Диссертация (1145283), страница 29
Текст из файла (страница 29)
моментвремени, в который в z-ом сечении газопровода на его внешней поверхностивозникает слой льда. Как показано в главе 1, в каждом из сечений газопровода, в котором в начальный момент слой льда отсутствует, момент времениt̂(z) определяется по выполнению двух условий:t < t̂ → T2 (R2 , t) > T∗ , t > t̂ → T2 (R2 , t) < T∗ ,∂T3 ∂T2 > λ3.λ2∂r R2 ,t̂∂r R2 ,t̂В момент времени t = t̂ слой льда отсутствует:ний t̂(z) входит в алгоритм решения задачи.(3.30)(3.31)y(t̂) ≈ 0. Расчет значе-Задание граничных условийКак известно, например [130], для дозвуковых режимов течения u < c∗при u > 0 должно быть задано два условия на входе в газопровод и одно условие на выходе. В принятых режимах транспортировки газа скорость потока,как показано в главе 1, много меньше скорости звука.
На входе в газопровод задаются два граничных условия: давление p(0, t) и температура T (0, t)газовой смеси из 12 компонент, представленной в таблице 1.1 главы 1. Подавлению p(0, t) и температуре T (0, t) из уравнения состояния (3.5) и из калорического уравнения (3.6) определяются значения плотности и внутренней180энергии газовой смеси на входе в газопровод.
На выходе из газопровода задается закон изменения w∗ (t) удельного расхода газа (w∗ = uρ). Таким образом,один из возможных вариантов граничных условий имеет вид:z=0:p(0, t) = p0 (t),z=L:T (0, t) = T 0 (t);w(L, t) = w∗ (t),(3.32)L — длина модельного газопровода.Задание начальных условийНачальные условия для плотности ρ, температуры T и скорости u потока зависят от рассматриваемой задачи. Для ряда неустановившихся режимовтечения, например, в задачах связанных с изменением отбора газа на выходеиз газопровода, в качестве начальных условий принимается установившийсярежим течения.
Модель установившихся режимов транспортировки газа исследована в параграфе 1.6 главы 1. Решение соответствующей системы уравнений реализованно в виде программного комплекса «SGTM» [41]. Установившиеся толщины слоя льда в начальный момент времени рассчитывалисьпо методике работы [13] применительно к морскому льду. Таким образом, вкачестве начальных условий принимаются функции ρ0 (z), T0 (z) и y0 (z):t=0:ρu = const =T (z) = T0 (z),Q,πR2ρ(z) = ρ0 (z),(3.33)y(z) = y0 (z),Q — постоянный массовый расход в начальный момент времени.
Давлениеp0 (z) и внутренняя энергия ε0 (z) в начальный момент времени определяютсяпо рассчитанным зависимостям ρ0 (z), T0 (z) из уравнения состояния (3.5) ииз калорического уравнения (3.5) соответственно.Численное решение системы уравнений модели 3Алгоритм решения задачи о транспортировки газа по морскому газопроводу в условиях допускающих оледенение внешней поверхности состоитиз нескольких этапов.181На первом этапе проводится идентификация по экспериментальным данным коэффициента гидравлического сопротивления λ и суммарного коэффициента теплообмена β, входящих в модель установившихся режимов транспортировки газа. Определяется толщина эффективного погранслоя воды δ∗ .Предполагается, что в модели 3 коэффициент гидравлического сопротивления λ и суммарный коэффициент теплообмена β можно приближенно считатьтеми же, что в установившихся режимах.На втором этапе определяются начальные условия для плотности ρ, температуры T и скорости u потока.
Определяются участки газопровода, в которых выполнены условия начала оледенения.Для численного решения системы уравнений модели 3 используетсяпредствленная ниже модифицированная явная двухшаговая схема Лакса–Вендроффа.На каждом шаге схемы для определения теплового потока q =1λ1 ∂T∂r r=Rдля каждого сечения газопровода определяется, выполнены или нет необходимые и достаточные условия начала оледенения. В зависимости от этогоиспользуются разные модели теплообмена газа с окружающей средой.Если условия оледенения выполнены, используется блок Б (модель ЛЛпараграф 2.5 главы 2), в противном случае — блок А (модель 2 параграф 1.5главы 1).Существенно, что в главе 2 обоснован вывод о допустимости использования квазистационарной модели при расчете слоя льда.
