Диссертация (1145283), страница 37

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 37)

В результате получим следующие системыуравнений:нулевое приближениеr0′′ (τ ) = 0,2Asb0 (t) =,Ap Φ(t)(4.66)(4.67)первое приближениеb̈0 (t) + 3Am ḃ0 (t)/b0 (t)2 − As /b0 (t)2.b1 (t) =6(Ap b0 (t)Φ(t) − As )/Rk3Уравнение для b1 (t) упрощается, если в знаменателе правой части учестьвыражения для b0 (4.67), а именно:b1 (t) = Rk3 (b0 (t)2 b̈0 (t) + 3Am ḃ0 (t) − As )/(6As b0 (t)2 ).(4.68)Общее решение дифференциального уравнения (4.66) имеет видr0 = C 1 τ + C 2 = C 1t+ C2 .δ(4.69)Константы C1 , C2 находятся по начальным данным (4.61):C1 = Ṙ∗ − ḃ0 (t∗ ) − δ ḃ1 (t∗ ),C2 = (R∗ − b0 (t∗ ) − t∗ C1 )/δ − b1 (t∗ ).(4.70)Функция b0 (t) (4.67) и ее производные ḃ0 (t), b̈0 (t), входящие в выражение дляb1 (t) (4.68), определяются безразмерными комплексами As , Ap и управляющей функцией Φ(t).

Таким образом, асимптотическое решение задачи Кошидля приближенного уравнения (4.58) в первом приближении по параметру δс точностью до членов первого порядка малости по η (4.63) имеет вид:R(t) = b0 (t) + tC1 + δ(C2 + b1 (t)),Ṙ(t) = ḃ0 (t) + C1 + δ ḃ1 (t). ⊳(4.71)245Формулы (4.67)–(4.71) представляют собой асимптотическое решениепрямой задачи (4.30), (4.34) на интервале времени [t∗ , tk ]. Они позволяютрассчитать радиус R(t) и его производную Ṙ(t) в любой момент времени t изинтервала [t∗ , tk ] по начальным данным (4.61).4.4.2. Выбор момента t∗ перехода к асимптотическому решениюЗаконность перехода к асимптотическим формулам (4.71) в расчетахR(t) и Ṙ(t) основана на выполнении следующих требований.1. Допустима замена решения точного уравнения (4.30) решением приближенного уравнения (4.58). При заданной точности ε∗1 для этого, как отмечалось выше (4.59), необходимо выполнение неравенства:∀ t ≥ taR(t) ≥ Ra ,в котором значения ta , Ra определены условиями (4.59), (4.60)R(ta ) = Ra =K3ε∗11/3.2.

Возможен переход от решения уравнения (4.58) к решению уравнения(4.65), при выводе которого предполагалась малость величины η на всеминтервале [t∗ , tk ].Зададимся малой величиной ε∗2 и потребуем выполнение следующегонеравенства:∀ t ∈ [t∗ , tk ]η(t) ≤ ε∗2 .(4.72)Асимптотическое решение задачи (4.71) позволяет записать явное выражение для функции η(t), а именно из формул (4.63), (4.67) следует:η(t) =R(t)Ap−1=R(t)Φ(t) − 1.b02As(4.73)Анализ поведения функций R(t) и Φ(t) позволяет утверждать, что дляфункций Φ(t), представляющих практический интерес, функция η(t), начиная с некоторого момента tb , является монотонно убывающей.

