Диссертация (1145283), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Методы решения жестких систем обыкновенныхдифференциальных уравнений. Решение прямой задачи в началепроцесса расширения жидкого сферического слояКак известно, жесткие системы обыкновенных дифференциальных уравнений трудны для численного решения. При построении разностных схем таких систем предъявляются повышенные требования устойчивости, а именно,A-устойчивость, Lp-устойчивость и др.
[117]–[119]. К настоящему времени накоплен большой опыт решения жестких систем [118]–[123], [140], [141], [189],[190], однако предсказать заранее, какая именно из вычислительных схем окажется эффективной для рассматриваемой нелинейной задачи, затруднительно [124]. Наши исследования [125]–[128] подтвердили трудность выбора оптимальной вычислительной схемы для решения жесткого нелинейного неавтономного дифференциального уравнения (4.30). Задача выбора облегчаласьналичием точного аналитического решения уравнения (4.30) для некоторых230заданных функций Φ(t). Поэтому была возможность сравнения результатовчисленного решения по той или иной вычислительной схеме с точным решением задачи в ряде случаев. Были рассмотрены различные алгоритмы решения этой жесткой системы: метод типа предиктор — корректор (предложенный Рычковым А.
Д. [130]), чисто неявная схема, а также вещественные икомплексные схемы Розенброка, Ваннера, Новикова, предложенные в обзорной работе Н. Н. Калиткина и С. Л. Панченко о выборе оптимальных схемдля решения жестких неавтономных систем [124]. На основе этих схем былсоздан комплекс программ решения жестких нелинейных неавтономных дифференциальных уравнений.Приведем вычислительные алгоритмы и расчеты по ним уравнения(4.30) на начальном этапе процесса расширения жидкого слоя.Вещественные одношаговые двухстадийные явно-неявные схемыУравнение (4.30) и система (4.48) эквивалентны.
Одношаговая вещественная двухстадийная явно-неявная схема решения системы обыкновенныхдифференциальных уравнений (4.48) записывается в виде:z(tn+1 ) = z(tn ) + τ (b1 k1 + b2 k2 ),!Rz=,y(4.51)где τ , n — величина и номер шага по времени; b1 , b2 — коэфициенты схемы;векторы k1 , k2 определяются реккурентно из решения системы двух линейных алгебраических уравнений, соответствующей конкретному типу схемы.Используются коэффициенты, позволяющие удовлетворить ряду требований.Некоторые из этих требований, например, аппроксимация и A-устойчивостьявляются необходимыми.
Другие (Lp-устойчивость, монотонность, оптимальность остаточного члена аппроксимации) лишь желательны. Напомним, чтоA-устойчивость устанавливается на линейных однородных задачах с постоянными коэффициентами:dz= λz, λ = const,dtz(0) = z0 .231Схемы рассматриваемых ниже типов и многие другие приводят на такихзадачах к соотношениямez(tn+1 ) = z(tn )R(ξ),ξ = λτ,eгде R(ξ)— функция устойчивости.e Схема A-устойчива, если R(ξ) ≤ 1 при Re ξ ≤ 0.eСхема Lp-устойчива, если она A-устойчива и R(ξ)= O(ξ −p ), p > 0 при|ξ| → ∞ и Re ξ < 0.eСхема монотонна, если 0 < R(ξ)< 1 при вещественном ξ < 0.Форма остаточного члена аппроксимации имеет оптимальную струк-туру, если содержит единственную комбинацию ψ = const · τ n (fu )n−1 [124].Расчеты по всем приведенным далее схемам проводились при следующихбезразмерных значениях параметров задачи, представляющих практическийинтерес:R0 = 1,Am = 3332.67,Rk = 75,As = 16.66,tk = 120,Ap = 20447.55,K = 84.38.Численные расчеты задачи Коши (4.30), (4.34) сравнивались с известнымточным решением этой задачи при управляющей функции Φ(t), рассчитаннойпо выбранному закону (4.42):Ṙ(t)2R(t)h(t)R̈(t) +h(t)2 h(t)2 − 4h(t) + 6 +Φ(t) =Ap2R(t) As (2 − h(t))Ṙ(t)2.Am h(t) h(t) − 3h(t) + 3 ++R(t)2R(t)2Шаг по времени был найден в результате численного эксперимента.
