Диссертация (1145283), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Значения параметровs1 , s2 , s3 , которым соответствует кривая на рисунке 2.2, равны: s1 = 4, s2 =−22.894, s3 = 263.236, при условии: t0 = 24.894, T0 (t0 ) = 265.236 К.265.4265.2265264.8264.6T,264.4264.2264263.8263.6263.4263.250100150200t, чРисунок 2.2 – Закон поведения температуры T0 (t) цилиндра.Расчет процесса оледенения цилиндра по модели Л1.1 методом РунгеКутты при этом законе поведения температуры цилиндра представлен нарисунке 2.3.Для принятого закона поведения температуры минимальная температура поверхности цилиндра равна 263.236 Кельвинов, при этом равновесная(максимальная) толщина слоя льда равна: y∗ = 40.86 см.После того, как найдена зависимость y(t) толщины слоя льда от вре-мени, распределение температуры T (r, t) в слое льда в квазистационарномприближении рассчитывается по формуле:1263530y, см2520151050102030405060t, сутРисунок 2.3 – Динамика оледенения при переменной температуреповерхности цилиндра.T (r, t) = T0 (t) +(T∗ − T0 (t)) ln(r/R),ln(1 + y(t)/R)(2.42)здесь все величины, кроме температуры T (r, t), безразмерные, температураT (r, t) определяется, как и температуры T0 (t), T∗ , в Кельвинах.2.4.4.
Приближение тонкого слоя, аналитические решенияМодель Л1.1 допускает упрощение в случае тонкого слоя льда, а именно,при малости отношения толщины слоя льда к радиусу цилиндра. Для облегчения записи опустим штрихи у безразмерных величин и запишем упрощениеправой части уравнения (2.39) в приближении тонкого слоя:y/R ≪ 1 ⇒ (R + y) ln(1 + y/R) ≈ (R + y)(y/R) ≈ y.Аналитическое решение для модели Л1.2.1Уравнение динамики оледенения (в квазистационарном приближении)(2.39) при постоянной температуре поверхности цилиндра T (R, t) = T0 в приближении тонкого слоя в безразмерном виде запишется:ady= − b.dty(2.43)127После разделения переменных в этом уравнении решение задачи Коши (2.43),(2.38) можно представить в видеZtdτ =t0Zzdx,x2 (−ax + b)z = 1/y,z0 = 1/y0 .(2.44)z0(Величины y, y0 , t, t0 , a, b — безразмерные.) Неопределенный интеграл (приусловии x 6= b/a) равен:Z1a−ax + bdx.=−− 2 lnx2 (−ax + b)bxbxТаким образом, возвращаясь к переменной y = 1/z, получаем следующеетрансцендентное уравнение, определяющее безразмерную толщину слоя льдаy в безразмерные моменты времени t в приближении тонкого слоя для квазистационарных профилей температуры цилиндрического слоя льда:aa − by0(y − y0 )+ 2 ln,(2.45)t − t0 = −bba − byбезразмерные комплексы a и b определены равенствами (2.41).Аналитическое решение для модели Л1.2.2Рассмотрим вариант квазистационарной модели Л1.1 с линейным законом изменения температуры цилиндра.
Представим этот закон для безразмерного времени t следующим образом: T (R, t) = T0 − m t, ([T0 ] = К,[m] = К). Аналог безразмерного уравнения динамики оледенения (2.39) приT (R, t) = T0 − m t в приближении тонкого слоя запишется:dya − ct=− b,dty(2.46)безразмерные комплексы a и b определены равенствами (2.41), безразмерныйкомплекс c равен:c=−λtx m.2rx (γρ + α)(2.47)Введем новую переменную z:z=a − ct.y(2.48)128В терминах z уравнение (2.46) приводится к уравнению с разделяющимисяпеременными следующего вида:dtdz=.z(z 2 − bz + c) ct − aНеопределенный интегралZdzz(z 2 − bz + c)(2.49)(2.50)берется аналитически, его выражение зависит от знака величины ∆ = 4c−b2 .Если температура T0 (t) понижается, m > 0, следовательно, c < 0 и выполняется условие: ∆ = 4c − b2 < 0.