На рисунке2464.13 показано поведение функции η(t). (Значение функции на конечном интервале времени приведено на рисунке 4.13 (а).)Для t > tb , найдем момент t∗ по заданной величине ε∗2 из условия:η(t∗ ) =ApR(t∗ )Φ(t∗ ) − 1 = ε∗2 .2As(4.74)R(t∗ ) — рассчитывается из решения задачи на первом этапе.Рисунок 4.13 – Поведение функции η(t): при t ∈ [20, 120](а); на всеминтервале [0, 120](б).Для монотонно убывающей функции η(t) для всех моментов времениt ≥ t∗ гарантировано выполнение неравенства (4.72). В ходе решения прямойзадачи (4.30), (4.34) по заданным величинам точности ε∗1 , ε∗2 можно найти обамомента времени ta , t∗ из условий (4.59), (4.74).Асимптотическое решение (4.71) получено в предположении выполненияобоих требований, следовательно, момент перехода t∗ к асимптотическомурешению должен удовлетворять равенству:t∗ = max(ta , t∗ ).(4.75)Для заданного набора параметров µ, ρ, χ, K, Pn , R0 , tk и для каждойуправляющей функции Φ(t) допустимые значения точности ε∗1 , ε∗2 подбираются в ходе численного эксперимента или из анализа известного (из обратнойзадачи) решения.По предложенному алгоритму асимптотического решения задачи на втором этапе процесса расширения жидкого сферического слоя была составленна программа в среде Maple, вошедшая в комплекс программ решения задачи динамики жидкого сферического слоя.

Расчеты, проведенные по этойпрограмме, показали, что найденное приближенное асимптотическое решение247задачи для t ≥ t∗ с достаточной точностью совпадает с известным точнымрешением. Как отмечалось выше, для всех режимов расширения слоя конечный интервал [t∗ , tk ] оказался намного больше начального [t0 , t∗ ].В качестве примера приведем расчет ta и t∗ при следующих значенияпараметров ε∗1 и ε∗2 : ε∗1 = 10−2 , ε∗2 = 10−2 и при следующих значения безразмерных комплексов:Am = 3332.67,As = 16.66,Ap = 20447.55,K = 84.38.Рассчитанные для этого варианта параметров безразмерные величиныt∗ , ta и t∗ имеют следующие значения:ta = 5.25,t∗ = 57.65=⇒ t∗ = 57.65,(характерное время в расчетах полагалось равным: tx = 10с).4.4.3. Расчет обыкновенного дифференциального уравнения,моделирующего динамику расширения жидкого слоя, на всеминтервале времениПроведенные исследования позволили предложить алгоритм решениязадачи Коши для уравнения (4.30) с начальными данными (4.34) на всеминтервале процесса расширения жидкого слоя.

Решение предлагается проводить в два этапа.На первом этапе по начальным данным (4.34) на основе схемы 4.3.6., приведенной в параграфе 4.3, находится численное решение уравнения (4.30) иопределяется момент времени t∗ (4.75), начиная с которого допустим переходк асимптотическому решению задачи.На втором этапе по начальным данным R∗ , Ṙ∗ , полученным для момен-та t∗ из численного решения на первом этапе, в соответствии с алгоритмом(4.67)–(4.71) аналитически рассчитываются величины R(t) и Ṙ(t) на интер-вале [t∗ , tk ] второго этапа.Этот алгоритм решения задачи Коши (4.30), (4.34) позволил рассчитатьповедение внутреннего радиуса R(t) жидкого слоя для заданной управляющей функции Φ(t) для разных вариантов параметров, представляющих практический интерес в исследовании процесса расширения жидкого сферического слоя в условиях невесомости.2484.5.

