Диссертация (1145286), страница 29
Текст из файла (страница 29)
При вычислении этой амплитуды, кроме технических трудностей во втором порядке195теории возмущений, возникает и принципиальная проблема. Она связана с необходимостью выразить ответ для G(k) через скорость накачкиэнергии E вместо параметра D10 в корреляционной функции внешнейсилы (4.44). Связь между D10 и E определяется точным соотношением,выражающим E через функцию df (k) в корреляционной функции (4.2)(d − 1)E=2(2π)dZdk df (k).(4.90)Подставляя сюда функцию (4.44) с D20 = 0 (см. текст за уравнением(4.44)]) и вводя УФ обрезания k ≤ Λ = (E/ν03 )1/4 (обратная длина диссипации), получаем следующую связь между параметрами E и D10D104(2 − ε) Λ2ε−4E.=S d (d − 1)(4.91)Идеальная накачка бесконечно большими вихрями соответствует df (k) ∝δ(k).
Или, более точно, в соответствии с (4.90)2(2π)d E δ(k)df (k) =.d−1(4.92)Учитывая соотношениеZδ(k) = lim (2π)−d dx(Λx)2ε−4 exp(ikx) = Sd−1 k −d lim (4 − 2ε)(k/Λ)4−2ε ,ε→2ε→2степенная накачка с df = D10 k 4−d−2ε и амплитудой D10 из (4.91 в пределепри ε → 2 из области 0 < ε < 2 приводит к δ последовательности (4.92).Соотношение (4.91) показывает, что при фиксированном E величинаD10 зависит от ε, и необходимо принять это во внимание в построенииε-разложения для константы Колмогорова.
С другой стороны, это соотношение показывает, что величина R(1, g∗ ) из (4.81) должна иметь сингулярность вида (2 − ε)−2/3 в пределе при ε → 2: только в этом случаеконстанта Колмогорова в модели с накачкой df = D10 k 4−d−2ε и амплитудой D10 из (4.91) будет иметь конечное значение в пределе при ε → 2.Измеряемая экспериментальная константа Колмогорова CK в терминахмодели с такой накачкой соответствует предельному значению ε = 2, имы хотим определить обобщение CK (ε) для всего интервала 0 ≤ ε ≤ 2.196Очевидно, что такое обобщение не может быть сделано однозначно, таккак невозможно определить однозначно зависимость параметра D10 в(4.91) от ε при фиксированном значении E.Объясним это более детально.
При выводе (4.91) мы положили, чтоинтеграл (4.90) для накачки df = D10 k 4−d−2ε имеет верхнее обрезаниеравное обратной длине диссипации Λ = (E/ν03 )1/4 . Такое обрезание естественно, но в то же время можно обсуждать только порядки величин,а не точные значения. Поэто му ничто не мешает заменить в (4.91) параметр обрезания Λ на aΛ с коэффициентом a порядка единицы, который даст дополнительный множитель a2ε−4 в правой части уравнения(4.91). Этот множитель стремится к единице при ε → 2, следовательноон не влияет на физическое (реальное) значение константы Колмогорова CK (ε = 2), но влияет коэффициенты в гипотетическом ε разложении функции CK (ε). Обобщая эти наблюдения можно утверждать, чтофизический смысл теории не изменится, если к правой части уравнения м добавить дополнительный множитель F (ε) с F (2) = 1.
В [157](см.также [9, 158, 156]) соотношение (4.91) без дополнительного множителя F (ε) рассматривалось как определение величины D10 . Другие подходы к определению функции CK (ε) и ее ε разложения [159] - [160] могутбыть сведены к введению конкретной функции F (ε) с F (2) = 1 в правуючасть соотношения (4.91).Таким образом, ε разложение константы Колмогорова в модели состепенной накачкой не определяется однозначно. Однако физическиевеличины, не зависящие от амплитуды D10 (универсальные величины)имеют четко определенное ε разложение.
