Диссертация (1145283), страница 33
Текст из файла (страница 33)
При этом из решениягидродинамической части задачи находятся поля скорости u(r, t) и давленияp(r, t) в жидком слое, после чего решается тепловая часть общей задачи.Решение гидродинамической части задачи приведено в первых трех параграфах, тепловая часть задачи решена в четвертом параграфе.Гидродинамическая часть математической модели расширенияжидкого сферического слояСферическая симметрия задачи позволяет упростить уравнение Навье–Стокса (4.2). Воспользуемся тождеством△ū = grad divū − rot rotū(4.19)214и учтем, что в сферически-симметричном случае rot ū является нулевым вектором.rot ū = 0̄.Из последнего равенства с учетом тождества (4.19) следует △ū = 0.Таким образом, сферическая симметрия задачи в этой постановке приводит кпотенциальности течения. Влияние вязкости проявляется только через граничные условия (4.15), (4.16) на поверхностях S1 , S2 и, в силу спецификирассматриваемой граничной задачи, течение в слое остается потенциальным.Уравнение Навье–Стокса (4.2) для вязкой жидкости при условии △ū = 0совпадает с уравнением Эйлера движения идеальной жидкости:∂ ū+ ∇ū(ū) = −∇p.ρ∂t(4.20)В сферической системе координат (r, ϑ, ϕ) гидродинамическая часть математической модели расширения жидкого слоя при выполнении условий 1.–5.
для выбранного режима подачи газа, характеризуемого функцией Pg (t),записывается в виде [125]:1 ∂ 2(r u) = 0;r ∂r ∂up∂u∂;+u=−∂t∂r∂r ρb0 ];ut=0 = 0, r ∈ [R0 , Rḃur=R(t) = Ṙ(t), ur=R̂(t) = R(t),t ∈ [0, tk ];2æ∂u , t ∈ [0, tk ];=P(t)−p − 2µg∂r r=R(t)R(t)2æ∂u =P+p − 2µ, t ∈ [0, tk ];nb∂r r=R̂(t)R(t)b3 (t) − R3 (t) = const = K,Rt ∈ [0, tk ].(4.21)(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)(4.26)(4.27)u = u(r, t) — радиальная составляющая вектора скорости жидкости в слое,который в любой момент времени t ограничен сферическими поверхностяbми с внутренним радиусом R(t) и внешним радиусом R(t);R0 — начальное215значение радиуса внутренней поверхности жидкого слоя; p = p(r, t) — давление в жидкости; ρ, µ, æ — плотность, коэффициент динамической вязкостии коэффициент поверхностного натяжения жидкости, считающиеся неизменными; Pg (t), Pn — заданные давления в газе внутри полости, ограниченнойслоем жидкости, и вне слоя соответственно; K — константа, пропорциональная объему жидкого слоя V , равному 34 πK; tk — время окончания процесса.В приведенной математической модели (4.21) — уравнение неразрывности, (4.22) — проекция уравнения движения на ось r сферической системыкоординат, (4.23) — начальные условия, (4.24) — кинематические условияна внутренней и внешней поверхностях слоя, (4.25), (4.26) — динамическиеусловия на внутренней и внешней поверхностях слоя, (4.27) — условие неизменности объема слоя.4.3.
Численное решение системы уравнений математическоймодели4.3.1. Вывод дифференциального уравнения, моделирующегозакон изменения внутреннего радиуса R(t) слояУтверждение 1. ◮Поведение внутреннего радиуса R(t) расширяющегося жидкого слоя, удовлетворяющего системе (4.21) – (4.27), моделируетсяследующим дифференциальным уравнением:ṘṘ2 2 2h (h − 4h + 6) + 2 Am h(h2 − 3h + 3) =hR̈ +2RRAs (2 − h) Ap Φ+R2RR = R(t),1.◭h = h(R(t)) = 1 −(1 + RK3 )1/3=−Φ = Φ(Pg , Pn ),H = H(t) = R̂(t) − R(t).216Доказательство. ⊲ Уравнения неразрывности и движения в модели(4.21)–(4.27) допускают интегралы. Из уравнения неразрывности следует:u(r, t) =c(t).r2Функция c(t) определяется из кинематического условия (4.24)c(t) = Ṙ(t)R(t)2 ,что позволяет записать выражение для поля скорости в жидком слоеu(r, t) = R(t)2 Ṙ(t)/r2 .