Диссертация (1145286), страница 4
Текст из файла (страница 4)
γ 0 = γ \ `.7п-интеграл это безмассовый интеграл, зависящий только от одного внешнего импульса.21Теперь, если регуляризованная линия ` была выбрана таким образом, чтоинтеграл hγ q i не содержит инфракрасных расходимостей (такой выборне всегда возможен, см пример ниже), тогдаZγ = −KR0 hγ q i = −K hγ q i + . . . .(1.5)Здесь многоточие соответствует вычитаниям на подрасходимости; интегралы, соответствующие им, имеют число петель меньше, чем L и, соответственно, считаются известными. Таким образом, вычисление контрчлена Zγ сводится к вычислению следующего выражения:dpp21·= Cγ 0 (ε) (q 2 )−Lε G(1 + (L − 1) ε, 1)D222+(L−1)ε(2 π) (p )(p − q)1= Cγ 0 (ε) (q 2 )−L ε· (1 + O(ε)).(1.6)LεCγ 0 (ε) ·ZЭто эквивалентно вычислению функции Cγ 0 (ε) с точностью O(ε0 ).
В правой части (1.6) мы используем стандартное обозначение для базовогооднопетлевого п-интеграла [37]:Z(q 2 )2−ε−α−βdp1=G(α, β),(2 π)d (p2α )(q − p)2β16 π 2G(α, β) = (4π)εΓ(α + β − 2 + ε) Γ(2 − α − ε) Γ(2 − β − ε).Γ(α)Γ(β)Γ(4 − α − β − 2ε)(1.7)(1.8)К сожалению, требование ИК конечности модифицированного интеграла hγ q i существенно ограничивает возможности данного метода.
Вомногих случаях оно не позволяет выбрать удобным образом линию `,разрезание которой приводит к более простому (L-1) петлевому интегралу Cγ 0 или даже к невозможности применения подобного инфракрасногопреобразования для диаграммы (см рисунок 1.7).Рис. 1.7. Для данной диаграммы не существует инфракрасного безопасного ИК преобразования (с одной “смягченной” линией).22Подобные ограничения могут быть отброшены при использовании R∗операции, которая в дополнение к стандартным УФ вычитаниям (соответствующим R-операции), включает в себя инфракрасные вычитания:eR∗ = R · R.(1.9)e обозначает инфракрасную R-операцию, которая рекурсивно выЗдесь Rчитает все ИК расходимости из данного (евклидова) фейнмановскогоинтеграла. Таким образом, для случая произвольно выбранной линии `уравнение (1.5) принимает вид:e hγ q i = −KR0 Re0 hγ q i = −K hγ q i + .
. . ,Zγ = −KR0 R(1.10)Данные соотношения требуют нескольких комментариев.e0 операция определяется как Re без последнего ИК выВо-первых, Rчитания, соответствующего ИК расходимости интеграла hγ q i как целогоe0 в середине (1.10)(аналог поверхностной УФ расходимости). Переход к Rабсолютно правомерен, поскольку наличие модифицированного пропагатора в интеграле hγ q i гарантирует отсутствие поверхностной ИК расходимости последнего.e0 в (1.10) это чисто алгебраичеВо-вторых, применение как R0 , так и Rская процедура, поскольку все (УФ и ИК) контрчлены, которые нужнососчитать, могут быть выражены в терминах УФ контрчленов диаграммы hγi, которые согласно нашему предположению известны (подробнеесм.
в [29, 38, 3]).Как следствие, мы снова приходим к выводу, что для произвольновыбранной “смягченной” линии ` вычисление контрчлена Zγ требует знания полюсной и конечной части (L-1) петлевого интегала hγ 0 i (а так женекоторых p-интегралов с меньшим числом петель).В-третьих, вершины с более чем тремя хвостами могут быть преобразованы (разрезаны) в две вершины, объединенные линией, которойсоответствует единичный пропагатор (см Рис.
1.8 . Эта линия также может быть использована в качестве смягченной линии `. Как мы увидимв следующем разделе, во многих случаях разрезание вершин приводитк исключительно простым (факторизующимся) р-интегралам.23→−qp2(p−q)2Рис. 1.8. Инфракрасное преобразование с использованием разрезаниявершины, пунктирная линия соответствует смягченной линии.В настоящий момент рекордом является аналитическое вычислениер-интегралов на четырехпетлевом уровне (см детали в [39]), это означает,что пятипетлевые ренормгрупповые вычисления выполнимы, в то времякак шестипетлевые в общем случае нет.Подводя итоги этого раздела необходимо подчеркнуть следующее.
Если имеется L-петлевая полностью безмассовая вакуумная диаграмма Γ снулевым (в четырехмерном пространстве) индексом поверхностной УФрасходимости соответствующего формального фейнмановского интеграла (FI) hΓi, операция R* сводит вычисление УФ контрчлена ZΓ к вычислению только одного (L-1)-петлевого р-интеграла, получающегося путемвырезания произвольной линии ` из Γ (не считая п-интегралов с числомпетель меньше L, которые должны быть вычислены для того, чтобыубрать УФ и ИК подрасходимости из hΓq i).
Окончательный результатдля УФ контрчленаe0 hγ q iKR0 Rне зависит от выбора линии `, что является убедительной проверкойкорректности наших вычислений).241.4Обобщение ограничений ’т Хофта наслучай конкретных диаграммВ данном разделе обсуждается расширение8 хорошо известных ограничений ’т Хофта на случай отдельных фейнмановских диаграмм. Оригинальные ограничения, предложенные им в [40] касались констант ренормировки в целом (т.е.
