Диссертация (1145286), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Тем самым мы свелизадачу поиска эквивалентных секторов к задаче поиска изоморфных графов (с дополнительными свойствами линий), которая нами уже решенапри помощи библиотеки GraphState . Необходимо отметить, что учетсимметрий позволяет, как правило, сократить количество вычисляемыхсекторов в несколько раз, а для ряда диаграмм в десятки и даже в сотнираз, что приводит к заметному приросту производительности.Процедура вычисления диаграмм при помощи разбиения на сектораи с учетом симметрий реализована в виде программы на языке Питон.Данная программа обладает большой гибкостью и позволяет оптимизировать процедуру разбиения на сектора для чрезвычайно широкогокласса задач от суперсимметричной теории Янга-Миллса [4], до моделейкритической динамики [5].В суперсимметричной теории Янга-Миллса стояла задача вычисления старших полюсов во всех порядках теории возмущений и последующего их суммирования [4].
Для численного вычисления старших полюсов представление полиномов U и F (1.17) было обобщено на случайдуального представления графов, что позволило существенно упростить33процедуру вычисления и продвинуться вплоть до 4го порядка теориивозмущений, что до этого момента не представлялось возможным с использованием стандартных программ [56]. Это позволило проверить аналитические расчеты проводимые с использование R операции, построитьрекурентные соотношения для коэффициентов при ведущих полюсах ипостроить (для неренормируемой теории) уравнения, аналогичные уравнениям ренормгруппы [4].Для моделей критической динамики также были обобщены соотношения (1.17) для интегралов в (t, k)-представлении, позволяющие строитьподынтегральное выражение сразу по диаграмме и предложена адаптированная стратегия для вычисления подобных интегралов при помощи”sector decomposition”.Разработанный подход был применен к модели Е критической динамики [9], в которой на тот момент существовали два взаимоисключающих результата двух групп [57–59].
Выполненный расчет [5] показалверность работы [59].Также с использованием разработанных программ были выполненычисленные проверки аналитических расчетов в ϕ4 модели (см главу 2) ирасчеты в главе 31.7Борелевское пересуммированиеВ рассматриваемых в диссертации моделях, ряды, вычисляемые потеории возмущений являются асимптотическими, поэтому прямая подстановка физического значения ε (как правило ∼ 1) является достаточнобессмысленной.
Для того чтобы получить физические предсказания, подобные ряды необходимо подвергнуть процедуре борелевского пересуммирования. В данной работе для пересуммирования рядов используетсяметод пересуммирования, предложенный в [60, 61]. Данный метод основан на преобразовании Бореля с последующим конформным маппингом [60–64] и, дополнительно, использует информацию об асимптотикевысоких порядков (АВП) и асимптотике при больших значениях констант связи.34PРассмотрим величину A(g) = n An g n , определенную как бесконечный ряд с факториально ростущими коэффициентами.
Процедура борелевского пересуммирования состоит из следующих шагов: сначала, необPходимо найти образ Бореля B(x) = n Bn xn (1.25) (коэффициенты Bnне будут иметь факторильного роста), затем необходимо просуммировать этот ряд и, наконец, выполнить обратное преобразование Бореля(1.25), чтобы получить пересуммированное значение AB (g).
Обычно ряд,определяемый коэффициентами Bn , имеет конечный радиус сходимости,таким образом чтобы определить B(x) на все оси x ∈ [0, ∞) необходимовыполнить аналитическое продолжение B(x) за радиус сходимости.Преобразование Бореля имеет вид:AB (g) =Z0∞ c2 X∂dt e−t tc1 −c2 tBn(c1 ,c2 ) (gt)n ,∂tnBn(c1 ,c2 )An.≡Γ(n + 1 + c1 − c2 )nc2(1.25)Обычно используют преобразование с c2 = 0 (как наиболее простое),однако преобразование с c2 6= 0 имеет лучшую сходимость (см. [60, 61]).Проводя вычисления в рамках теории возмущений, величина A(g)известна только до некоторого (конечного) порядка теории возмущений:(N )A(g) =NXAn g n .(1.26)n=0Легко увидеть что для конечного числа членов (1.26) борелевское пересуммирование, описанное выше, просто воспроизводит изначальный рядA(N ) (g). Таким образом, чтобы получить нетривиальный результат необходимо сделать какие то предположения о старших членах ряда (An ,n > N ).