(4.28)Используя это выражение, запишем уравнение движения (4.22) в терминахзакона изменения внутреннего радиуса R(t).Из соотношения (4.28) определяются выражения∂u(r,t)∂tи u(r, t) ∂u(r,t)в∂rследующем виде:∂u(r, t)= 2R(t)Ṙ(t)2 /r2 + R(t)2 R̈(t)/r2 ,∂t∂u(r, t)= R(t)2 Ṙ(t)/r2 (−2R(t)2 Ṙ/r3 ) = −2R4 Ṙ(t)2 /r5 .∂rОни позволяют записать уравнение движения (4.22) в виде:∂ p(r, t)2R(t)Ṙ(t)2 R(t)2 R̈(t) 2R(t)4 Ṙ(t)2+−=−.r2r2r5∂rρu(r, t)Проинтегрируем это уравнение по радиусу r в пределах от r = R(t) до r =R̂(t) и воспользуемся граничными условиями (4.25), (4.26).!Z R̂(t)2422R(t) R̈(t) 2R(t) Ṙ(t)2R(t)Ṙ(t)dr =+−2rr2r5R(t)=−ZR̂(t)R(t)∂∂rp(r, t)ρ−2R(t)Ṙ(t)2 R(t)2 R̈(t) R(t)4 Ṙ(t)2−+rr2r4dr ;r=R̂(t)r=R(t)r=R̂(t)p(r, t) =−;ρ r=R(t)217−2R(t)Ṙ(t)2R̂(t)R(t)2 R̈(t)−+R̂(t)2R(t)4 Ṙ(t)24R̂(t)42R(t)Ṙ(t)2++R(t)R(t)2 R̈(t) R(t)4 Ṙ(t)2Pn2æ++=−−−R(t)2R(t)4ρρR̂(t)+R(t)R̂(t)Обозначимвыражения.4µR2 Ṙ(t)ρR̂(t)3+2æ4µR(t)2 Ṙ(t)Pg (t).−−ρρR(t)ρR(t)3= ϕ(t), Pg (t) − Pn = Φ(t) и упростим запись полученногоṘ(t)2ϕ(t)4 Ṙ(t)22+ 2Ṙ(t) + R(t)R̈(t) −=−2ϕ(t)Ṙ(t) − ϕ(t)R(t)R̈(t) +22!!2Φ(t) 2æ111ϕ4µṘ(t)=+−−+.ρρ R̂(t) R(t)ρR̂(t) R(t)2После преобразований искомое дифференциальное уравнение принимаетвид2(1 − ϕ)R̈(t) + (1 − ϕ) Ṙ(t)=−ϕ = ϕ(t) =R(t)R̂(t)2 (ϕ24µ+ 2ϕ + 3)+ (1 − ϕ3 )Ṙ(t)=2R(t)ρR(t)22æΦ(t)(1+ϕ)+,ρR(t)2ρR(t)=1(1 +K 1/3R(t)3 ),(4.29)K = R̂(t)3 − R(t)3 .Введем характерные значения радиуса — rx , давления — px , времени — txи запишем уравнение (4.29) в безразмерном виде, сохранив для безразмерныхвеличин прежние обозначения.
В результате преобразований уравнение (4.29)приводится к следующему виду:Ṙ(t)Ṙ(t)2 2 2Am h(h2 − 3h + 3) =h (h − 4h + 6) +hR̈(t) +22R(t)R(t)=−As (2 − h) Ap Φ(t)+,R(t)2R(t)h = h(R(t)) = 1 − ϕ(t) = 1 −1(1 +K 1/3R(t)3 )(4.30)=H(t)R̂(t),(4.31)218Φ(t) = Pg (t) − Pn .(4.32)Точкой обозначено дифференцирование по времени; H(t) — безразмернаятолщина слоя; K — безразмерный объем слоя; Φ(t) — управляющая функция, связанная с режимом подачи газа. Безразмерные комплексы Am , As , Apхарактеризуют относительный вклад в динамику процесса сил вязкости, поверхностного натяжения и давления соответственно, они выражаются черезпараметры задачи и характерные величины по формулам4µtxAm =,ρrx22 æ t2xAs =,ρrx3px t2xAp = 2 ,ρrxK=3m,4πρrx3(4.33)m — суммарная масса жидкости.
⊳Для дифференциального уравнения (4.30) поставим задачу Коши с начальными даннымиR(0) = R0 ,Ṙ(0) = 0,(4.34)R0 − безразмерный начальный внутренний радиус слоя.4.3.2. Прямая и обратная задачи динамикирасширения жидкого слояПрямая и обратная задачи динамики расширения жидкого слоя формулируются следующим образом.Прямая задача состоит в решении задачи Коши (4.30), (4.34). Вней рассчитывается закон поведения внутреннего радиуса R(t) по заданной управляющей функции Φ(t) (4.32) при выбранных параметрах задачиµ, ρ, æ , K, R0 , Pn , tk на интервале времени [0, tk ], tk — безразмерное времяокончания процесса.Обратная задача заключается в расчете по заданному поведению внутреннего радиуса слоя R(t) управляющей функции Φ(t) из уравнения (4.30)при выбранном наборе параметров.Решение обратной задачи проще, чем прямой.
Оно исследовалось в циклеработ С. Н. Ивашевского и В. Н. Старкова, например [112]. На основе решения обратной задачи можно найти управляющую функцию Φ(t), теоретически обеспечивающую заданное поведение радиуса слоя R(t), т.е. реализующую требуемый закон расширения жидкого слоя. Однако оценить влияние219возможных отклонений реальных режимов подачи газа от оптимального наповедение оболочки можно только из решения прямой задачи.После того как найдено решение прямой задачи для уравнения (4.30),т.е.
