Диссертация (1145283), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Опуская достаточно громоздкие выкладки, выпишемего в первом приближении по δ(t):TR̂4 (t) ≃ Tc (t)3 {Tc (t) (1 + 4ε(t)) + 4ψ(t)H(t)2 (1 + 3ε(t))}.(4.103)Подставим аппроксимацию для профиля температуры T (r, t) (4.95) вграничное условие (4.80) и учтем равенство (4.100):∂T (r, t) R̂(t)−= −2ψ(t)(R̂(t) − R(t)) − a(TR (t) − T∗ ) =∂rR(t)R̂(t)= −2ψ(t)H(t) − a(1 + δ(t))(Tc (t) − T∗ ).(4.104)С учетом выражений (4.102), (4.103), (4.104), (4.95), (4.80) получим следующее представление для ψ(t):−2ψH(t) − a(1 + δ(t))(Tc (t) − T∗ ) = b(Tc (t)(1 + ε(t)) + ψ(t)H(t)2 − T ∗ )+260+γTc (t)3 {Tc (t)(1 + 4ε(t)) + 4ψ(t)H(t)2 (1 + 3ε(t))} + γ(T ∗ )4 =⇒(1 + δ)a(Tc − T∗ ) + bTc (1 + ε) − bT ∗ + γTc4 (1 + 4ε) − γ(T ∗ )4ψ=−,2H + bH 2 + 4H 2 γTc3 (1 + 3ε)ψ = ψ(t), Tc = Tc (t), H = H(t), ε = ε(t), δ = δ(t).Преобразуем это выражение с тем, чтобы явно записать зависимостьψ(t) от Tc (t), учитывая соотношения для δ(t) (4.91) и ε(t) (4.102).
Опускаяпромежуточные выкладки, выражение для искомой функции ψ(t) в первомприближении по δ(t) (4.91) получается в следующем виде:F4 (t) + Tc (t)F1 (t) + Tc3 (t)F2 (t) + Tc4 (t)F3 (t)ψ(t) ≃ −.F5 (t) + Tc3 (t)F6 (t) + Tc2 (t)F7 (t)(4.105)Здесь функции Fi (t) (i = 1, .., 7) аналитически выражаются черезR(t), R̂(t) и параметры задачи a, b, γ, T∗ , T ∗ по формулам:F1 (t) = aR̂(t)+ b + ab(R̂(t) − R(t)),R(t)F2 (t) = −4aγT∗ (R̂(t) − R(t)),F3 (t) = γ + 4aγ(R̂(t) − R(t)),F4 (t) = −aT∗R̂(t)− baT∗ (R̂(t) − R(t)) − bT ∗ + γ(T ∗ )4 ,R(t)F5 (t) = 2H(t) + bH(t)2 ,F6 (t) = 4H(t)2 γ(1 + 3aH(t)),F7 (t) = −12H(t)3 γaT∗ .Воспользуемсянайденнымиприближеннымивыражениямидляϕ(t), ψ(t) (4.99), (4.105) в уравнении динамики средней температуры(4.94).
Учтем граничное условие (4.80) и приближенное равенство (4.100). Врезультате получим:o3ν n2R̂(t) (−2ψ(t)H(t) − (1 + δ(t))a(Tc (t) − T∗ )) −Ṫc (t) = −K261−6ν3νR(t)2 a(Tc (t) − T∗ ) = ψ(t)H(t)R̂(t)2 +KK)(23R(t)R̂(t).−+3νa(Tc (t) − T∗ )R(t)KK(4.106)Преобразуем последнее слагаемое в этом выражении:()32R̂(t)R(t)R̂(t)3 − R(t)3−==R(t)KKR(t)K=1K=.R(t)KR(t)С учетом найденного выражения для ψ(t) (4.105) приходим к искомому приближенному уравнению динамики средней температуры Tc (t) (4.106) жидкого слоя на интервале (t∗ , tk ] с точностью до членов первого порядка малостипо δ(t). Оно имеет вид:m8 (t) m4 (t) + Tc (t)m1 (t) + Tc (t)3 m2 (t) + Tc (t)4 m3 (t)Ṫc (t) = −+m5 (t) + Tc (t)3 m6 (t) + Tc (t)2 m7 (t)(4.107)+Tc (t)m9 (t) + m10 (t).Функции mi (t) (i = 1, ..., 10) аналитически выражаются через R(t), R̂(t)и параметры задачи K, a, b, ν, γ, T∗ , T ∗ по формуламm1 (t) = a(1 + δ) + b(1 + aH(t)),m2 (t) = −4aγT∗ H(t),m3 (t) = γ(1 + 4aH(t)),m4 (t) = −a(1 + δ)T∗ − b(aH(t)T∗ + T ∗ ) + γ(T ∗ )4 ,m5 (t) = 2 + bH(t),m6 (t) = 4H(t)γ(1 + 3aH(t)),m7 (t) = −12H(t)2 γaT∗ ,m8 (t) = 6ν R̂(t)2 /K,m9 (t) = 3νa/R(t),262m10 (t) = −m9 (t)T∗ .