Это наиболее критичный момент в процедуре пересуммирования, поскольку при правильном выборе (наиболее точно воспроизводящем настоящий (возможно, неизвестный) ряд) процедура пересуммирования будет хорошо сходиться, в то время как плохой выбор можетпривести к полностью несообразному результату.Зная только первые N членов ряда (1.26), продолжение ряда (в сторону больших N ) является весьма неоднозначной процедурой. Например,35можно воспользоваться Паде аппроксимантами [65, 66]:P ade−BorelAZ=∞−t c1 −c2dt e t0 c2∂B(gt) ,t∂tB(x) =PL (x). (1.27)PM (x)Полиномы PL (x) и PM (x) выбираются так чтобы начальные члены разложения B(x) воспроизводили бы борелевский образ (1.25) для ряда(1.26).
Для модели ϕ4 и подобных ей моделей, результаты получаемыепри помощи пересуммирования по Паде-Борелю сильно зависят от выбора аппроксиманта (L, M ), а иногда аппроксимант имеет сингулярностьв области интегрирования, которая не позволяет выполнить обратноепреобразование Бореля (см., например, [67, 68]).Для того чтобы получить более достоверные результаты, в востанавливаемом ряде необходимо учесть всю доступную информацию о суммируемом ряде [69]. Например, для ϕ4 модели (и ряда других моделей) мызнаем асимптотику высоких порядков (АВП) для An [70]:An ∼ (−1)n n! nb0 an (1 + O(1/n)) .(1.28)Параметры a и b0 определяются из инстантонного анализа (см.
[70]). Длятого чтобы включить данную информацию в процедуру пересуммирования было разработано преобразование Бореля с конформным маппингом [62,60,63,61,64]. В данном подходе функция B(x) определяется как:B(x) =NXn=0Cn w(x)n ,√1 + ax − 1где w(x) = √,1 + ax + 1(1.29)здесь a параметр АВП (1.28), а b0 фиксирует значение c1 = b0 + 3/2 в(1.25) для того чтобы получить АВП восстанавливаемого ряда в соответствии с (1.28). Опять разложение B(x) должно воспроизводить начальные коэффициенты борелевского образа изначального ряда (1.26). Преобразование в (1.29) обеспечивает возможность аналитического продолжения восстановленного ряда на всю область интегрирования. Подобнаяпроцедура дает более адекватные (и более устойчивые) результаты дляпересуммированных значений (см.
[71, 72]), однако все еще имеет недостатки: несмотря на то, что восстановленный таким образом ряд воспро36изводит первые члены изначального ряда (1.26) и имеет соответсвующуюАВП (1.28), старшие члены ряда с n > N воспроизводятся некорректно.В действительности это означает что мы суммируем ряд, отличающийся от изначального (конечно, при достаточно большом N это процедурадолжна сойтись к правильному значению, но имея всего 6 членов разложения [2] исключительно важно выбрать наиболее правильный видфункции B(x)).Следующий шаг был предложен в [60,61]: функция B(x) в (1.29) былаизменена таким образом, что она воспроизводила не только начальныйотрезок ряда и АВП, но и имела такое же асимптотическое поведениепри g → ∞ как и функция A(g):B(x) = x νwNX√1 + ax − 1где w(x) = √,1 + ax + 1!Cn w(x)n ,n=0(1.30)очевидно, что параметр ν определяет асимптотику пересуммированнойфункции при g → ∞ (в (1.25) x = gt)В [60,61] для рядов с известной асимптотикой g → ∞ было показано,что наиболее точные пересуммированные значения получаются, когдапараметр ν выбран близко к этой асимптотике.
