Диссертация (1145283), страница 28

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 28)

Поэтому ценность аналитических решений состоит в возможности с их помощью подтвердить достоверность и приемлемуюточность численных решений нелинейных систем дифференциальных уравнений в частных производных, которыми представлены модели Л1, ЛЛ иЛ2 в параграфах 2.4, 2.5, 2.6. Проведем это сравнение на примере расчетадинамики оледенения многослойного цилиндра. Выше было продемонстрировано совпадение результатов расчета по нестационарной модели ЛЛ и поее квазистационарному варианту ЛЛ.1 (таблицы 2.10, 2.12). В таблице 2.12представлен расчет методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности по уравнению (2.96) (модель ЛЛ.1) динамики оледенения многослойного цилиндра.

Втаблице 2.10 представлен расчет по нестационарной модели ЛЛ методом с явным выделением фронта оледенения. Как видно из сравнения этих таблиц,результаты практически совпадают. Приведем расчет этой же задачи в приближении тонкого слоя, для которого найдено аналитическое решение (2.101).172Конечно, в приближении тонкого слоя нельзя рассчитать весь процесс оледенения многослойного цилиндра, но для малых толщин нарастающего слояльда это приближение приемлемо.В таблице 2.28 приведены для одних и тех же условий задачи (наборпараметров 5), в одни и те же моменты времени (время указано в часах)толщины слоя льда y1 и y2 , рассчитанные по: y1 — по аналитическому решению (2.101), y2 — по численному решению уравнения (2.96). Как следует изтаблицы 2.28, вплоть до слоя льда толщиной 10 см расчеты практически совпадают.

Дальнейшее расхождение ожидаемо, поскольку по мере нарастанияльда слой перестает быть тонким, т.е. нарушается условие применимости приближения тонкого слоя, в рамках которого получено аналитическое решение(2.101). Этот пример подтверждает достоверность и приемлемую точностьчисленного решения как дифференциального уравнения (2.96), так и численного решения нелинейной систем дифференциальных уравнений в частныхпроизводных (2.53) – (2.63) модели ЛЛ.Таблица 2.28t, час 265.4 423.4 633.4917.41099.4 1323.4 1603.4 1947.4y1 , см 5.064 7.064 9.122 11.219 12.281 13.373 14.482 15.558y2 , см 5.030 7.005 9.010 11.010 12.003 13.006 14.004 14.950Заключение. Важным итогом проведенного в этой главе исследования задачи динамики оледенения многослойных цилиндрических областей вморской воде является вывод о допустимости использования в общей модели процессов транспортировки газа по морским газопроводам в северныхморях квазистационарной модели ЛЛ.1 или приближенной модели ЛЛ.11оледенения многослойной стенки газопровода.

Существенно, что этот выводоснован не только на качественных оценках, но и подтвержден количественно в результате сравнения проведенных расчетов по нестационарной моделиЛЛ и по ее вариантам ЛЛ.11 и ЛЛ.1.Во второй главе предложено модифицированное условие Стефана (п.2.4.1), позволяющее учесть отличие оледенения в соленой воде от оледенения в пресной воде. Предложена новая методика расчета средних теплофи-173зических характеристик нарастающего морского льда (п.2.4.2), которая входит составной частью в модели оледенения многослойной стенки цилиндра(параграф 2.5) и многослойной области в плоском случае (параграф 2.6).Представлен качественный и количественный анализ допустимости использования квазистационарного приближения при моделировании нестационарных процессов оледенения (параграфы 2.6 и 2.7).

Предложены алгоритмычисленного решения нелинейных задач стефановского типа с явным выделением фронта оледенения, найден ряд новых аналитических решений ((2.51),(2.101), (2.126), (2.130)), создан программный комплекс «Лед», реализующийаналитические и численные решения, и в результате проведенного компьютерного моделирования процессов оледенения исследованы чувствительностипредложенных моделей этих процессов к вариациям параметров.

Все перечисленные результаты являются новыми, основные из них, выносимые на защиту, получены автором и опубликованы в работах: [35], [38], [67]–[70], [160],[172], [173].174Глава 3Алгоритм численного решения системы уравнений моделинеустановившегося турбулентного неизотермичемкоготечения смеси газов при сверхвысоких давленияхпо морским газопроводам с учетом оледенения3.1. Обзор численных методов решения одномерныхнестационарных задач о течении газа в трубахБольшой вклад в разработку методов численного решения нестационарных уравнений газовой динамики внесли труды отечественных и зарубежныхученых таких как: Б.Л. Рождественского, Н.Н. Яненко, А.А.

Самарского,Ю.П. Попова, О.М. Белоцерковского, С.К. Годунова, Ф. Харлоу и многихдругих исследователей.Содержательный обзор методов решения этих задач приведен, например,в работах Самарского А. А. и Попова Ю. П. [71], Б. Л. Рождественского иН. Н. Яненко [72], Thorley и Tiley [174], В.Н. Емельянова и К.Н. Волкова [73],Ю.А. Бондаренко [74].Наиболее распространенными методами решения одномерных нестационарных задач газовой динамики являются метод конечных разностей, методконечных объемов, метод конечных элементов, метод «крупных частиц», метод характеристик, спектральный метод и метод Годунова.Метод конечных элементов опирается на вариационную задачу о минимуме ошибки аппроксимации искомого решения базисными функциями, а нена исходные уравнения модели.

