Диссертация (1145283), страница 26

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 26)

T0 (t) = T0 − m t. Дифференциальное уравнение (2.124) преоб-разуется к видуa0 − c tdy− b,=dty + d0константы a0 и c здесь равны:a0 = a(T∗ − T0 ), c = −a m.(2.127)(2.128)Константы a, b, d0 определены равенствами (2.125), константы T0 , m — законом изменения температуры.По структуре уравнение (2.127) совпадает с дифференциальным уравнением (2.46) параграфа 2.4, если ввести переменную z, определив ее равенством: z = y + d0 . Дифференциальное уравненияdza0 − c t=− b,dtz(2.129)приводится к уравнению с разделяющимися переменными введением новойпеременной ua0 − c t.zОтносительно переменной u решение задачи Коши с соответствующимu=начальным условием имеет вид уравнения (2.52) параграфа 2.4. В исследуемом случае решение уравнения (2.129) в терминах переменной u записывается159в виде: 2d1/2 uu0 − bu0 + c2u − d2 2u0 − d3 4t − d1=··,t0 − d1u0u2 − bu + c2u0 − d2 2u − d3(2.130)a0 − c t0a0 − c t0=.z0y0 + d 0Из трансцендентного уравнения (2.130) находится зависимость u(t),u0 =функция y(t), определяющая динамику оледенения многослойной областив плоском случае, выражается через функцию u(t) по формуле:y(t) =a0 − c t− d0 .u(t)(2.131)Величины d1 , d2 , d3 , d4 , входящие в уравнение (2.130), выражаются через константы модели a0 , b, c по формулам:√a0, ∆ = 4 c − b2 , d2 = b + −∆,c√b.(2.132)d3 = b − −∆, d4 = √2 −∆По алгоритму численного решения системы уравнений модели Л2, поd1 =алгоритму численного решения ее квазистационарного варианта Л2.1 и поаналитическим решениям (2.126), (2.130) – (2.132) были составлены программы «Лед.2», «Лед.

ПК» и «Лед. ПА», вошедшие в программный комплекс«Лед». По этим программам был рассчитан ряд тестовых задач по динамикеоледенения многослойных областей в плоском случае в морской воде. Результаты расчетов и выводы из них приведены в параграфе 2.7.Плоская задача динамики оледенения в морской воде имеет многочисленные приложения, например, работы [64]–[66].

Одно из важнейших приложений заключается в исследовании поведения арктических и антарктических льдов, которое, кроме самостоятельного интереса, входит в исследования климата Земли. В диссертационную работу эти интересные вопросы невключены, однако отметим, что представленные модели Л2, Л2.1 и полученные аналитические решения (2.126) и (2.130 – 2.132) могут найти применениев исследованиях поведения арктических и антарктических льдов.

Во многихподобных задачах допустимо квазистационарное приближение, т.е. допустима модель Л2.1 с различными модификациями, относящимися как к заданию160граничных условий на границе с атмосферой (при x = 0), так и к учету зависимости температуры замерзания морской воды от скорости оледенения [66].Можно показать, что и с этими изменениями ряд вариантов модели Л2.1допускает аналитические решения, аналогичные представленным в этом параграфе.2.7. Чувствительность моделей оледенения к вариациямпараметров.

Выводы по копьютерному моделированию попрограммному комплексу «Лед»процессов теплообмена и нарастания льда в морской водеКомпьютерное моделирование динамики оледенения внешней поверхности цилиндра в морской воде осуществлялось по созданному программномукомплексу «Лед», включающему вычислительные алгоритмы моделей Л1,Л1.1, ЛЛ, ЛЛ.11, ЛЛ.1. Все программы написаны на языке С++, наибольшее время занимают расчеты по программе «ЛЛ», но и оно составляет неболее 5 секунд (в системе Intel Core i5-3230M, ОЗУ 8 ГБ). Результаты проведенного исследования условно можно разделить на четыре группы.I.

Определена величина числа Стефана, начиная с которой с заданнойточностью режим оледенения в задаче для цилиндра без обшивок можносчитать квазистационарным.II. Исследовано влияние эффективных параметров моделей, теплофизических характеристик нарастающего морского льда, параметров режима игеометрии поверхности на динамику оледенения.III. Исследовано влияние слоев обшивки на динамику оледенения.IV.

Подтверждена достоверность и приемлемая точность предложенныхвычислительных алгоритмов решения нестационарных задач оледенения сопоставлением результатов численных и аналитических решений уравнениймоделей динамики оледенения.Количественная оценка допустимости использованияквазистационарной модели для нестационарных процессовдинамики оледенения161При постоянной температуре цилиндра T0 (T0 < T∗ ) число Стефана Steравно:c (T∗ − T0 ), γ̃ = γρ + α.γ̃Здесь и далее использованы обозначения, введенные в парагрфах 4–6.Ste =Качественная оценка допустимости квазистационарного приближенияв задаче оледенения поверхности цилиндра заключается в проверке малостичисла Стефана.

Количественная оценка критического числа Стефана Ste∗ ,начиная с которого с заданной точностью в задаче оледенения цилиндра допустима квазистационарная модель, может быть получена на основе расчетатолщины слоя льда по нестационарной модели — y(t, Ste) и по квазистационарной модели — y st (t, Ste) с последующей проверкой выполнения условия:y(t, Ste) − y st (t, Ste) ≤ ε,y, y st ∈ (y0 , y∗ ),(2.133)здесь y0 — начальное значение толщины слоя льда, y∗ — максимальное (рав-новесное) значение толщины слоя льда, ε — заданная точность.Число Ste, начиная с которого неравенство (2.133) выполняется с заданной точностью, есть искомое критическое число Ste∗ . Для него и для всехменьших чисел Стефана допустимо использование квазистационарной модели оледенения.О необходимом условии перехода нестационарной модели вквазистационарнуюЗаметим, что квазистационарная модель Л1.1 не зависит от коэффициента c — эффективной теплоемкости морского льда.