Тепловые процессы в расширяющемся сферическом слоежидкости4.5.1. Математическая модель остывания сферического слояжидкостиКак отмечалось в первом параграфе, в исследуемом диапазоне температур и давлений плотность и вязкость используемого жидкого материала можно с достаточной точностью считать постоянными, что позволяет расщепитьобщую систему уравнений модели и решать гидродинамическую и тепловуючасти отдельно. При этом из решения гидродинамической части находятсяполя скорости u(r, t) (4.28) и давления p(r, t) (4.41) в жидком слое, после чего модель тепловых процессов в ньютоновской вязкой жидкости постояннойплотности, подчиняющейся закону теплопроводности Фурье, записывается ввиде:ρ(∂ε+ ū · ∇ε) = −div q̄ + τ : d,∂tε = cv T,q̄ = −λ grad T,∂T −λ∂r r=R̂(t)τ = −pI + 2µd.!− Tg ,= α T ∂T λ∂r r=R(t)= β T r=R̂(t)r=R(t)− Tn!+ ǫ∗ σ T 4 r=R̂(t)!− Tn4 ,T (r, 0) = const = T0 .Здесь ε — массовая плотность внутренней энергии жидкости; λ, µ, cv — коэффициенты теплопроводности, динамической вязкости и теплоемкости жидкости соответственно; q̄ — вектор потока тепла; T – температура в жидкомслое; I — единичный тензор; τ – тензор напряжения; d — тензор скоростейдеформации; ∇ — оператор Гамильтона; τ : d — свертка тензоров τ и d;ǫ∗ — коэффициент серости жидкости; α, β — коэффициенты теплообмена навнутренней и внешней поверхностях жидкого слоя соответственно; Tg , Tn –249заданные температуры газа внутри полости, ограниченной слоем жидкости,и вне слоя соответственно; σ — постоянная Стефана–Больцмана.Предполагаемая сферическая симметрия процесса расширения и остывания жидкого слоя (4.8), позволяет перейти к одномерной постановке тепловой задачи.

В сферической системе координат (r, θ, ϕ) уравнение балансавнутренней энергии ε = cv T сводится к одномерному тепловому уравнениюследующего вида:∂Tλ 1 ∂∂T2µ∂T2+u=r+∂t∂rρcv r2 ∂r∂rρcvT = T (r, t),∂u∂r2+2 u 2r!.(4.76)u = u(r, t).Утверждение 5. ◮Диссипативным механизмом! 222µ∂uu+2ρcv∂rru = u(r, t)в тепловом уравнении (4.76) в исследуемых задачах можно пренебречь.◭Доказательство. ⊲ Для поля скорости (4.28) u(r, t) = R(t)2 Ṙ(t)/r2 вжидком слое диссипативное слагаемое в тепловом уравнении (4.76) явно выражается через найденные функции R(t) и Ṙ(t):!!!2 2∂u2µ  ∂ R2 Ṙu 22µ+2=+2ρcv∂rrρcv∂rr212µ 2 2 1R Ṙ=, r ∈ [R, R + H].ρcvr6R = R(t), H = H(t), u = u(r, t).2R Ṙr3!2 =Расчет величины диссипации энергии для исследованных режимов понайденной зависимости R(t) доказывает, что второе слагаемое в правой части теплового уравнения много меньше первого слагаемого, т.е.

диссипативным механизмом в тепловом уравнении допустимо пренебречь в исследуемомдиапазоне изменений λ, µ, cv . ⊳250Запишем математическую модель тепловых процессов в безразмернойформе (штрихи опущены, для безразмерных величин сохранены прежниеобозначения).∂T (r, t)ν ∂∂T (r, t)+ u(r, t)= 2∂t∂rr ∂r2 ∂T (r, t)r,∂r(4.77)R(t)2 Ṙ(t),u(r, t) =r2t = 0 : T (r) = 1,r ∈ [R(0), R̂(0)],!∂T (r, t) t ∈ (0, tk ] := a T (r, t)− T∗ ,∂r r=R(t)r=R(t)!∂T (r, t) = b T (r, t)− T∗ +−∂rr=R̂(t)r=R̂(t)!− (T ∗ )4 .+γ T (r, t)4 (4.78)(4.79)(4.80)r=R̂(t)Безразмерные комплексы ν, a, b, γ выражаются через параметры задачии характерные величины tx , rx , Tx по формуламλtxν= 2 ,rx ρcvαrxa=,λβrxb=,λǫ∗ σrx Tx3γ=,λTnTg, T ∗ = , Tx = T0 ,TxTx∗где T∗ , T — безразмерные температуры газа внутри и вне слоя жидкостиT∗ =соответственно.Похожие задачи в упрощенной постановке рассматривались в работахВ.Н.

Характеристики

Список файлов диссертации