⊳Для дифференциального уравнения (4.107) ставится задача Коши с начальными даннымиTc (t∗ ) = TH .(4.108)В момент времени t∗ значение средней температуры (4.108) рассчитываетсячисленно в соответствии с определением Tc (t) (4.90) по массиву Tin+1 , най-денному из решения тепловой задачи на первом этапе для n = N .В общем случае обыкновенное дифференциальное уравнение (4.107) имеет достаточно громоздкий вид, но его решение не представляет принципиальной трудности, оно может быть найденно численно, например, методомРунге–Кутты.Алгоритм численного решения уравнения динамики средней температуры слоя включен в общий комплекс программ.4.5.4. Приближенное аналитическое решение ряда вариантовматематической модели тепловых процессов в расширяющемсяслое жидкостиВ ряде частных случаев обыкновенное дифференциальное уравнение(4.107) допускает аналитическое решение.В качестве примера рассмотрим задачу (4.77)–(4.80) при пренебрежимо малом теплообмене между жидкостью и газом на внутренней и внешнейповерхностях, т.
е. при a = b = 0 в уравнениях (4.79), (4.80), а также приT∗ ∼= 0:∂T = 0,∂r R(t)∂T 4= γT .− ∂r R̂(t)R̂(t)В таком варианте функции m1 (t)–m10 (t) в уравнении (4.107) равны:m1 = m2 = 0,m6 (t) = 4H(t)γ,m3 = γ,m4 = 0,m7 = m9 = m10 = 0,m5 = 2,m8 (t) = 6ν R̂2 (t)/K.263Дифференциальное уравнение (4.107) преобразуется следующим образом:Ṫc (t) = −f1 (t)Tc (t)4,1 + f2 (t)Tc (t)3(4.109)гдеf1 (t) = 3νγ R̂(t)2 /K,f2 (t) = 3γ(R̂(t) − R(t)).На втором этапе задачи величина f2 (t)Tc (t)3 удовлетворяет неравенствуf2 (t)Tc (t)3 ≪ 1,и в этом случае уравнение (4.107) допускает дальнейшее упрощение:Ṫc (t) = −3νγR̂(t)2 Tc4 ,KTc (t∗ ) = TH .(4.110)(4.111)Уравнение (4.110) с начальными условиями (4.111) легко интегрируется.В этом частном случае аналитическое решение задачи о поведении среднейтемпературы слоя на интервале (t∗ , tk ] имеет видTH,Tc (t) = p31 + 9TH3 νγξ(t)/KZ tR̂(x)2 dx.ξ(t) =t∗Функция поведения внешнего радиуса оболочки R̂(t) известна из решениягидродинамической части задачи.Вывод.
В главе 4 создана математическая модель сферически симметричного расширения слоя жидкости в условиях невесомости в рамках принятых допущений. Предложен алгоритм решения системы уравнений модели навсем интервале процесса расширения. Создан комплекс программ, позволивший рассчитать поведение внутреннего радиуса, полей скорости, давления итемпературы жидкого расширяющегося слоя.Анализ гидродинамической части задачи позволил сделать важные дляпрактики выводы по выбору допустимых материалов жидкого слоя и условий264проведения процесса расширения. В работе исследованы тепловые процессыв расширяющемся жидком сферическом слое. Решение тепловой задачи разделено на две части.
Для первой части предложен алгоритм численного решения тепловой задачи в подвижной и изменяющейся области. Для второйчасти найдено обыкновенное дифференциальное уравнение, моделирующееповедение средней (по слою) температуры. Приведено аналитическое решение этого уравнения для одного из вариантов граничных условий, представляющего практический интерес.Все перечисленные результаты являются новыми, основные из них, выносимые на защиту, получены автором и опубликованы в работах: [125], [127],[128], [137]–[139], [191].265ЗАКЛЮЧЕНИЕВ диссертации представлено исследование проблемы моделирования нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных сплошных средах. Созданные системы математических моделей, вычислительныеалгоритмы и программные комплексы направлены на научно обоснованноерешение двух крупных прикладных задач:1) задачи моделирования процесса транспортировки смеси газов по протяженным морским газопроводам при сверхвысоких давлениях с учетом рельефа трассы и динамики нарастания морского льда на внешней поверхностигазопровода;2) задачи выбора режимов расширения сферического слоя в технологии создания космических зеркал.Приведем основные результаты диссертационного исследования.1.
Представлен расчет термодинамических характеристик многокомпонентной смеси газов по уравнениям состояния Ли–Эрбара–Эдмистера, Пенга–Робинсона, Бенедикта–Вебба–Руббина, Бертло и Редлиха–Квонга; найденыаналитические зависимости внутренней энергии, удельных коэффициентовтеплоемкости и скорости звука от температуры и плотности многокомпонентной смеси газов для уравнения состояния Редлиха–Квонга; рассчитаны распределения давления, плотности и температуры в установившемся течениимногокомпонентной смеси газов при высоких давлениях для разных уравнений состояния, доказано, что расчеты с использованием уравнений состоянияПенга–Робинсона и Редлиха–Квонга в исследуемых диапазонах измененийтемпературы и давления практически совпадают.2.
Для любого уравнения состояния доказана идентичности подхода к моделированию термодинамических процессов с использованием в качестве независимых термодинамических переменных давления и температуры, в котором модель тепловых процессов записывается в терминах энтальпии и удельного коэффициента теплоемкости при постоянном давлении, подходу, в котором в качестве независимых термодинамических переменных используются266плотность и температура, в котором модель тепловых процессов записывается в терминах внутренней энергии и удельного коэффициента теплоемкостипри постоянном объеме.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
