Диссертация (1145283), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Произвол в выборе законаизменения радиуса R(t) ограничен следующими требованиями:1. За заданный ограниченный интервал времени tk радиус слоя должен достичь заданных размеров. (Обычно величина интервала tk мала.)2. Из технологических соображений должны выполняться условияṘ(0) = Ṙ(tk ) = 0.Рассматривались разные допустимые законы поведения R(t). Здесь приведены результаты для следующего закона изменения внутреннего радиусаR(t) слоя:R(t) = 1 + 1 − exp(−(a1 t)2 ) (a2 th(a3 t)).(4.42)В правой части выражения (4.42) множитель 1 − exp(−(a1 t)2 ) быстростановится равным единице, смысл его введения состоит в том, чтобы обеспечить выполнение начальных условий Ṙ = 0 при t = 0.222Рисунок 4.5 – Закон изменения R(t) при t ∈ [0, 1] (а) и t ∈ [1, 120] (б).При a1 = 2.147; a2 = 74.375; a3 = 0.025 график поведения R(t) представлен на рисунке 4.5.На рисунке 4.6 представлен вид управляющей функции Φ(t), соответствующий такому поведению внутреннего радиуса R(t).Заметим, что схема решения задачи, основные выводы работы (утверждения 3, 4, выводы 2, 7 и утверждения 5, 6) верны и для других допустимыхзаконов поведения радиуса R(t).Рисунок 4.6 – Закон изменения Φ(t) при t ∈ [0, 1] (a) и t ∈ [1, 120] (б).Решение обратной задачи позволяет по заданным допустимым законамR(t) выбирать соответствующие режимы подачи газа.
Режим, приводящийк разрыву жидкого слоя, считается недопустимым. Математически ситуацияразрыва слоя в данной задаче эквивалентна возникновению в жидкости отрицательного давления. Найденное решение позволяет сформулировать ограничения на вид управляющей функции Φ(t) и параметры Am , As , Ap , K, прикоторых не возникает отрицательных давлений в слое расширяющейся жидкости.Утверждение 3. ◮ Необходимое условие допустимости выбранного223управления имеет видRp(R, t) = Pn +ApṘ2 2 2hR̈ +h (h − 4h + 6)2R∀t ∈ [0, tk ],R = R(t, Φ(t)),!Am ṘR2As−+> 0,b3bAp RAp Rr ∈ [R, K + R3R̂ = R̂(t),1/3],h = h(t). ◭Доказательство. ⊲ В прямой задаче управляющая функция Φ(t) считается известной (4.32). Из решения уравнения (4.30) находится R =R(Φ(t), K, Am , As , Ap ) в каждый момент времени.
При этом выражение длядавления (4.41) в жидком слое можно записать в виде зависимостиp(r, t) = p(r, Φ(t), K, Am , As , Ap ).(4.43)Необходимым условием допустимости управляющей функции Φ(t) является отсутствие в слое отрицательных давлений. Это требование записывается в виде неравенстваp(r, Φ(t), K, Am , As , Ap ) > 0в областиt ∈ [0, tk ],r ∈ [R(t), K + R(t)3(4.44)1/3].(4.45)Для качественной оценки достаточно выяснить условия, к которым приводит требование положительности давления, например, на внутренней поверхности слоя.
Это условие является необходимым, но не достаточным условием допустимости выбранного управления и условий проведения процесса.В конечном счете допустимость режима должна быть подтверждена, конечно, во всей области (4.45). Запишем неравенство (4.44) на внутренней границе слоя.