Скьюнесс фактор)3/2S ≡ S3 /S2 ,(4.93)является примером такой величины. Sn в (4.93) – структурные функции,определяемые соотношениями(ϕi · ri ).Sn (r) ≡ [ϕr (t, x + r) − ϕr (t, x)]n , ϕr ≡|r|197(4.94)В соответствии с теорией Колмогорова структурная функция S2 (r) винерционном интервале имеет видS2 (r) = CK E2/3 2/3r,(4.95)где CK константа Колмогорова с простой связью с константой Колмогорова энергетического спектра [161]. Поскольку экспериментальные доказательства аномального скейлинга (т.е. отклонения степени r от Колмогоровской величины 23 в (4.95) в инерционном интервале) в структурнойфункции S2 (r) до сих пор противоречивы, и в любом случае это отклонение мало, мы будем использовать Колмогоровское асимптотическоевыражение (4.95) в последующем анализеСтруктурная функция S3 (r) может быть найдена точно в инерционном интервале [161]:12S3 (r) = −E r,(4.96)d(d + 2)что позволяет с учетом (4.93) и (4.95) связать константу Колмогорова искьюнес факторhi2/312CK = −.(4.97)d(d + 2)SИз трех величин S2 (r), S3 (r) и S только S имеет однозначное ε разложение.
Таким образом, соотношение (4.97) (справедливое только дляфизического значения ε = 2) может быть использовано для определенияCK при использовании вычисленного значения S(ε = 2).Чтобы найти РГ представление скьюнес фактора (4.93, необходимоиметь РГ представление функций S2 (r) и S3 (r). Функция S2 (r) связанас Фурье преобразованием парной корреляционной функции G(k) соотношением)ZS2 (r) = 2(k · r)2dkG(k) 1 −{1 − exp [i(k · r)]} ,(2π)d(kr)2(4.98)поэтому ее РГ представление может быть найдено на основе РГ представления (4.81).
Аналогичное РГ представление в инерционном интервалеможет быть написано для функции S3 (r). Однако, более удобно исполь-198зовать следующий точный результат,аналог выражения (4.96):3(d − 1) Γ(2 − ε) (r/2)2ε−3 D10S3 (r) = −.(4π)d/2 Γ(d/2 + ε)(4.99)Это соотношение демонстрирует, что амплитуда структурной функции,выраженная через D10 , имеет сингулярность при ε → 2, в этом случаеона ∼ (2 − ε)−1 . Подставляя (4.91) в (4.99) уничтожает соответствующийноль в правой части (4.91), приводя для S3 (r) к выражению конечномупри ε = 2 и совпадающему с (4.96).Соотношения (4.81), (4.98) и (4.99) могут служить основой для создания ε разложения скьюнесс фактора (4.93). Однако, на этом пути возникает дополнительная трудность.
Дело в том, что степенная зависимостьS2 (r) ∼ r2−2ε/3 , определенная из (4.81) и (4.98), справедлива только приε > 3/2, так как для ε < 3/2 интеграл (4.98) расходится при k → ∞(это означает, что основной вклад в S2 (r) дается в этом случае членом 2ϕr (t, x) не зависящим от r). Однако, производная r∂r S2 (r) свободна отэтого потока, так как, согласно (4.98)Zr∂r S2 (r) = 2(k · r)2dkG(k) 1 −(k · r) sin(k · r).(2π)d(kr)2(4.100)Интеграл (4.100) iсходится для всех 0 < ε < 2.