Тепловой потокрассчитывается на просчитанном слое по времени, при малой величине шагапо времени, как показали проведенные расчеты, это допустимо. После расчета теплового потока в каждом сечении на новом временном слое находятся все характеристики потока газовой смеси (давление, плотность, скорость,температура) и толщина нарастающего слоя льда на внешней поверхностигазопровода.Отметим, что для использования схемы Лакса–Вендроффа существенно,что уравнения (3.1)–(3.3) модели 3 записаны в дивергентной форме.На рисунке 3.1 представлена блок-схема численного решения системыуравнений модели 3.182Рисунок 3.1 – Блок-схема численного решения системы уравнений модели 3.183Уравнения модели 3 записываются в терминах расхода w = ρu. В безразмерной форме уравнения (3.1)–(3.3), (3.5), (3.6) в переменных ρ, w, p, εимееют вид (для безразмерных переменных используются те же обозначения,u > 0):∂ρ ∂w+= 0,∂t∂z∂ w2w2∂w++ m1 p = −m2+ m11 ρ cos α(z) ,∂t∂z ρρ∂ww2w3∂ρε + m3+wε + m3 2 + m4 p = m5 q + m12 w cos α(z),∂tρ∂zρρp = m6ρTρ2,− m7(1 − m10 ρ)(1 + m10 ρ)T 1/2(3.34)ε(T, ρ) = m8 T − m9 √ ln(1 + m10 ρ).(3.35)TБезразмерные комплексы m1 — m10 выражаются через физические параметры задачи и характерные величины по формулам:m1 =m4 =m7 =u2xλlxpx,,m=,m=32ρx u2x4R2εxpx2tx qxhρx Tx, m5 =,, m6 =ρx εxρx e x Rpxcρ2x, m8 =1/2px T xm10 = δρx , m11ĉv Tx3c√ ,, m9 =εx2δεx T xtx gux t x g=, m12 =,uxexlx , px , Tx , ρx = ρx (px , Tx ), εx = ε(ρx , Tx ), tx , ux = Q/(ρx πR2 ) — характерныедлина, давление, температура, плотность, внутренняя энергия, время и скорость соответственно, ρx определяется по px , Tx из уравнения состояния (3.5),внутренняя энергия εx определяется по ρx , Tx из калорического уравнения(3.6).Модифицированная схема Лакса–Вендроффа является двухшаговой.
Накаждом шаге величины плотности, расхода и внутренней энергии находятсяявно по найденным на предыдущем шаге величинам давления, температурыи потока тепла, зависящего от толщины слоя льда.184Введем обозначения:w2+ m1 p,ρw2B = ρε + m3 ,ρw3wC = wε + m3 2 + m4 p.ρρA =На первом этапе решается следующая система конечно-разностных уравнений:n+1/2ρk+1/2 − 12 (ρnk + ρnk+1 )12τnwk+1− wkn+= 0,∆n+1/2n)wk+1/2 − 21 (wkn + wk+1= −m212τ2 nwρAnk+1 − Ank+=∆+ m11 ρnk+1/2 cos αk+1/2 ,k+1/2n+1/2n)Bk+1/2 − 21 (Bkn + Bk+112τnCk+1− Ckn+=∆nncos αk+1/2 .+ m12 wk+1/2= m5 qk+1/2Здесь τ, n — величина и номер шага по времени; ∆, k — величина и номершага по координате z, N — целая часть от (L/∆).Из системы уравнений первого этапа на временном слое (n+1/2) в узлахn+1/2k = 1, .
. . , (N −1) явно находятся значения плотности ρkвнутренней энергииn+1/2εk,n+1/2, расхода wkизатем по калорическому уравнению (3.35) и уравn+1/2нению состояния (3.34) находятся значения температуры Tkи давленияn+1/2pk.n+1/2В узле k = 0 значения плотности ρ0из граничных условий, величинаn+1/2p0n+1/2ε0n+1/2и температуры T0известныопределяется по уравнению (3.35),n+1/2— из уравнения состояния (3.34). Для определения расхода w0ис-пользуется линейная экстраполяция из внутренних узлов.n+1/2В узле k = N значения плотности ρNn+1/2и температуры TNопре-деляются линейной экстраполяцией из внутренних узлов, по ним находятся185n+1/2внутренняя энергия εNn+1/2и давление pNn+1/2.
Величина расхода wNиз-вестна из граничных условий.На втором этапе решается следующая система конечно-разностных уравнений:n+1/2n+1/2− ρnk wk+1/2 − wk−1/2ρn+1k+= 0,τ∆n+1/2n+1/2 2 n+1/2wkn+1 − wkn Ak+1/2 − Ak−1/2wn+1/2+ m11 ρkcos αk ,+= −m2τ∆ρ kn+1/2n+1/2Bkn+1 − Bkn Ck+1/2 − Ck−1/2n+1/2n+1/2+= m 5 qk+ m12 wkcos αk .τ∆n+1/2Значения величин ρkn+1/2, wkn+1/2, εkn+1/2, Tkn+1/2, pk, k = 0 . .