Выражение для давления p(r, t) (4.43) найдено выше (4.41). В неговходит функция Φ(t) (4.32), которая в прямой задаче считается известной.Чтобы получить искомую оценку для давления, поступим следующим образом. Найдем Φ(t) из решения обратной задачи, а именно, зададимся закономR(t), например,(4.42), и определим Φ(t) из уравнения (4.30):Ṙ(t)2R(t)h(t)R̈(t) +h(t)2 h(t)2 − 4h(t) + 6 +Φ(t) =Ap2R(t)224 As (2 − h(t))Ṙ(t)2+Am h(t) h(t) − 3h(t) + 3 +.R(t)2R(t)2При этом значении Φ(t) неравенство (4.44) на внутренней поверхности слояпримет видPn +R(t)Ap+2h(t)R̈(t) +Ṙ(t)h(t)2 h(t)2 − 4h(t) + 62R(t)!+(4.46)AsAm Ṙ(t)(t) (h(t) − 1)3 +(1 − h(t)) > 0,Ap RAp R(t)где h задано формулой (4.31).Равенства1 − h(t) =R(t)R̂(t), h(t) =R̂(t) − R(t)R̂(t)позволяют записать неравенство (4.46) следующим образом:p(R, t) = Pn +R(t)Ap−!2hR̈(t) +Ṙ(t)h(t)2 (h(t)2 − 4h(t) + 6) −2R(t)Am Ṙ(t)R(t)2b 3Ap R(t)!+As> 0.bAp R(t)(4.47)Таким образом найдено необходимое условие допустимости выбранногоуправления Φ(t).
⊳Неравенство (4.47) позволяет оценить роль сил вязкости, поверхностногонатяжения и внешнего давления в динамике расширения жидкого слоя. Проведенные расчеты для различных величин Am , As при условии Pn = 0 показали, что удовлетворить требованию p(r, t) > 0 возможно только при абсурдныхс физической точки зрения коэффициентах вязкости µ < 0.238·10−3 (Н·с\м2 )и поверхностного натяжения æ > 0.47 (Н\м), или при очень большом значении времени процесса расширения, недопустимом по технологическим соображениям.На рисунке 4.7 приведена зависимость p(t) на внутренней поверхностислоя жидкости при Pn = 0, Am = 33332.67, As = 16.66.
Эти величины безразмерных комплексов соответствуют значениям æ и µ, представляющим практический интерес.225Рисунок 4.7 – p(t) на внутренней поверхности слоя жидкости слоя жидкостипри Pn = 0.Из рисунка 4.7 следует, что режим не допустим, т.к. приводит к появлению отрицательных давлений. Как показали исследования, ситуация можетбыть исправлена за счет введения противодавления вне слоя, т. е. при условииPn > 0.Рисунок 4.8 – p(t) на внутренней поверхности слоя жидкости слоя жидкостипри Pn = 0.9.На рисунке 4.8 представлена зависимость p(t) для тех же значений µ, æ ,что и на рисунке 4.7, но при Pn = 0.9.
Из него следует, что давление на внутренней поверхности слоя не становится отрицательным на всем интервале tk ,т. е. такой режим теретически допустим. Представленные на рисунках 4.7,4.8 расчеты служат иллюстрацией важного вывода о роли противодавленияPn в исследуемых задачах расширения жидкого слоя.Анализ неравенства (4.47) позволяет высказать практические рекомендации по выбору материалов и условий проведения процесса.
Оно демонстри-226рует влияние изменений коэффициентов вязкости, поверхностного натяжения и противодавления Pn на давление (4.47). Первое и четвертое слагаемыев неравенстве (4.47) всегда положительны. Они отвечают за противодавление и силы поверхностного натяжения, соответствено. Второе характеризуетвклад сил инерции и в разные моменты времени может быть как положительным, так и отрицательным. Третье — всегда отрицательно и отвечаетза вклад сил вязкости. Это дает возможность сформулировать следующиерекомендации:• из всех материалов с необходимыми реологическими свойствами предпо-чтительнее те, у которых минимально возможная вязкость и максимально возможный коэффициент поверхностного натяжения;• следует обеспечить максимально допустимое противодавление Pn в газо-вой фазе искусственной оболочки за бортом космического летательногоаппарата.4.3.4.
Анализ дифференциального уравнения, моделирующегозакон изменения радиуса R(t) слояИсследование задачи Коши (4.30), (4.34) показало, что она обладает широким спектром вычислительных трудностей. Свойства уравнения (4.30) зависят от значений безразмерных комплексов Am , As , Ap , K и от выбраннойуправляющей функции Φ(t). Для большинства рассмотренных параметровзадачи, представляющих практический интерес, это нелинейное неавтономное обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка являетсяжестким.