Величина шага не превышала величины обратно пропорциональной максимальному (по t) числу обусловленности матрицы Якоби (4.49) системы (4.48) исоставляла величину τ ≤ 10−5 . Дальнейшее уменьшение шага не приводилок существенному выигрышу в расчетах, а лишь увеличивало время счета.Были проведены расчеты по следующим известным схемам: по двухстадийной A-устойчивой схеме Розенброка–Ваннера, по двухстадийной L1устойчивой схеме Розенброка–Ваннера, по двухстадийной L1-устойчивой схе-232ме Розенброка, по двухстадийной A-устойчивой схеме Розенброка, по одностадийной L1-устойчивой схеме Розенброка, по комплексной одностадийной L2устойчивой схеме Розенброка–Ваннера, по комплексной одностадийной L2устойчивой схеме Розенброка, по комплексной одностадийной L2-устойчивойсхеме Новикова, по неявной схеме, по A-устойчивой схеме типа предиктор–корректор.
Проведенные расчеты показали, что для исследуемой задачи ниодна из перечисленных схем не привела к успеху. Приведем в качестве примера расчеты по четырем из перечисленных схем, расчет по остальным схемамперенесен приложение C.4.3.5.1. Двухстадийная A-устойчивая схема Розенброка–ВаннераЭта схема решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.48) записывается в виде (4.51) и имеет третий порядок аппроксимациипо τ . Векторы k1 , k2 определяются реккурентно из решения системы двухлинейных алгебраических уравнений[E − τ afz∗ ]k1 = f (tn + τ a1 , z(tn )),[E − τ afz∗ ]k2 = f (tn + τ a2 , z(tn ) + τ a21 k1 ) + τ fz∗ c21 k1 ,!G (y(t)),f=F (R(t), y(t), t)y(t)2h(t)(h(t)2 − 4h(t) + 6)−G = y(t), F (R, y, t) = −2R(t)y(t)As (2 − h(t))Ap Φ(t)Am (h(t)2 − 3h(t) + 3) −+.22R(t)h(t)R(t)h(t)R(t)где E — единичная матрица, a, a1 , a2 , a21 , c21 — коэффициенты схемы.−Здесь и в приведенных далее алгоритмах используется матрица Якобисистемы fz (4.49).
В этой схеме матрица Якоби определена равенствомfz∗ = fz (tn + cτ, z(tn )),c - коэффициент схемы.233Для обеспечения вышеуказанных свойств схемы коэффициенты b1 , b2 , a,a1 , a2 , a21 , c21 , c рекомендуется брать равными [124]r√(3 + 3)21, a21 =,b1 = b2 = , a = a1 =263r√√√−(1 + 2)2 1(3 − 3)3√, c21 =)., c = + (1 + 3)(1 +a2 =63 323Алгоритм этой вычислительной схемы вошел в комплекс программ.В таблице 4.1 приведены расчеты по этой схеме. Здесь ∆R1 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значения радиуса R(t) от его точногозначения.Таблица 4.1t0.000150.000300.50000 1.00000 1.50000 56.8850∆R1 -6.05e-13 -1.39e-11 -0.2060-0.7923-1.4748–Из таблицы видно, что эта схема достаточно быстро дает срыв счета.Черта в таблице означает, что расчеты до указанного в этом столбце временине проводились.4.3.5.6.
Комплексная одностадийная L2-устойчивая схемаРозенброка–ВаннераЭта схема решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений (4.48) записывается в виде:z(tn+1 ) = z(tn ) + τ Re(k)z=Ry!,где τ , n — величина и номер шага по времени; Re — вещественная частькомплексного вектора; комплексный вектор k определяется реккурентно изрешения уравнения, соответствующего конкретному типу схемы.234Схема имеет второй порядок аппроксимации по τ .
Она монотонная, имеет оптимальную структуру остаточного члена аппроксимации. Комплексныйвектор k определяется из решения уравнения(E − τ afz∗ )k = L,L = bf (tn +τ a1 , z(tn )+c1 τ f (tn , z(tn )))+(1−b)f (tn +τ a2 , z(tn )+c2 τ f (tn , z(tn )))−−c3 τ fz∗ f (tn + τ a3 , z(tn ) + c4 τ f (tn , z(tn ))),!G (y(t))f=,F (R(t), y(t), t)y(t)2h(t)(h(t)2 − 4h(t) + 6)−G = y(t), F (R, y, t) = −2R(t)As (2 − h(t))Ap Φ(t)y(t)2A(h(t)−3h(t)+3)−+.mR(t)2h(t)R(t)2h(t)R(t)В этой схеме матрица Якоби fz (4.49) определена равенством−fz∗ = fz (tn + cτ, z(tn ) + c0 τ f (tn , z(tn ))).Коэффициенты, обеспечивающие указанные свойства системы, имеютследующие значения [124]:a=1+i,21b= ,4a1 = c1 = 1,1a2 = c0 = c2 = ,3112a3 = , c3 = , c4 = 0, c = .623В таблице 4.2 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 . Здесь ∆R2 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.Таблица 4.2t0.000150.000300.50000 1.00000 1.50000 56.8850∆R2 -6.65e-13 -1.43e-11 -0.2067-0.8649-1.5546–2354.3.5.9.