Он эффективен при решении задач механикидеформируемого твердого тела, но для решении задач газовой динамики итеплообмена его эффективность не очевидна.Широкое распространение для решения задач газовой динмики получилметод конечных объемов, в котором дискретизация уравнений проводитсяс помощью аппроксимации интегральных законов сохранения для каждойэлементарной ячейки (объема) вычислительной сетки [75], [175]. Этот методлежит в основе построения консервативных разностных схем [76], [77].

Метод175используется в коммерческих CFD пакетах, например ANSYS CFX, Fluent идр.Метод Годунова, основанный на решении задачи о распаде разрыва,и его модификации были успешно применены к огромному количеству различных задач, например, [79]–[82], [176]. Метод оказал большое влияние наразвитие численных методов решения задач газовой динамики.

Он являетсяважным инструментом для расчета разрывных решений [83].Для задач с достаточно гладким решением и мягкими граничными условиями находят применения спектральные методы [84], [177], которые позволяют с высокой точностью определять значения искомых функций.В настоящее время для решения одномерных нестационарных задач отечении газа в трубах широко используются явные и неявные методы конечных разностей [85]–[88], [178]–[186]. В работе [179] проведено сравнениеметодов численного решения одного из вариантов задачи о течении газа впротяженном газопроводе методом характеристик и методом конечных разностей. В работе [179] рассмотрены схемы Лакса–Вендроффа, TVD методРунге-Кутты [186] и неявные разностные схемы.

На основе численного решения по этим схемам упрощенной модели одномерного нестационарного течения газа в трубе автор приходит к следующим выводам: явный TVD методРунге-Кутты обладает несколько большей областью устойчивости, а скоростьсчета выше у явной двухшаговой схемы Лакса–Вендроффа. Время счета дляметода характеристик значительно больше и практически вдвое превышаетрасчетное время по явным разностным схемам, к тому же метод характеристик сложнее в реализации. К похожим выводам приходят и другие авторы,например, [180] и [181].Неявные схемы являются, как известно, безусловно устойчивыми, оничасто используются в коммерческих пакетах.

Однако явные схемы, как неоднократно отмечалось в работах [71]–[73], лучше согласованы с конечнойскоростью распространения возмущений, характерной для гиперболическихуравнений газовой динамики.В диссертационной работе в результате проведенных расчетов по различным методам была выбрана модифицированная явная двухшаговая схема Лакса-Вендроффа [89]. Эта схема обладает для рассматриваемых задач176транспортировки газа преимуществом по сравнению с другими рассмотренными схемами как по скорости счета, так и по простоте реализации.3.2.

Численное решение задачи одномерного неустановившегосятечения смеси газов при сверхвысоких давлениях по морскимгазопроводам с учетом оледенения на основесхемы Лакса–ВендроффаРазработана общая математическая модель транспортировки смеси газов по морским газопроводам (модель 3), включающая в себя модели, созданные в первой и второй главах. Модель позволяет для неустановившихся режимов учесть сверхвысокие давления, состав газовой смеси, нестационарность процессов теплообмена и динамику нарастания морского льда навнешней поверхности газопровода в северных морях.

Модель 3 состоит изуравнения неразрывности, уравнения движения, уравнения полной энергии,уравнения состояния, калорического уравнения, а также модели теплообменагаза с окружающей средой через многослойную боковую стенку газопровода,включающую на некоторых участках нарастающий слой льда. Выбор уравнения состояния описан в параграфе 1.3 главы 1, вывод соответствующегокалорического уравнения — в параграфе 1.4 главы 1. Модель теплообменагаза с окружающей средой при отсутствии слоя льда на внешней поверхностигазопровода, а также необходимые и достаточные условия начала его образования описаны в параграфе 1.5 главы 1.