Более того, в этом случае разложение B(x) наиболее точно воспроизводит члены с n > N .Таким образом в данном подходе мы пересуммируем ряд, который действительно близок к изначальному ряду.Проиллюстрируем это на разложении следующего интеграла:Z∞A(g) =√−x2 −gx4dx e=∞Xn=00An g n ,√π(−1)n π(4n − 1)!A0 =, An =, (n > 0) .2(4)2n n!(2n − 1)!(1.31)АВП ряда дается формулой (1.28) с a = 4 и b0 = −1, также известно,что A(g) ∼ g −1/4 при g → ∞.Если мы вычислим функцию B (N ) (x) из (1.30) по первым N членамразложения интеграла (1.31), мы можем разложить эту функцию по x ивосстановить ряд, который мы в действительности суммируем.
Из рисун-370.40.2ξN0.0N =50.20.4N =1 N =2 N =3 N =42101ν2(N )(a) Относительная ошибка предсказания ξN = (A6как функция ν для различных значений N .0.72()0.68− A6 )/A6ν =0ν =10.70A N (1)3ν =2ν = −0.250.66ν = −10.640.62ν = −0.51234Nν = −2567(b) Значение пересуммированного ряда A(N ) при g = 1, дляразличных значений N и ν.Рис. 1.10. Нульмерная теория ϕ4 , см. (1.31).ка 1.10 видно, что лучшая сходимость у процедуры пересуммирования(Рис.1.10b) наблюдается при тех значениях ν, при которых предсказания старших членов ряда наиболее точные (рис.1.10a).
Из рисунка 1.10aвидно, что большие отрицательные и положительные значения ν дают38полностью неверные предсказания, в то время как начиная с ν = −1/4мы имеем область с хорошими предсказаниями. При ν = −1/4 представление (1.30) точно воспроизводит коэффициенты ряда (1.31) даваяправильный пересуммированные ответ начиная с N = 0. Конечно, такое поведение объясняется простотой рассмотренного примера, в болеесложных случаях (типа модели ϕ4 ) не следует ожидать столь оптимистического поведения.39Глава 2Расчеты в моделиϕ4В этой главе приведены результаты расчетов в O(N ) симметричнойвекторной ϕ4 модель и ее тензорных обобщений. В O(N ) симметричнойвекторной ϕ4 модели впервые выполнен шестипетлевой расчет аномальной размерности поля, бета-функции и аномальной размерности массы.Выполнено пересуммирование рядов критических показателей и произведено сравнение с экспериментом, высокотемпературным разложениеми методом Монте-Карло.
Показано, что результаты хорошо согласуютсяс известными данными. Рассмотрены особенности фазовых переходов вмоделях с вещественным и комплексным тензорным полем. Результатыопубликованы в работах [2, 12, 13, 73]2.1O(N ) симметричная векторная ϕ4 модельК.Вильсон был первым, кто применил метод ренормгруппы и ε разложения для вычисления критических показателей ϕ4 модели [74]. Вычисленные им показатели оказались существенно ближе к экспериментальным значениям, чем предсказываемые теорией среднего поля. Вычисление последующих поправок к критическим экспонентам показало,что старшие вклады теории возмущений при прямом суммировании рядаухудшают согласие с экспериментом, поскольку ряд является асимптотическим. Тем не менее, из данных рядов можно получать уточненныезначения критических показателей при помощи борелевского пересумми40рования, однако, для того чтобы пересуммированные результаты давалиразумные предсказания требуется достаточно большое число членов соответствующего асимптотического ряда, а также учет дополнительнойинформации о ряде (например, асимптотики высоких порядков [70]).Попытка пересуммирования, например, трех членов ряда (даже с учетом асимптотики высоких порядков), как правило, приводит разве чток качественному совпадению с экспериментом.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
