Диссертация (1145283), страница 32
Текст из файла (страница 32)
В рамках этого подхода предлагается создавать космические зеркала из полых сфер большого диаметра вблизи космических летательных аппаратов. Схема создания полых сфер больших радиусов следующая: расплав специального материала помещается в созданнуюза бортом космической станции газовую среду, в которой поддерживаютсязаданные давление Pn и температура T . Под действием сил поверхностногонатяжения и при отсутствии контакта с твердыми поверхностями (за исключением тонкой трубки) этот расплав принимает форму шара. Далее по этойтрубке в центр жидкого шара подается газ, в результате чего формируетсярасширяющийся сферический слой.Построение и исследование математической модели расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости было начато в 90-х годах наматематико-механическом факультете Санкт–Петербургского Государственного университета совместно с Государственным Оптическим институтом им.С.И.
Вавилова. В начале 21 века эта работа была продолжена на факультете прикладной математики - процессов управления СПбГУ [105]. Настоящаяработа продолжает эти исследования.Для реализации процесса расширения жидкого сферического слоя предполагалось использование специально разработанного материала типа олигомера, обладающего следующими реологическими свойствами: в заданноминтервале температур и давлений в течение определенного промежутка времени олигомер ведет себя как ньютоновская вязкая жидкость, а затем практически мгновенно затвердевает.
Проведенные в 90-х годах эксперименты вземных условиях продемонстрировали реальность этой технологии получения полых сфер.206Рисунок 4.1 – Формирование жидкого сферического слоя.Однако, был обнаружен целый ряд трудностей. Одной из них являетсяпроблема выбора режима подачи газа внутрь жидкой оболочки, обеспечивающего достижение необходимых размеров сферической оболочки за определенный (короткий) интервал времени tk . Он ограничен, с одной стороны,временем затвердевания материала, с другой стороны, требованием устойчивости режима раздувания по отношению к малым возмущениям внешнихусловий.Проведение дорогостоящих экспериментов в космосе отчасти может бытьзаменено компьютерным моделирование по созданной математической модели этих процессов, поэтому актуальность исследований, проведенных при решении второй из перечисленных во введении задач настоящей диссертации,не вызывает сомнений.4.2.
Математическая модель процесса расширения жидкогосферического слоя в условиях невесомостиПри построении упрощенной математической модели указанных процессов приняты следующие допущения.1. Массовые силы принебрежимо малы, их массовая плотность g по модулюсоставляет величину порядка 10−5 g (g–ускорение свободного падения наЗемле равное 9.8 м/c2 ).2. До начала затвердевания поведение материала оболочки допустимо моделировать ньютоновской вязкой жидкостью; плотность материала ρ, ко-207эффициент динамической вязкости µ и коэффициент поверхностного натяжения æ в исследуемом диапазоне температур можно с достаточнойточностью считать постоянными.3. Давление в газовой среде вне материала распределено однородно и равноPn .4. Давление газа внутри расширяющейся жидкой оболочки Pg (t) определяется режимом подачи газа и параметрами жидкого слоя; подача газавнутрь оболочки осуществляется сферически симметрично.5.
Диффузией газа через оболочку можно пренебречь.При перечисленных условиях процесс расширения жидкого слоя вплотьдо начала затвердевания моделируется следующей системой уравнений:div ū = 0,∂ ū+ (∇ū) · ū = −∇p + µ△ū,ρ∂t∂ερ+ ū · ∇ε = −div q̄ + τ : d,∂tε = cv T,(4.1)(4.2)(4.3)(4.4)q̄ = −λ grad T,(4.5)τ = −pI + 2µd.(4.6)Здесь ū — вектор скорости жидкости, p – давление в жидкости, ∇ū — гра-диент скорости, △ — оператор Лапласа, ε — массовая плотность внутреннейэнергии жидкости; λ, µ, cv — коэффициенты теплопроводности, динамической вязкости и теплоемкости жидкости соответственно; q̄ — вектор потокатепла; T – температура в жидком слое; I — единичный тензор; τ — тензорнапряжения; d — тензор скоростей деформации; ∇ — оператор Гамильтона;τ : d — свертка тензоров τ и d.В уравнении неразрывности (4.1) учтено постоянство плотности жидкости ρ; уравнение Навье–Стокса (4.2) полученное из уравнения баланса импульса при реологическом поведении материала как ньютоновской вязкойжидкости; (4.3) — уравнение баланса внутренней энергии.208Для ньютоновской вязкой жидкости, подчиняющейся закону теплопроводности Фурье, имеют место линейные замыкающие соотношения (4.5),(4.6).Система уравнений (4.1)–(4.6) дополняется начальными и граничнымиусловиями, приведенными ниже.Начальные условия.