Модель теплообмена в условиях,допускающих образование льда на внешней поверхности, подробно исследована в главе 2.Модель 3∂ρ ∂(ρu)+= 0,∂t∂z∂(ρu)∂λρu|u|+(ρu2 + p) = −+ ρg cos α(z),∂t∂z4R p2q∂∂(ρe)ρu e +=++ ρug cos α(z),∂t∂zρRe = ε + u2 /2,(3.1)(3.2)(3.3)(3.4)177hρTcρ2√ ,−1 − δρ (1 + δρ) T3 cε = c̃v T − √ ln(1 + δρ),2δ Tначальные условия для ρ, T, u,(3.7)граничные условия для ρ, T, u;(3.8)(3.5)p=(3.6)блок расчета q при отсутствии льда (блок А)1 ∂∂T1= λ1ρ1 c 1∂tr ∂rr ∈ (R, R1 ), t ∈ (0, t̂ ) :∂T1r∂r;T1 (r) = T10 (r);t = 0,(3.10)∂T1= q;∂r∂T1∂T2t ∈ (0, t̂ ), r = R1 : T1 = T2 , λ1= λ2;∂r∂r1 ∂∂T2∂T2= λ2r;r ∈ (R1 , R2 ), t ∈ (0, t̂ ) : ρ2 c2∂tr ∂r∂rt ∈ (0, t̂ ),r=R:−αo (T (z, t) − T1 ) = λ1T2 (r) = T20 (r);t = 0,t ∈ (0, t̂ ),r ∈ (R2 , R2 + δ∗ ),r = R2 :t ∈ (0, t̂ ) :t = 0,t ∈ (0, t̂ ),λ2T3 (r) = T30 (r);r = R2 + δ ∗ :(3.11)(3.12)(3.13)(3.14)∂T3∂T2= λ3;∂r∂r∂T3∂T31 ∂ρ3 c 3r;= λ3∂tr ∂r∂rT2 = T3 ,(3.9)(3.15)(3.16)(3.17)T3 = T ∗ ;(3.18)блок расчета q при наличии слоя льда (блок Б)λ1 ∂∂T1=ρ1 c 1∂tr ∂r∂T1r∂rt = t̂,t > t̂,r=R:r = R1 :,r ∈ (R, R1 ),t > t̂;T1 (r) = T10 (r);−αo (T (z, t) − T1 ) = λ1T1 = T2 ,λ1(3.19)(3.20)∂T1;∂r∂T2∂T1= λ2;∂r∂r(3.21)(3.22)178∂T2λ2 ∂∂T2r,=ρ2 c 2∂tr ∂r∂rt = t̂,t > t̂,r = R2 :∂T4∂T4λ4 ∂ρ4 c 4r,=∂tr ∂r∂rt = t̂,r ∈ (R1 , R2 ),t > t̂;T2 (r) = T20 (r);∂T4∂T2= λ4;T2 = T4 , λ2∂r∂rr ∈ (R2 , R2 + y(t)),y = y0 ,(3.24)(3.25)t > t̂;T4 (r) = T40 (r);t > t̂, r = R2 + y(t) : T4 = T∗ ;dy∂T3 (t̂) dy∂T4 −q=γρ,q=λ,+αλ4∗4∗3∂r R2 +y(t)dt∂r R2dt(3.23)(3.26)(3.27)(3.28)t > t̂.(3.29)В модели 3 (3.1), (3.2), (3.3) — уравнения неразрывности, движения, полной энергии соответственно, (3.5) — уравнение состояния Редлиха–Квонга,(3.6) — калорическое уравнение; (3.9), (3.13), (3.16), (3.19), (3.23), (3.26) —уравнения теплопроводности в областях многослойной боковой стенки газопровода, в тепловом погранслое воды и в слое льда соответственно; (3.29) —модифицированное условие Стефана.В системе (3.1)–(3.29) приняты следующие обозначения: u, ρ, p, T — скорость, плотность, давление и температура газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времени t и координаты z, направленной вдоль осигазопровода; ε = ε(z, t), e = e(z, t) — массовые плотности внутренней иполной энергии смеси газа соответственно; λ — коэффициент гидравлического сопротивления; q — радиальная составляющая вектора потока теплана внутренней поверхности газопровода в z-м сечении; h, c, δ — размерныепостоянные в уравнении Редлиха-Квонга, определяемые по заданному химическому составу газовой смеси; c̃v в уравнении (3.6) — удельный коэффициенттеплоемкости при постоянном объеме газовой смеси заданного химическогосостава, но в состоянии идеального газа; r — радиальная координата в цилиндрической системе координат (r, ϕ, z); y(z, t) — толщина слоя льда на внешнейповерхности газопровода в z-м сечении; λk , ρk , ck и Tk = Tk (z, r, t) — коэффициенты теплопроводности, плотность, удельный коэффициент теплоемкостии распределение температуры в k-м слое, индексы k = 1, 2, 3, 4 соответствуют областям: 1 — первому слою обшивки (стали), 2 — второму слою обшивки179(бетона), 3 — области эффективного теплового погранслоя воды; 4 — слоюльда, зависимость Tk (z, r, t) от z является параметрической; γ — эффективная теплота плавления морского льда; R — внутренний радиус газопровода,R1 , R2 — внешние радиусы слоев обшивок; T ∗ — температура морской воды наудалении от газопровода, T∗ — температура фазового перехода вода–лед; δ∗ —толщина эффективного теплового погранслоя воды при обтекании газопровода (параграф 1.5 главы 1); α — эффективный параметр в модифицированномусловии Стефана (параграф 2.4.1 главы 2); αo — коэффициент теплопередачимежду потоком газа и внутренней стенкой газопровода; g — ускорение силытяжести; α(z) — угол между осью газопровода z и направлением силы тяжести; q∗ — суммарный поток тепла от воды к фронту оледенения (параграф2.4.1 главы 2); t̂(z) — момент времени, начиная с которого расчет теплооб-мена по блоку А заменяется расчетом теплообмена по блоку Б, т.е.

Характеристики

Список файлов диссертации