Неявная схемаУравнение (4.30) и система (4.48) эквивалентны. Разрешим уравнение(4.30) относительно R̈:R̈(t) + Ṙ(t)Ṙ(t)2h(t) h(t)2 − 4h(t) + 6 +Am (h(t)2 − 3h(t) + 3) =22R(t)R(t)=−Ap Φ(t)As (2 − h(t))+h(t)R(t)2h(t)R(t)и запишем его в видеR̈(t) + Ṙ(t)2 f1 (R(t)) + Ṙ(t)f2 (R(t)) = f3 (R(t), t) ,(4.52)h(t) h(t)2 − 4h(t) + 6Am2h(t)−3h(t)+3,, f2 (R(t)) =f1 (R(t)) =2R(t)R(t)2As (2 − h(t))Ap Φ(t)f3 (R(t), t) = −+,h(t)R(t)2h(t)R(t)1h = h(R(t)) = 1 −.(1 + RK3 )1/3Для уравнения (4.52) запишем чисто неявную схему второго порядкаапроксимации по τ (τ — шаг по времени ).Rn+1 − 2Rn + Rn−1 + (Rn+1 − Rn−1 )2 f1 (Rn+1 )/4++(Rn+1 − Rn−1 )τ f2 (Rn+1 )/2 = τ 2 f3 (Rn+1 , tn+1 ).Это нелинейное алгебраическое уравнение относительно Rn+1 можно представить в видеW (Rn+1 , tn+1 ) = 0и решить итерационным методом, например методом Ньютона.
Величинаs+1sRn+1на (s + 1)-ой итерации определяется по известной величине Rn+1на(s)-ой итерации из уравненияs+1ssRn+1= Rn+1− W (Rn+1)dWdRn+1.sRn+1Условием окончания итерационного процесса служит выполнение неравенстваW (Rs+1 ) < ε,n+1236ε — заданная малая величина. Начальное приближение в методе Ньютонавыбиралось по формуле линейной экстраполяции из решения в предыдущихмоментах времени.0= 2Rn − Rn−1 .Rn+1В таблице 4.3 приведены расчеты по этой схеме при шаге по времениτ = 10−5 .
Здесь ∆R3 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значениярадиуса R(t) от его точного значения.Таблица 4.3t0.000150.000300.500001.50000 13.85 23.00 56.8850∆R3 2.72e-12 2.35e-11 3.81e-05 1.28e-03 -0.10-1.62–Лучшие результаты показала следующая схема типа предиктор - корректор. Однако временные затраты при использовании этого метода в несколькораз превышали соответствующие затраты при расчетах по остальным схемам.4.3.5.10. A-устойчивая схема типа предиктор–корректорПо методу Рычкова А. Д. [130] решение задачи Коши для системы (4.48)ищется в 2 этапа.Первый этап (предиктор) состоит из расчета промежуточного вектораz̃n+1 по неявной схеме из следующей нелинейной системы:(z̃n+1 − zn )/τ = f (z̃n+1 , tn+1 ),которая решается итерационным методом Ньютона, обобщенным на нелинейные системы уравнений.Второй этап (корректор).
Вычисляется значение матрицы Якоби (4.49)f˜z = fz (z̃n+1 , tn+1 )по вектору z̃n+1 , найденному на первом этапе. Далее искомый вектор zn+1находится из следующей нелинейной системы:τ ˜(zn+1 − zn )/τ = E + fz f (zn+1 , tn+1 ),2237E — единичная матрица. Эта система также решается итерационным методомНьютона, аналогично системе первого этапа.Расчеты по этой схеме приведены в таблице 4.4.Таблица 4.4t0.000150.000300.500001.00000 13.85 23.00 25.60∆R4 8.87e-12 3.23e-11 2.59e-05 9.97e-06 -0.04-0.69-1.49Здесь ∆R4 – отклонение рассчитанного (по данной схеме) значения радиуса R(t) от его точного значения. Шаг по времени, как и в представленных выше схемах, составил величину τ = 10−5 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