Предполагается, что в начальный момент времени t0 жидкость покоится и сферический слой сформирован:G:{R(t0 ) ≤ r ≤ R̂(t0 ), θ ∈ [0, π], ϕ ∈ [0, 2π]},центр сферической системы координат (r, θ, ϕ) расположен в центре сферического слоя.Начальный этап формирования жидкого слоя требует дополнительногоисследования и выходит за рамки диссертационной работы.Начальные условия задачи имеют видū(r̄, t0 ) = 0̄,r̄ ∈ G.(4.7)При выполнении условий 1.–5. для сферически-симметричных начальныхусловий (4.7) процесс расширения жидкого слоя допустимо считать сферически симметричным.
Внутренняя и внешняя граничные поверхности жидкостиS1 (t), S2 (t) представляют собой сферы радиусов R(t) и R̂(t) соответственно(см. рисунок 4.2).Рисунок 4.2 – Схема жидкого слоя.В любой момент времени выполняются следующие равенства:uθ = uϕ = 0;209∂∂== 0;∂θ∂ϕū(r̄, t) = ur (r, t)e¯r ≡ u(r, t)e¯r ,(4.8)ēr − единичный вектор, направленный вдоль радиуса от центра сферическойсистемы координат; u(r, t)− радиальная составляющая скорости.
НачальноеусловиеT (r, t0 ) = const = T0(4.9)соответствует неизменности температуры вдоль слоя в начале процесса раширения.Граничные условия задачи. Зададим кинематические и динамические граничные условия.Кинематические условия для скорости жидкости на внутренней и внешней поверхностях в произвольный момент времени имеют видu|S1 (t) = Ṙ,˙u|S2 (t) = R̂.(4.10)Здесь и далее точкой обозначенно дифференцирование по времени.Динамические условия основаны на формуле Лапласа, определяющейвеличину скачка нормальной составляющей вектора напряжения при переходе через искривленную поверхность.Для сферической поверхности радиуса R, величина скачка равна 2Ræ , гдеæ — коэффициент поверхностного натяжения.
При этом абсолютная величина давления больше в той среде, в которой поверхность раздела являетсявыпуклой. Выразим вектор напряжения t̄n (r̄, t), действующий на площадкус нормалью n̄(r̄, t), через матрицу T (r̄, t) тензора напряжения по формулеt̄n (r̄, t) = n̄ · T (r̄, t).(4.11)Динамические условия на внешней S2 (t) и внутренней S1 (t) поверхностяхраздела в векторной форме имеют следующий вид:!2æ(2)e¯r ,n̄2 · T (2) = − n̄(1) · T (1) −R̂(t)r̄ ∈ S2 (t),(4.12)210n̄(3) · T (3)2æ(2)e¯r ,= − n̄1 · T (2) −R(t)r̄ ∈ S1 (t).(4.13)Рисунок 4.3 – Динамические граничные условия.В этих соотношениях верхними индексами 1, 2, 3 отмечены величины,относящиеся к областям внешней газовой среды, жидкого слоя, внутренней(2)газовой среды соответственно.