Оно содержит функциональный параметр h = h(R(t)) (4.31), зависящий от искомой функции R(t). Этот функциональный параметр h, стоящийперед старшей производной, при t −→ tk стремится к нулю, т.к. по мере рас-ширения толщина жидкого слоя H(t) быстро уменьшается (рисунок 4.9), авеличина внешнего радиуса R̂(t) растет. Поэтому при t −→ tk перед старшейпроизводной появляется малый функциональный параметр h(t) и уравнение(4.30) становится подобно сингулярно возмущенному.Поведение функции h(t) при выбранном законе изменения внутреннегорадиуса R(t) (4.42) представлено на рисунке 4.10.227Рисунок 4.9 – Изменение толщины слоя H(t) жидкого слоя: при t ∈ [30, 120](а); на всем интервале времени при t ∈ [0, 120] (б).Рисунок 4.10 – Поведение функции h(t) при t ∈ [20, 120] (а); на всеминтервале времени при t ∈ [0, 120] (б).Покажем, что и в начале процесса, когда параметр h(t) еще не мал,дифференциальное уравнение (4.30) является жестким.
Для этого разрешимуравнение (4.30) относительно старшей производной и запишем его в видеэквивалентной системы двух обыкновенных дифференциальных уравненийпервого порядка.(Ṙ(t) = G (R(t), y(t), t) = y(t),ẏ(t) = F (R(t), y(t), t) .y(t)y(t)2h(t)(h(t)2 − 4h(t) + 6) −Am (h(t)2 − 3h(t) + 3)−F (R, y, t) = −22R(t)R(t)As (2 − h(t))Ap Φ(t)+.h(t)R(t)2h(t)R(t)Запишем эту систему в векторной форме−z(t) =R(t)y(t)ż = f (z, t),!,f=(4.48)G (y(t))F (R(t), y(t), t)!,228z(0) =R00!.Аппроксимируем неавтономную нелинейную систему (4.48) на малых интервалах времени △t линейной системойż ≃ fz (zn , tn )z,t ∈ [tn , tn + ∆t],fz (zn , tn ) — постоянная на этом интервале времени матрица Якоби, равная!0 1∂F∂F, Fy =.(4.49), FR =fz =∂R∂yFR FyСобственные числа λ1 , λ2 матрицы fz равныλ1,2 (t) =Fy± (Fy2 /4 + FR )1/2 .2Зададим характерные значения параметров задачи:Am = 3332.67,As = 16.66,K = 84.38,Ap = 20447.55,(4.50)tk = 120.Исследуем поведение собственных чисел матрицы Якоби fz .
Расчеты пока-Рисунок 4.11 – Поведение λ1 : при t ∈ [0.5] (а); при t ∈ [0, 120] (б).зали, что собственные числа λ1 , λ2 на всем интервале [0, tk ] вещественны иразличны. Поведение λ1 , λ2 представленно на рисунках 4.11, 4.12.Из приведенных рисунков следует, что в начале процесса одно из собственных чисел матрицы Якоби имеет большое отрицательное значение, адругое – положительное, близкое к нулю. Спектральное число обусловленности матрицы Якоби (4.49) для рассмотренных параметров задачи, представляющих практический интерес, в начале процесса велико и составляет229Рисунок 4.12 – Поведение λ2 : при t ∈ [0, 5] (а); при t ∈ [0, 120] (б).величину порядка 104 . Как известно [115], [116], это свидетельствует о жесткости системы (4.48).В конце процесса собственные числа становятся малыми и близкими помодулю, однако, система (4.48) продолжает оставаться жесткой в силу появления малого функционального параметра h(t) перед старшей производной.Возникает ситуация типичная для жестких систем: на разных участкахинтегрирования свойства системы оказываются различными, что приводитк необходимости использования различных вычислительных алгоритмов наразных этапах решения жесткой системы обыкновенных дифференциальныхуравнений.4.3.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