найден закон поведения внутреннего радиуса R(t), можно полностью решить исходную гидродинамическую задачу, т.е. расcчитать поля скорости идавления в жидком слое в любой момент времени по интегралам уравненийнеразрывности и движения.4.3.3. Расчет полей скорости и давления в жидком слоеУтверждение 2. ◮ Поля скорости u(r, t) и давления p(r, t), удовлетворяющие системе (4.21)–(4.27), выражаются через внутренний радиус R(t)расширяющегося жидкого слоя по следующим формулам:u(r, t) = R(t)2 Ṙ(t)/r2 ,AsAm Ṙ(t)−−Ap R(t) Ap R(t)!4 !2Ṙ(t)2 + R(t)R̈(t)Ṙ(t)2R(t)R(t)+1−1−,Apr2Aprp(r, t) = Φ(t) + Pn −−r ∈ [R(t), R(t) + H(t)],t ∈ [0, tk ].
◭Доказательство. ⊲ Варажение для поля скорости u(r, t) следует из уравнениянеразрывности (4.21) и кинематического граничного условия (4.24). Оно былополучено выше (4.28) и имеет следующий вид:u(r, t) = R(t)2 Ṙ(t)/r2 .Для определения поля давления запишем уравнение движения (4.22) вформе Громеки–Лэмба, учитывая, что rot ū = 0∂u(r, t)2p(r, t)(∇ϕ(r, t)) + ∇+∇= 0.∂t2ρЗдесь ϕ(r, t) – потенциал скорости (ū(r, t) = ∇ϕ(r, t)). Как известно, дляпотенциального течения уравнение Эйлера имеет интеграл Лагранжа–Коши∂ϕ(r, t) u(r, t)2 p(r, t)++= F (t),∂t2ρ(4.35)220позволяющий найти поле давления p(r, t) в жидкости по полю скоростиu(r, t) и функции F (t).
Потенциал скорости ϕ(r, t) удовлетворяет равенству∂ϕ(r,t)∂r= u(r, t). Проинтегрируем это равенство в пределах от R(t) до r сучетом выражения для поля скорости (4.28) и кинематического граничногоусловия на внутренней поверхности расширяющегося слоя (4.24). В результате для потенциала скорости получим следующее выражение:11ϕ(r, t) = ϕ(R(t), t) + Ṙ(t)R(t)2−.R(t) r(4.36)Выразим давление в жидкости p(r, t) через функцию R(t) и ее производные. Для этого найдем функцию F (t) (которая не зависит от r), например,на внутренней поверхности слоя, записав левую часть интеграла Лагранжа–Коши при r = R(t) и воспользовавшись граничными условиями (4.24), (4.25)!2∂ϕ(r, t) 1Ṙ(t)∂u(r, t) 2æF (t) =+2µ.++P(t)−g∂t r=R(t)2ρ∂r r=R(t)R(t)Из соотношений (4.28), (4.36) определяются выражения∂u u2∂r , 2и∂ϕ∂tвследующем виде:Ṙ(t)2R(t)2 Ṙ(t) ∂u(r, t) =−2,(4.37)=−∂r r=R(t)r3R(t)r=R(t)∂ϕ(r, t) dϕ(r, t)11, (4.38)Ṙ(t)−Ṙ(t)2 +(2R(t)Ṙ(t)2 +R(t)2 R̈(t))=−∂tdR(t)R(t) rR(t)4 Ṙ(t)2u(r, t)2=.22r4Они позволяют записать функцию F (t) в виде4µ Ṙ(t) Pg (t)2æṘ(t)2 dϕ(r, t)F (t) = −Ṙ(t).+−−+ρ R(t)ρρR(t)2dR(t)(4.39)(4.40)Давление в жидком слое с учетом представлений (4.37)–(4.40) находится изинтеграла Лагранжа–Коши (4.35)14µ2æ122+− ρ(2R(t)Ṙ(t) + R(t) R̈(t))−p(r, t) = Pg (t) −Ṙ(t) −R(t)R(t)R(t) rρ11+ R(t)4 Ṙ(t)2.−2R(t)4 r4221Запишем выражение для давления в слое жидкости в безразмерном виде,используя характерные величины, безразмерные комплексы (4.33) и управляющую функцию Φ(t) (4.32) (для безразмерных величин оставим прежниеобозначения)AsAm Ṙ(t)−−p(r, t) = Φ(t) + Pn −Ap R(t) Ap R(t)2+Ṙ(t)2Ap1−R(t)r4 !,22Ṙ(t) + R(t)R̈(t)Apr ∈ [R(t), R(t) + H(t)],!R(t)1−+rt ∈ [0, tk ].
⊳(4.41)Полученные формулы (4.28), (4.41) дают полное решение гидродинамической задачи расчета полей скорости u(r, t) и давления p(r, t) в жидком слоепо найденному решению прямой задачи, т.е. по функции R(t).Выбор управляющей функции Φ(t)Для решения прямой задачи необходимо выбрать управляющую функцию Φ(t). Для этого зададимся одним из возможных законов поведения внутреннего радиуса R(t) и решим обратную задачу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