Здесь n̄2 T (2) — вектор напряжения, действующий со стороны жидкости 2 на газовую среду 1 в точке r̄ поверхности S2 ;n̄(1) T (1) — вектор напряжения, действующий со стороны газовой среды 1 на(2)жидкость 2 в точке r̄ поверхности S2 ; n̄1 T (2) — вектор напряжения, действующий со стороны жидкости 2 на газовую среду 3 в точке r̄ поверхностиS1 ; − 2R̂æ e¯r — вектор силы поверхностного натяжения, действующий в точкеr̄ поверхности S ; − 2æ e¯ — вектор силы поверхностного натяжения, действу2rRющий в точке r̄ поверхности S1 ; n̄(3) T (3) — вектор напряжения, действующийсо стороны газовой среды 3 на жидкость 2 в точке r̄ поверхности S1 ;Вязкость газа пренебрежимо мала по сравнению с вязкостью жидкости,поэтому матрицы тензоров напряжения в газовых средах можно определитьследующим образом:T (1) = −Pn E,T (3) = Pg (t)E,(4.14)E — матрица единичного тензора I.Матрицы тензоров напряжения в ортонормированном базисе (ēr , ēθ , ēϕ )сферической системы координат (r, ϑ, ϕ), как следует из равенств (4.14), (4.8),имеют следующий вид:211−Pn 00T (1) = −Pn0,000 −Pn−Pg 00(3).T =0−P0g00 −PgДля ньютоновской вязкой жидкости линейная связь тензора напряженийс тензором скоростей деформации в матричной форме имеет вид:T (2) = −pE + 2µd,d — матрица симметричной части векторного градиента скорости (матрицатензора скоростей деформации), T (2) — матрица тензора напряжения.В сферической системе координат компоненты тензора скоростей деформации d с учетом сферической симметрии задачи имеют вид∂u∂ur=,∂r∂r1 ∂uθ uruγθθ =+= ,r ∂θrru1 ∂uϕ ur uθ ctg θ++= ,γϕϕ =r sin θ ∂ϕrrr1 1 ∂ur ∂uθ uθγrθ = γθr = (+− ) = 0,2 r ∂θ∂rr11 ∂ur ∂uϕ uϕγrϕ = γϕr = (+− ) = 0,2 r sin θ ∂ϕ∂rr11 ∂uθ 1 ∂uϕ uϕγθϕ = γϕθ = (+−ctg θ) = 0.2 r sin θ ∂ϕr ∂θrТаким образом, матрица тензора напряжения в жидкости записывается вγrr =видеT (2)−p +=002µ ∂u∂r0−p + 2µ ur000.−p + 2µ ur212Запишем динамические граничные условия (4.12), (4.13) в проекции нарадиальную ось.2æ∂u(r, t),= −Pn −∂rR̂(t)∂u(r, t)2æ− −p(r, t) + 2µ= Pg (t) −,∂rR(t)−p(r, t) + 2µr ∈ S2 (t),(4.15)r ∈ S1 (t).(4.16)Граничные условия для температурыВнешняя поверхность сферической оболочки моделируется «серым телом», для которого поглощающие свойства постоянны для всех длин волн.Как известно [110], [111], модель «серого тела» является удобной идеализацией, позволяющей приближенно учесть поведение реальных поверхностей.Для исследуемых материалов коэффициент серости ǫ∗ принят равным:ǫ∗ ≃ 0.85Граничные условия на внутренней и внешней поверхностях жидкого слояотражают возможные условия проведения процесса.Рисунок 4.4 – Температура T жидкого сферического слояв процессе расширения.В достаточно общем виде их можно представить следующим образом: ∂T (4.17)= α T − Tg ,λ∂r r=Rr=R ∂T (4.18)− Tn4 ,−λ= β T − Tn + ǫ∗ σ T 4 ∂r r=R̂r=R̂r=R̂213T = T (r, t), R = R(t), R̂ = R̂(t).Здесь T – температура в жидком слое; α, β — коэффициенты теплообмена навнутренней и внешней поверхностях жидкого слоя соответственно; Tg , Tn –заданные температуры газа внутри полости, ограниченной слоем жидкости,и вне слоя соответственно; σ — постоянная Стефана–Больцмана.Граничное условие третьего рода (4.17) на внутренней поверхностиприбольших значениях α переходит в граничное условие первого рода T = Tg ,R(t)а для малых α (4.17) задает условие отсутствия теплообменамежду внутрен= 0.ней поверхностью оболочки и газом внутри нее ∂T∂r R(t)На внешней поверхности слоя граничное условие (4.18) моделирует какмеханизм теплообмена с разряженным газом искусственной оболочки, в которую происходит расширение слоя, так и механизм потери тепла за счетизлучения по закону Стефана–Больцмана.Декомпозиция математической модели расширения сферическогослоя жидкостиВ исследуемом диапазоне температур и давлений плотность и вязкостьжидкости можно с достаточной точностью считать постоянными, что, как известно, позволяет расщепить общую систему уравнений (4.1)–(4.6) и решатьгидродинамическую и тепловую части задачи отдельно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
