выполнить суммирование данных вкладов во всех порядках ТВ. Полностьюнезависимая численная проверка 5 петлевых расчетов в модели ϕ4 Двухпетлевой РГ расчет в Е модели критической динамики, позволившийразрешить противоречия в результатах двух групп. Численная проверкаряда 6 петлевых интегралов, сосчитанных аналитически.2.
Впервые выполнен 6 петлевой расчет аномальной размерности поля.Выполнен расчет бета-функции и аномальной размерности массы сиспользованием параметрического интегрирования (гиперлогарифмы).Показано преимущество данного метода над интегрированием по частям:оказалось возможным произвести полные 6 петлевые расчеты без исполь214зования R∗ операции и интегрирования по частям. Выполнено пересуммирование критических экспонент и произведено сравнение с экспериментом, высокотемпературным разложением и методом Монте-Карло.Показано, что результаты хорошо согласуются с известными данными.3. Рассмотрена модель с вещественным антисимметричным тензорным полем в однопетлевом приближении. Показано, что при n > 4 в системе происходит фазовый переход первого рода, а при n = 4 существует область параметров, в которой происходит фазовый переход второгорода.
Рассмотрена модель с комплексным антисимметричным полем впятипетлевом приближении, данная модель получается из фермионноймодели с четверным взаимодействием и описывает системы с высокимиспинами. Показано, что в трехмерных системах происходит фазовый переход первого рода.
Пятипетлевой расчет позволил оценить температуруфазового перехода первого рода.4. Предложен новый подход, основанный на R операции и схеме вычитаний с точкой нормировки, позволяющий выразить константы ренормировки через несингулярные интегралы в виде, удобном для численногосчета. C использованием данного подхода произведен 4-х петлевой (численный) расчет индекса Фишера в модели ϕ3. Дальнейшее развитие этого подхода позволило выразить через несингулярные интегралы непосредственно аномальные размерности, минуяконстанты ренормировки. С использование данного подхода были вычислены аномальные размерности модели ϕ4 в 5 петлевом приближении.5.
Выполнено обобщение вышеупомянутого подхода на задачи стохастической динамике, что позволило выполнить ряд многопетлевых расчетов. В модели А критической динамики (3 петли) подтвержден известный ранее результат. В модели направленной перколяции (2 петли) подтвержден результат, полученный другой группой. В рамках разложенияв стохастической теории турбулентности выполнены 3х петлевые расчеты бета-функции и поправочных индексов ω как в рамках теории безрасходимостей, так и в схеме MS.
Результаты расчетов двумя разнымиметодами совпадают.6. При выполнении расчетов в 3-х мерной теории турбулентности было замечено, что часть диаграмм дает подавляющий вклад в РГ функции. Этот факт связан с тем, что данные диаграммы имеют расходимо215сти в двумерном пространстве (полюса по Δ в пространстве размерностиd = 2 + 2Δ). Предложено улучшенное ε разложение,которое позволяет последовательно суммировать вклады, которые имеют расходимостив двумерном пространстве (полюса по Δ в пространстве размерностиd = 2 + 2Δ).
Это привело к лучшей сходимости теории возмущений, ибыло получено хорошее согласие с экспериментом для константы Колмогорова.7. Проведено исследование предела d → ∞. В рамках 1/d разложение произведено вычисление константы Колмогорова, бета функции ипоправочных индексов в ведущем по 1/d порядке с трехпетлевой точностью. Рассмотрена проблема аномального скейлинга в модели турбулентного переноса пассивного векторного поля, являющейся наиболееблизкой к теории турбулентности моделью.
Даже в такой относительнопростой модели это оказывается весьма нетривиальной проблемой из-засмешивания большого количества составных операторов, тем не менее,полученные результаты оставляют надежду на решение проблемы аномального скейлинга в теории турбулентности в рамках данного подхода.Список основных публикаций автора по теме диссертации1.
D V Batkovich and M V Kompaniets Toolbox for multiloopFeynman diagrams calculations using R* operation Journal of Physics:Conference Series, 2015. Vol. 608, P. 0120682. L. V. Bork, D. I. Kazakov, M. V. Kompaniets,D. M. Tolkachev and D. E. Vlasenko, Divergences in maximalsupersymmetric Yang-Mills theories in diverse dimensions JHEP1511 (2015) 0593. Adzhemyan, L.Ts., Dančo, M., Hnatič, M., Ivanova,E.V., Kompaniets, M.V. Multi-Loop Calculations of AnomalousExponents in the Models of Critical Dynamics EPJ Web ofConferences, 108, art.
no. 02004 (2016)2164. Batkovich, D.V., Chetyrkin, K.G., Kompaniets, M.V. Six loopanalytical calculation of the field anomalous dimension and the criticalexponent η in O(n)-symmetric ϕ4 model(2016) Nuclear Physics B, 906, pp. 147-167.5. Antonov, N.V., Kompaniets, M.V., Lebedev, N.M. Criticalbehaviour of the O(n)-ϕ4 model with an antisymmetric tensor orderparameter(2013) J. of Phys. A: Math. and Theor., 46 (40), art.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
