Диссертация (1145286), страница 2
Текст из файла (страница 2)
В модели стохастической турбулентности построена «улучшеннаятеория возмущений» в которой суммируются вклады диаграмм,УФ-расходящихся при d = 2, вычислена константа Колмогорова.6. В стохастической теории турбулентности в ведущем порядке по 1/dвыполнен расчет ренормгрупповых функций и константы Колмогорова в третьем порядке теории возмущений.
В рамках двойного(1/d, ε) разложения вычислены показатели аномального скейлингав модели турбулентного переноса векторного поля.8Научная новизна и значимость работы.Все перечисленные выше положения, выносимые на защиту, основаны на результатах, полученных впервые. Разработанные новые численные и аналитические алгоритмы вычисления многопетлевых диаграмм.С помощью этих методов решен ряд конкретных задач перечисленных впунктах 1-6. Эти методы могут служить основой для решения широкогокласса задач в квантовой теории поля.Апробация работы.Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях:1. Small Triangle Meeting 2003, Slovakia2.
Small Triangle Meeting 2004, Slovakia3. Renormalizaton Group 2005, Helsinki, Finland4. Models in Quantum Field Theory 2012, St.-Petersburg, Russia5. Calculations for Modern and Future Colliders (CALC) 2012, Dubna,Russia6. Small Triangle Meeting 2013, Slovakia7. Advanced Computing and Analysis Techniques in physics research(ACAT) 2013, Beijing, China8.
International Baldin Seminar ”Relativistic Nuclear Physics & QuantumChromodynamics” 2014, Dubna, Russia9. Models in Quantum Field Theory 2015, St.-Petersburg, Russia10. Calculations for Modern and Future Colliders (CALC) 2015, Dubna,Russia11. Advanced Methods of Modern Theoretical Physics: Integrable andStochastic Systems 2015, Dubna, Russia12. Advanced Computing and Analysis Techniques in physics research(ACAT) 2016, Valparaiso, Chile913.
PNPI Winter School 2016, St-Petersburg, Russia14. QUARKS-2016, St-Petersburg, Russiaна научных семинарах кафедры физики высоких энергий и элементарных частиц физического факультета СПбГУ.Публикации.Основные результаты диссертации опубликованы в 21 печатной работе, из них 21 работа в изданиях, индексируемых базами данных "Webof Science" или "SCOPUS" и включенных в список ВАК. Список работприведен в Заключении.Объем и структура работы.Диссертация состоит из Введения, 4 глав и Заключения. Полный объем диссертации составляет 233 страницы.
Диссертация содержит 22 рисунка, 5 таблиц и список литературы из 165 наименований.В начале каждой главы приведено ее краткое содержание и указаныработы, в которых опубликованы вошедшие в нее результаты. Основныерезультаты, полученные в диссертации сформулированы в Заключении.10Глава 1Методы вычислениядиаграммВ этой главе обсуждаются методы расчета многопетлевых диаграмм,как уже известные, так и разработанные автором данной диссертации.Большое значение при таких расчетов является проблем идентификации графов.
Автором предложено обобщение индекса Никеля на графы,у которых линии и вершины могут обладать произвольными свойствами,подобное обобщение позволяет описывать графы практически любой известной теории. С использованием данного представления разработанабиблиотека, позволяющая выполнять манипуляции над графами: поискподграфов, стягивание подграфов в точку и т.п. Разработана программа, позволяющая полностью автоматизировать вычисление контрчленовс использованием R∗ операции и интегрирования по частям. Разработаналгоритм, основанный на учете симметрий графа, позволяющий существенно уменьшить количество вычисляемых (численно) секторов.
Данный подход позволил произвести ряд вычислений, недоступных ранее(см. главы 2,3). Алгоритмы изложенные в этой главе были использованы для расчетов в работах [2–6]111.1Представление диаграмм при помощирасширенного индекса НикеляВ настоящее время проведение многопетлевых расчетов невозможносебе представить без соответствующей автоматизации, поэтому одним изрешающих факторов становится правильное представление диаграмм.Неподходящим образом выбранное представление диаграмм может существенно усложнить процесс автоматизации и последующих расчетов,в то время как правильное представление существенно упростить этотпроцесс и позволит с минимальными исправлениями использовать уженаписанный код для других теорий. Одной из типичных проблем является идентификация графов (поиск изоморфных графов).В этом смысле наиболее универсальным и максимально гибким представлением графов в настоящий момент является номерклатура (индекс)Никеля [7] и его обобщение GraphState [8].
Выражаясь формально, номенклатура Никеля позволяет для ненаправленного мультиграфа1 построить каноническое представление одинаково легко воспринимаемоекак человеком так и компьютером. Под каноническим представлениемздесь понимается представление, не зависящее от изначальной нумерации вершин и линий графа, т.е. две диаграммы имеющие одинаковоеканоническое представление изоморфны.Для начала введем представление Никеля для нумерованного графа2 . Представление Никеля для такого графа (предполагается, что вершины занумерованы начиная с 0 до n − 1) строится как набор списковвершин разделенный на секции символом ”|” [7]:вершины,вершины,вершины,вершины,вершины,соединенныесоединенныесоединенныесоединенныесоединенныесссссвершиной 0 |1, исключая 0 |2, исключая 0, 1 | .