. N из-вестны из первого этапа. Из системы уравнений второго этапа на (n + 1)-мвременном слое в узлах k = 1, . . . , (N − 1) явно находятся значения плотn+1и внутренней энергии εn+1ности ρn+1k , затем по уравнениямk , расхода wkи потока(3.35), (3.34) находятся значения температуры Tkn+1 , давления pn+1kтепла qkn+1 .Значения всех величин в граничных узлах k = 0 и k = N определяютсяаналогично схеме первого этапа.Как отмечалось выше, тепловой поток рассчитывается на просчитанномслое по времени, при малой величине шага по времени, как показали проведенные расчеты, это допустимо. Таким образом, в принятой схеме расчетаn+1/2принимается: qkn+1 =qkn+1/2.
Расчет величины qkпроводится либо по раз-ностному аналогу уравнений блока А, приведенному в параграфе 1.5 главы 1,либо по разностному аналогу уравнений блока Б, приведенному в параграфе2.5 главы 2. Алгоритм решения системы уравнений блока Б, то есть динамикиоледенения внешней поверхности газопровода, реализован в виде программного комплекса «Лед» [70], который входит составной частью в программныйкомплекс «SGPITM» [90].Приведенная модифицированная схема Лакса–Вендроффа имеет второйпорядок точности по шагу τ и по шагу △, кроме граничных узлов, где использовалась линейная экстраполяция.Условие устойчивости для схемы Лакса–Вендроффа имеет вид [89]:186∆,(3.36)(u + c∗ )c∗ — адиабатическая скорость звука, методика ее расчета при выбранτ<ной модели термодинамических процессов приведена в параграфе 1.4 главы1. Характерное значение c∗ в рассматриваемых задачах равно 513 м/с.
u —максимальное значение скорости потока.3.3. Программный комплекс «SGPITM». Решения модельныхзадачЭтот алгоритм решения уравнений модели 3 реализован в виде программного комплекса «SGPITM» [90], написанного на языке C++. Программный комплекс позволяет рассчитывать различные неустановившиеся режимытранспортировки смеси газов по морским газопроводам при наличии оледенения внешней поверхности газопровода, а также учесть рельеф трассы, составгазовой смеси, сверхвысокие давления на входе.Программный комплекс «SGPITM» является переносимым и можетбыть собран для работы в ОС семейства Windows, Unix и GNU/Linux. Он обладает дружественным пользовательским интерфейсом. На рисунках 3.2–3.5для примера приведены некоторые окна программного комплекса «SGPITM».Рисунок 3.2 – Основное окно программы «SGPITM».187Основное окно предназначенно для запуска программы на счет и сбора всех необходимых для расчета характеристик, а именно, параметров конструкции газопровода, окружающей среды, смеси газов, данных на входе вгазопровод.Рисунок 3.3 – Окно ввода характеристик слоев обшивок газопровода впрограмме «SGPITM».Это окно предназначено для ввода теплофизических и геометрическихпараметров обшивок газопровода, параметров теплового погранслоя воды,длины газопровода и его внутреннего радиуса.Рисунок 3.4 – Окно ввода характерных значений и параметров расчетнойсетки в программе «SGPITM».188Рисунок 3.5 – Выбор уравнения состояния и ввод параметров газовой смесив программе «SGPITM».Время работы программы «SCPITM» зависит от длины рассчитываемойтрассы и рассматриваемого времени работы газопровода.
Например, среднеевремя, необходимое для расчета 5 суток работы газопровода длиной 650 километров составляет 55 минут (на системе Intel Core i5-3230M, ОЗУ 8 ГБ).ПK «SGPITM» позволяет произвести следующие расчеты.• Расчет давления, температуры, скорости потока многокомпонентной хи-мически инертной смеси газов в широком диапазоне входных параметров,представляющих практический интерес при расчете транспортировки газовой смеси по газопроводам в северных морях.• Расчет неустановившихся режимов эксплуатации морских газопроводов.• Расчет условий начала образования морского льда и динамики его нарастания на внешней поверхности газопровода.Влияние учета нестационарности теплообмена на поведениехарактеристик потокаПо модели 3 были проведены расчеты [35], [36] ряда вариантов неизотермического нестационарного течения газа по морскому газопроводу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
