Диссертация (1145283), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Двухстадийной L1-устойчивой схеме Розенброка–Ваннера.4.3.5.3. Двухстадийной L1-устойчивой схеме Розенброка.4.3.5.4. Двухстадийной A-устойчивой схеме Розенброка.4.3.5.5. Одностадийной L1-устойчивой схеме Розенброка.4.3.5.7. Комплексной одностадийной L2-устойчивой схеме.
Розенброка4.3.5.8. Комплексной одностадийной L2-устойчивой схеме Новикова.4.3.5.2. Двухстадийная L1-устойчивая схема Розенброка–ВаннераЭта схема решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.48) параграфа 4.3 главы 4 записывается в видеz(tn+1 ) = z(tn ) + τ (b1 k1 + b2 k2 ),!R,z=yгде τ , n — величина и номер шага по времени; b1 , b2 — коэфициенты схемы;векторы k1 , k2 определяются реккурентно из решения системы двух линейных алгебраических уравнений[E − τ afz∗ ]k1 = f (tn + τ a1 , z(tn )),[E − τ afz∗ ]k2 = f (tn + τ a2 , z(tn ) + τ a21 k1 ) + τ fz∗ c21 k1 ,!G (y(t)),f=F (R(t), y(t), t)y(t)2h(t)(h(t)2 − 4h(t) + 6)−G = y(t), F (R, y, t) = −2R(t)−As (2 − h(t))Ap Φ(t)y(t)2A(h(t)−3h(t)+3)−+.mR(t)2h(t)R(t)2h(t)R(t)319где E — единичная матрица, a, a1 , a2 , a21 , c21 — коэффициенты схемы.Это монотонная схема 2-го порядка точности имеет оптимальную структуру остаточного члена аппроксимации.Здесь и в приведенных далее алгоритмах используется матрица Якобисистемы fz (4.49) параграфа 4.3 главы 4.
В этой схеме матрица Якоби определена равенствомfz∗ = fz (tn + cτ, z(tn )),c - коэффициент схемы.Вычисления проводятся при следующих коэффициентах, определяющихуказанные свойства схемы:√1(5 − 3 2), a=1+ √ ,b2 = 1 − b1 =142r√√(2 + 2)10, a21 =+ 2 2,a1 =63√√( 34 + 2)12a2 = − √ , c21 = −11 − 8 2 − a21 , c = +.3 (3a21 − 2)2В таблице 1 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времени τ = 10−5 .Здесь ∆R1 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значения радиусаR(t) от его точного значения.Таблица 1t0,000150,000300,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R1 -6,02e-13 -2,50e-11 -0,2067 -0,8472 -1,4873–Из таблицы видно, что эта схема достаточно быстро дает срыв счета.Черта в таблице означает, что расчеты до указанного в этом столбце временине проводились.4.3.5.3.
Двухстадийная L1-устойчивая схема РозенброкаВычисления проводятся по схеме описанной в пп. 4.3.5.2. Эта схема имеет второй порядок аппроксимации по τ . Cхема обладает оптимальной структурой320остаточного члена аппроксимации. Векторы k1 , k2 определяются реккурентно из решения системы двух линейных алгебраических уравнений[E − τ a11 fz (tn + τ c1 , z(tn ))]k1 = f (tn + τ a1 , z(tn )),[E − τ a22 fz (tn + τ c2 , z(tn ) + τ c21 k1 )]k2 = f (tn + τ a2 , z(tn ) + τ a21 k1 ).Для обеспечения вышеуказанных свойств схемы коэффициенты b1 , b2 ,a11 , a22 , a21 , c21 рекомендуется брать равнымиb2 = 1 − b1 =√1(5 + 3 2),141a11 = a22 = 1 − √ ,2√11a1 = (2 − 2), a2 = √ ,62√√11c21 = − (430 − 307 2), c1 = c2 = (1 + 2 2).66В таблице 2 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времени√a21 = −(11 − 8 2),τ = 10−5 .
Здесь ∆R2 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.Таблица 2t0,000150,00030 0,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R2 4,66e-12 5,63e-12 -0,2066-0,8649-1,5547–4.3.5.4. Двухстадийная A-устойчивая схема РозенброкаЭта схема 3-го порядка точности. Вычисления проводятся по вышеописанной схеме 4.3.5.3 при следующих коэффициентах, определяющих указанные свойства схемы:1b2 = b1 = c1 = c2 = ,2a11 = a22√(3 + 3)= a1 =,6√(3 − 3)1a2 = c21 =, a21 = − √ .63В таблице 3 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 .
Здесь ∆R3 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.321t0,000150,00030Таблица 30,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R3 -6.06e-13 -1.39e-11 -0,2062-0,8453-1,4972–4.3.5.5. Одностадийная L1-устойчивая схема РозенброкаЭта схема решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.48) параграфа 4.3 главы 4 записывается в видеz(tn+1 ) = z(tn ) + τ b1 k1 .Это монотонная схема 1-го порядка точности имеет оптимальную структуруостаточного члена аппроксимации. b1 – коэфициент схемы; вектор k1 определяется из решения линейного алгебраического уравнения[E − τ a11 fz (tn + τ c1 , z(tn ))]k1 = f (tn + τ a1 , z(tn )).Дляобеспечениявышеуказанныхсвойствсхемыкоэффициентыb1 , a11 , a1 рекомендуется брать равнымиb1 = 1,a11 = 1,1a1 = .2Коэффициент c1 – произвольный (расчеты проводились при c1 = 0.В таблице 4 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 .
Здесь ∆R4 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.Таблица 4t0,000150,00030 0,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R4 6,99e-12 1,23e-11 -0,2067-0,8649-1,5547–4.3.5.7. Комплексная одностадийная L2-устойчивая схемаРозенброка322Вычисления проводятся по схеме описанной в пп. 4.3.5.6 главы 4.
Схемамонотонная, имеет второй порядок аппроксимации по τ . Комплексный векторk определяется из решения уравнения[E −τ1+iτ fz (tn , z(tn ))]k = f (tn + , z(tn )).22В этой схеме fz — матрица Якоби (4.49) в параграфе 3 пп. 3.4. главы 4 системы(4.48). В таблице 5 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 . Здесь ∆R5 — отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.t0,00015Таблица 50,00030 0,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R5 4,76e-12 5,86e-12 -0,2062-0,8647-1,5548–4.3.5.8.
Комплексная одностадийная L2-устойчивая схемаНовиковаВычисления проводятся по схеме описанной в пп. 4.3.5.6 главы 4. Схемамонотонная, имеет второй порядок аппроксимации по τ . Комплексный векторk определяется из решения уравнения[E − τ afz (tn + cτ, z(tn ) + c0 τ f (tn , z(tn )))]k == f (tn + τ a1 , z(tn ) + c1 τ f (tn , z(tn ))).В этой схеме fz – матрица Якоби ((4.49) в параграфе 4.3 пп. 3.4. главы 4 системы (4.48). Коэффициенты, обеспечивающие указанные свойства системы,имеют следующие значения:a=1+i,21c0 = ,32c= ,31a1 = ,2c1 = 0.В таблице 6 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 .
Здесь ∆R6 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.323Таблица 6t0,000150,000300,50000 1,00000 1,50000 56,8850∆R6 -4,63e-13 -1,39e-11 -0,2065-0,7900-1,4772–.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