. . |m, исключая 0, 1, . . . , m − 1 | . . . |n − 1, исключая 0, 1, . . . , n − 2.(1.1)Вершины в каждой секции должны быть отсортированы по возрастанию.1мультиграф – граф, который может содержать несколько линий соединяющих одну и ту жевершину. В дальнейшем везде мы будем использовать термин граф, подразумевая мультиграф.2граф у которого занумерованы вершины12(a)(c) 3(b) 2102(d) 0011233Рис.
1.1. Ненумерованный граф (a)имеет 4! возможных нумераций,нонекоторый из них изофомрфны (например (b) и (c))Данное представление является достаточно компактным строковымпредставлением (по одному символу на линию и по разделителю на каждую вершину). В случае, если вершин больше 10, для их нумерацииможно использовать буквы 0, 1, . .
. , 9, A, B, C, . . . , затем пары символови т.п. Каждая линия появляется в представлении Никеля один раз (вт.ч. линии, закороченные в одной вершине), с другой стороны каждомусимволу (кроме разделителя) соответствует линия графа, тем самым попредставлению Никеля очень просто восстановить изначальный граф.На рисунке 1.1 представлены различные нумерации ненумерованногографа Fig. 1.1(a), им соответствуют следующие представления Никеля:(b) и (c) : 1123|23|3||, (d) : 123|223|3||. Таким образом видно, что дляодного ненумерованного графа есть некий набор представлений Никеля, соответствующих различным (неизоморфным) нумерациям данногографа.Будем называть индексом (номенклатурой) Никеля представлениеНикеля, соответствующее некоей канонической нумерации вершин.
В [7]в качестве канонической нумерации вершин предложено брать нумерацию, минимизирующую представление Никеля, записанное как число всистеме счисления (с достаточно большим основанием), что вообще говоря сводится к простому лексикографическому упорядочению:| (separator) < e (external leg) < 0 < . . . < 9 < A < B < . . . .Например, в этом смысле представление 1|2|3|| меньше 1|3|3||, т.к. 2меньше 3 (см рис.
1.2).Прямолинейная реализация, подразумевает перебор всех возможныхнумераций и имеет сложность порядка O(n!). Однако оптимизированныйалгоритм, использующий поиск в ширину, уменьшает сложность пробле130121|2|3||30131|3|3||2Рис. 1.2. Различные нумерации приводят к различным представлениямНикелямы в большинстве случаев до квазиполиномиальной (худший случай –полный граф, для него сложность остается равной O(n!)).1.1.1Представление Никеля для графов с ”внешними линиями”Для описания ампутированных функций Грина (см., например, [9,10]) используются фейнмановские диаграммы с так называемыми внешними линиями (ногами,хвостами).
Для описания таких диаграмм можноиспользовать те же правила построения представления Никеля, что иранее, введя для внешней линии обозначение “e” 3 . При лексикографическом упорядочивании “e” считается меньше всех внутренних вершин (см.выше).2(a)10(b)012(c)Рис. 1.3. Представление Никеля для графов с внешними линиями:e112|e2|ee| (b) and ee12|e22|e| (c)На рисунке 1.3 показаны примеры нумерованных графов с внешними линиями. Для ненумерованного графа Fig. 1.3(a) существует всегодва неизоморфных способа нумерации вершин: рис. 1.3(b) и (c).
Индексу Никеля соответствует нумерация с рис. 1.3(c) т.к. его представлениеменьше, чем представление графа на рис. 1.3(b).3от external141.1.2Расширенное представление Никеля для ”раскрашенных” и направленных графовВ более сложных (по сравнению со скалярными теориями типа ϕn )теориях фейнмановские диаграммы не могут быть представлены простыми ненаправленными графами. В подобных теориях мы можем иметьвершины и линии различных типов (см. например [11]). В данном разделеописывается, как обобщить представление Никеля на подобные случаи.Мы вводим расширенное представление Никеля, которое состоит изнескольких частей. Первая – это стандартное представление Никеля дляненаправленного графа (который получается из начального графа опусканием ”цветов” 4 и направлений). Другие части расширенного представления описывают свойства линий и вершин, используя упорядочение вершин задаваемое первой частью.
Вводя лексикографическое упорядочение на свойствах вершин и линий мы можем ввести лексикографическоеупорядочение для расширенного представления Никеля. В таком случае индекс Никеля для расширенного представления определяется какминимальное из возможных расширенных представлений для всех возможных нумераций графа, точно так же как это было для оригинальногоиндекса Никеля.1.1.2.1Вершины различных типовПоскольку индекс Никеля определяет каноничеbское упорядочение вершин для нераскрашенного графа, свойства(цвета) вершин могут быть указаны вэтом порядке. Для удобства они отделены от первойaaчасти представления при помощи ": а свойства верРис. 1.4.
Вершишин друг от друга отделяются при помощи "|".ныразличныхРассмотри треугольный граф с двумя вершинами типовтипа a и одной типа b (рис. 1.4). Нераскрашенныйграф имеет шесть изоморфных нумерации каждая из которых дает минимальное представление Никеля. Добавление свойств вершин (способом, описанным выше) делает их различными: 12|2|| : a|a|b|, 12|2|| : a|b|a|4под цветом понимаются любые дополнительные (ненаправленные) свойства линий или вершин15и 12|2|| : b|a|a|. Для построения индекса Никеля, нам необходимо найтиминимальное представление, что подразумевает наличие некоего упорядочивания свойств вершин).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