С другой стороны, прифизическом значении ε = 2 амплитуды в S2 (r) и r∂r S2 (r)отличаютсяна тривиальный множитель 23 , поэтому в [132, 149, 150] был использованследующий аналог скьюнесс фактора для создания ε разложенияQ(ε) ≡r∂r S2 (r)r∂r S2 (r)=.|S3 (r)|2/3(−S3 (r))2/3(4.101)Константа Колмогорова и скьюнесс фактор выражаются через величинуQ(ε = 2) в соответствии с (4.93), (4.95) и (4.96)2/33/21223Q(2), S=−.CK =2d(d + 2)3Q(2)(4.102)Величина (4.101) может быть вычислена как в двойном (ε, Δ) разложении, так и в обычном ε разложении. В первом случае соответствующее199разложение получается на основе соотношений (4.81), (4.99) и (4.100 ввиде:∞X1/3Ψk (ζ)εk .(4.103)Q(ε, ζ) = εk=0Обычное ε разложение величины Q для размерности d > 2 было получено в [132]:∞X1/3Qk (d)εk .(4.104)Q(ε, d) = εk=0Связь между разложениями (4.103) и (4.104) выявляется при исследовании сингулярностей коэффициентов Qk (d) в (4.104) при d → 2.
Анализэтих сингулярностей показывает, что в окрестности d − 2 = 2Δ = 0коэффициенты могут быть представлены рядами ЛоранаQk (d) =∞Xqkl Δl−k .(4.105)l=0Подстановка выражения (4.105) в (4.104)приводит к представлениюQ(ε, d) = ε1/3∞ X∞X(ε/Δ)k qkl Δl .(4.106)k=0 l=0Заменяя переменные в (4.106) на ε и ζ = Δ/ε, приходим к разложению(4.103), в котором∞XΨk (ζ) =qlk ζ k−l .(4.107)l=0Соотнношения (4.105) и (4.107) показывают, что альтернативное ε разложения (4.103) и (4.104) суммируют различные подпоследовательностейдвойной суммы (4.106).
В [150] была предложена процедура улучшения εразложения с помощью взаимно дополняющей информации о величинеQ, содержащейся в частичных суммах разложений (4.103) and (4.104)(n)Qε,Δ1/3≡εn−1XkΨk (ζ)ε ,Q(n)εk=0где n ≥ 1 число петель200≡ε1/3n−1Xk=0Qk (d)εk ,(4.108)(n)Рис. 4.2. Суммирование при вычислении Qef f в ( 4.109). Члены в двой(n)(n)ной сумме, которые учитываются в Qε,Δ и Qε , соответствуют заштрихованным горизонтальным и вертикальным полосам, соответственно. Поправочный член δQ(n) соответствует сумме по дважды заштрихованнойплощади.(n)Члены в двойной сумме, которые были приняты во внимание в Qε,Δ(n)и Qε , схематически изображены на рис.4.2 в виде заштрихованных горизонтальных и вертикальных полос, соответственно.Все члены в заштрихованной площади будут учтены в эффективнойвеличине(n)(n)(n)(4.109)Qef f = Q(n)ε + Qε,Δ − δQ ,гдеδQ(n)1/3≡εn−1 Xn−1X(ε/Δ)k qkl Δlk=0 l=0является вычитающим членом, необходимым для того, чтобы избежатьдвойного подсчета членов с k ≤ n − 1, l ≤ n − 1 (дважды заштрихованная площадь на рис.
4.2). Его можно найти беря соответствующеечисло членов из разложений (4.105) или (4.107). С точки зрения обычного ε разложения (4.104), соотношение (4.109) можно интерпретироватьследующим образом: в n − 1 первых членах разложения коэффициентыQk (d) из (4.104)вычислены точно, а все члены более высокого порядка201Таблица 4.1. Одно- и двухпетлевые значения константы Колмогорова вобычном ε разложении (Cε и в двойном ε, Δ разложении (Cε,Δ ); вклад Cδв (4.102) из поправки δQ(n) в (4.109) и величина Cef f из (4.102), (4.109).n Cε Cε,Δ Cδ Cef f1 1.47 1.68 1.37 1.792 3.02 3.57 4.22 2.37(k ≥ n) приблизительно с учетом n − 1 первых членов их рядов Лорана(4.105).Наши двухпетлевые расчеты ε, Δ разложения величины Q вместе сдвухпетлевыми расчетами [132] позволили получить улучшенное ε разложение величины Q во втором порядке теории возмущений [150].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