Поэтому, пока расчетыпо нестационарной модели чувствительны к изменению c, переход к квазистационарной модели вносит заметные погрешности в расчет нестационарногопроцесса оледенения. Таким образом, приходим к следующему необходимомуусловию допустимости перехода к квазистационарной модели:распределение температуры и толщина слоя льда, рассчитанные понестационарной модели оледенения, не должны зависеть от коэффициента теплоемкости морского льда.В общем случае это условие может не быть достаточным.162В таблице 2.16 приведены результаты расчета по программе «Лед.1» динамики оледенения цилиндра при разных значениях c (Дж/(кг · K)) для на-бора параметров 2 (2.32) параграфа 2.4.Таблица 2.16y, см13510152025(c = 23000) t, сут 0.0420.3771.087 4.939 13.045 28.912 58.533(c = 2300) t, сут0.0410.3601.037 4.713 12.416 27.107 56.728(c = 230) t, сут0.040 0.3585 1.032 4.688 12.391 27.082 56.703(c = 23) t, сут0.0390.3581.031 4.687 12.390 27.081 56.702(c = 2.3) t, сут0.0390.3581.031 4.687 12.390 27.081 56.702Точность в алгоритме расчета величины шага по времени в нестационарной задаче Л1 задавалась соответствующей 5 сек, при этой точности количество итераций вплоть до 50 суток не превышало 5.

Равновесное значениеy∗ слоя льда на поверхности цилиндра, как следует из уравнения (2.24), независит от величин c, α, γ, ρ. Для набора параметров 2 (2.32) параграфа 2.4равновесная толщина слоя льда равнялась: y∗ = 31.90556 см.Из таблицы 2.16 следует, что для набора параметров 2, начиная сc = 23 (Дж/(кг · K)), с точностью до четвертого знака после запятой в значе-нии времени нарастания льда, указанного в сутках, выполнено необходимоеусловие допустимости перехода к квазистационарному режиму.Расчет динамики оледенения y(t) для набора параметров 2 по программе«Лед. К», реализующей численное решение квазистационарной модели Л1.1,с точностью до десятых миллиметра совпал с расчетом по программе «Лед.1»при c∗ = 23. В таблице 2.17 приведены результаты расчета по квазистационарной модели Л1.1.163Таблица 2.17y, см3.283 5.073 9.950 15.051 19.991 25.225t, сут 0.417 1.042 4.601 12.411 26.876 58.334Как следует из сравнения результатов расчетов, представленных в таблицах 2.16 и 2.17, независимость расчета по нестационарной модели от коэффициента c в рассмотренной задаче явилась не только необходимым, но идостаточным условием допустимости перехода к квазистационарной модели.Критический коэффициент теплоемкости, при котором с заданнойточностью допустим переход к квазистационарной модели оказался равным c∗ = 23, критическое число Стефана Ste∗ = c∗ (T∗ −T0 )/γ̃ при этом равно:Ste∗ = 0.18 · 10−6 .Влияние на динамику оледенения в морской воде эффективного параметра αКак отмечалось в параграфа 2.4, в соленой воде в отличии от пресной,при нарастании льда происходят сложные физические процессы, суммарныйэффект выражается в увеличении общего притока тепла к фронту оледенения.

Этот механизм во всех предложенных моделях нарастания морскогольда учтен введением дополнительного притока тепла α dy , пропорциональdtного скорости оледенения поверхности. Эффективный параметр α имеет размерность удельного объемного источника тепла. В таблице 2.18 представленрасчет динамики нарастания льда на внешней поверхности цилиндра без слоев в морской воде, выполненный по нестационарной модели Л1 для наборапараметров 2. В расчетах варьировалась только величина α (кДж/м3 ).Данные таблицы 2.18 подтверждают известный экспериментальныйфакт [49], [43]: соленая вода замерзает дольше, чем пресная.Таблица 2.18y, см13510152025t сут, (α=0)0.015 0.136 0.391 1.7774.69710.264 21.483t сут, (α=155504.6)0.024 0.210 0.607 2.7567.28315.917 33.318t сут, (α=310823.6)0.032 0.285 0.812 3.7349.86921.569 45.151t сут, (α=466235.4125) 0.041 0.360 1.037 4.713 12.456 27.222 56.990164При увеличении эффективного параметра α модель Л1 приводит к меньшей скорости нарастания льда.

Однако при изменении параметра α необходимо добиваться того, чтобы средняя соленость и соответствующие ей средние теплофизические параметры нарастающего льда были согласованнымис экспериментальными данными. При отсутствии экспериментальных данных проверка согласованности набора теплофизических параметров морского льда может осуществляться по формуле Цурикова методом, изложеннымв п.

2.4.2.Влияние на динамику оледенения в морской воде эффективнойтеплоты плавления морского льдаВ таблице 2.19 представлен расчет динамики нарастания льда на внешней поверхности цилиндра в морской воде, выполненный по нестационарноймодели Л1 для набора параметров 2.

Характеристики

Список файлов диссертации