включали вклады от всех диаграмм данногопорядка теории возмущений).Пусть Γ - некоторая 1-неприводимая фейнмановская диаграмма безИК расходимостей9 . Без существенного ограничения общности мы полагаем, что hΓi(Q2 , µ2 ) это скалярный интеграл, зависящий от квадратавнешнего импульса Q2 = Qν Qν . Дополнительно в определение любогоразмерно регуляризованного интеграла мы вводим зависимость от ренормировочной массы µ таким образом, что интеграл становится безразмерным (это соответствует множителю (µ2 )L ε ).Ренормированная фейнмановская диаграмма может быть представлена в следующем виде:R hΓi(Q2 , µ2 ) = hΓi(Q2 , µ2 ) + ZΓ +PγZγ hΓ/γi(Q2 , µ2 ) + .
. . . (1.11)Здесь Zγ – УФ контрчлен, соответствующий один-неприводимому подграфу γ диаграммы Γ, ZΓ – УФ контрчлен самой диаграмм hΓi, а многоточие соответствует вкладам с двумя и более вычитаниями.Каждый член в выделенной прямоугольником части в (1.11) является произведением некоторых контрчленов и редуцированного интеграла(где соответствующие подграфы стянуты в точку), последний по построению содержит множитель (µ2 )nε , где n это его число петель.Конечность левой части (1.11) совместно с фактом, что контрчленыZγ не имеют зависимости от µ, приводит к ряду интересных следствий.Например, если L = 2, знание полюсных частей однопетлевых подграфов Γ и однопетлевых редуцированных интегралов hΓ/γi позволяет восстановить ведущий полюс (1/ε2 ) диаграммы hΓi и контрчлен ZΓ .
По ин8Данный подход не является оригинальным и, как минимум, для ИК конечных диаграмм хорошоизвестен. См., например, [4], где аналогичный подход использовался для исследования расходимостей в максмально суперсимметричной теории Янга-Миллса9Это ограничение будет снято позже.25дукции можно распространить это утверждение для произвольного числа петель L и ведущего полюса 1/εL как для самой диаграммы hΓi, таки для соответствующего контрчлена ZΓ , которые могут быть востановлены из полюсных частей правильно построенного набора однопетлевыхфейнмановских интегралов (контрчленов). Это множество включает всеграфы вида γ/γ 0 , где γ и γ 0 – один-неприводимые подграфы Γ такие, чтоγ 0 ⊂ γ and Lγ − Lγ 0 = 1.Аналогичным образом для L-петлевой диаграммы можно получитьполюс пропорциональный 1/εL−1 из аналогично построенного наборадвухпетлевых интегралов и т.д.
Это, очевидным образом, является подиаграммной формулировкой ограничений ’т Хофта.Еще одно простое (но тоже полезное) наблюдение состоит том, чтозная контрчлен ZΓ и члены, обведенные прямогольником в правой части(1.11), можно полностью восстановить полюсную часть оригинальнойнеперенормированой диаграммы hΓi.Это утверждение может быть легко обобщено на случай интеграла hΓi, содержащего ИК расходимости (в дополнение к УФ расходимостям)10 . Очевидно, что достаточно просто применить R∗ -операцию вместо R-операции.Пусть hΓi безмассовая пятипетлевая диаграмма пропагаторного типа.
Имея ввиду следующие два факта: (а) все пятипетлевые контрчленымогут быть выражены через четырехпетлевые интегралы и (б) все интегралы обведенные прямоугольником в правой части (1.11) являютсяp-интегралами с числом петель, не превосходящим 4, мы приходим кзаключению, что полюсная часть hΓi выражается в терминах четырехпетлевых p-интегралов.В качестве примера ниже представлено полное выражение, позволяющее вычислить полюсную часть пятипетлевого p-интеграла из раздела 2.1.1.3 (диаграмма (а)):K(1.12)Это утверждение верно только в евклидовом случае, так как R∗ -операция не предназначенадля работы с более сложными (например, коллинеарными) ИК расходимостями, которые могутвозникать в диаграммах, рассматриваемых в пространстве Минковского.1026Принимая во внимание, чтоKR0!= KR∗0,(1.13)и правая часть (1.13) может быть вычислена в терминах четырехпетлевых p-интегралов, раскрывая R0 операцию в левой части (1.13) получим:!K=K+KR0+ KR0R∗0+ KR0+(1.14)Здесь все члены в правой части (1.14) могут быть выражены в терминахчетырехпетлевых p-интегралов.1.5Вычисление интегралов с использованием гиперлогарифмовВ последнее время наметился значительный прогресс в аналитическом вычислении интегралов.
Одним из наиболее мощных методов вычисления п-интегралов, разработанных в недавнее время, можно назватьпараметрическое интегрирование (вычисление интегралов в фейнмановском представлении с использование гиперлогарифмов или мультиполилогарифмов) [41, 42].Обозначим через h1 (G) число петель диаграммы G, а черезω(G) =Xe∈E(G)νe − h1 (G)XD=νe − 2h1 (G) + εh1 (G).2(1.15)e∈E(G)Здесь νe степени пропагаторов в импульсном представлении 1/(ke2 +m2e )νe .Тогда фейнмановское представления для диаграммы G имеет видΦ(G) = Γ(ω) ∞Y Ze∈E(G)027αeνe −1 dαe Γ(νe )δ(1 − αN )U D/2−ω F ω(1.16)где U и F полиномы Симанчика [44, 43]U=XYTe∈T/αe and F =X2p (C)T2Ye∈T2αe + UXm2e αe ,(1.17)e∈E(G)которые могут быть представлены в терминах покрывающих (один)деревьев T и два-деревьев T2 (имеющих две компоненты связности);p(T2 ) импульс текущий из одной компоненты связности два-дерева в другую.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