В этом случае неопределенный интеграл(2.50) равен:√Zb2z − b − −∆dz1z2√.ln+ √=ln 2z(z 2 − bz + c) 2cz − bz + c2c −∆2z − b + −∆С учетом выражения для этого интеграла решение задачи Коши для дифференциального уравнения (2.49) записывается в виде:t1/2 d4 ! z2x2x − d2 ,(ln (τ − d1 )) = ln+ln2 − bx + cx2x−d3t0z0√√bad1 = , d2 = b + −∆, d3 = b − −∆, d4 = √.(2.51)c2 −∆Найденное решение можно представить следующим образом: 2 2d1/2z z0 − bz0 + c2z − d2 2z0 − d3 4t − d1= ln 2·+ lnlnt0 − d1z0 z 2 − bz + c2z0 − d2 2z − d3и записать решение задачи Коши для дифференциального уравнения (2.49)в виде трансцендентного уравнения: 2d1/2 t − d1zz0 − bz0 + c2z − d2 2z0 − d3 4=·.·t0 − d1z0z 2 − bz + c2z0 − d2 2z − d3(2.52)В результате решения уравенения (2.52) находится зависимость z(t) при заданных значениях параметров z0 , d1 −d4 , определяемых величинами a, c, b, y0 .Зависимость z(t) позволяет найти зависимость y(t) в соответствии с ра-венствомy(t) =a − ct,z(t)129т.е.
рассчитать динамику оледенения цилиндра в морской воде в приближении тонкого слоя для линейного закона изменения температуры поверхности цилиндра.По алгоритму численного решения системы уравнений модели Л.1, поалгоритму численного решения ее квазистационарного варианта Л1.1 и поаналитическим решениям (2.45), (2.52) были составлены программы «Лед.1»,«Лед. К» и «Лед. А», вошедшие в программный комплекс «Лед» [70]. Поэтим программам был проведен расчет ряда тестовых задач по динамикеоледенения цилиндра в морской воде.
Результаты этих расчетов и выводы изних приведены далее в параграфе 2.7.2.5. Оледенение многослойной стенки цилиндра в морской воде(модель ЛЛ), численные и аналитические решенияРассмотрим задачу оледенения в морской воде цилиндрического газопровода с внутренним радиусом R, имеющего многослойную стенку. Законизменения температуры T0 (t) газа считается известным и неизменным в любом сечении.
Выбор закона T0 (t) основан на данных о характере поведениятемпературы газа в сечениях, удаленных от входа в газопровод, т.е. в сечениях, в которых температура газа опускается ниже температуры замерзанияморской воды. Для многих реальных задач о транспортировки газа по морским газопроводам представляет интерес диапазон изменения температурыT0 от 271 до 265 Кельвинов.Расчет по модели оледенения многослойной боковой стенки газопроводаначинается в момент времени t0 = t̂, в который выполняются необходимыеи достаточные условия начала оледенения.
Как отмечалось в главе 1, этиусловия имеют вид:t < t0 → T2 (R2 , t) > T∗ , t > t0 → T2 (R2 , t) < T∗ ,∂T3 ∂T2 > λ3,λ2∂r R2 ,t0∂r R2 ,t0где T2 (r, t), T3 (r, t) — распределения температуры в слое бетона и в тепловомпогранслое воды; T∗ — температура фазового перехода вода–лед.1302.5.1. Математическая модель ЛЛ, алгоритм численного решенияМатематическая модель ЛЛλ1 ∂∂T1=ρ1 c 1∂tr ∂r∂T1r,∂rt = t0 ,t > t0 ,r=R:r = R2 :λ4 ∂∂T4∂T4=r,ρ4 c 4∂tr ∂r∂rt = t0 ,∂T1;∂r∂T2∂T1= λ2;λ1∂r∂rr ∈ (R1 , R2 ),t > t0 ;T2 (r) = T20 (r);∂T2∂T4T2 = T4 , λ2= λ4;∂r∂rr ∈ (R2 , R2 + y(t)),y = y0 ,t > t0 ;T4 (r) = T40 (r);t > t0 , r = R2 + y(t) : T4 = T∗ ;∂T4 dydyλ4,q=q+α,−q=γρ34∂r R2 +y(t)dtdt(2.53)(2.54)−αo (T0 (t) − T1 ) = λ1T1 = T2 ,λ2 ∂∂T2∂T2=r,ρ2 c 2∂tr ∂r∂rt > t0 ,t > t0 ;T1 (r) = T10 (r);r = R1 :t = t0 ,r ∈ (R, R1 ),(2.55)(2.56)(2.57)(2.58)(2.59)(2.60)(2.61)(2.62)t > t0 .(2.63)Здесь δ1 , δ2 – толщины первого и второго слоев обшивки газопровода соответственно; R1 = R + δ1 ; R2 = R + δ1 + δ2 – внешний радиус газопровода.Индексы: 1 – область первого слоя; 2 – область второго слоя; 4 – областьслоя льда на внешней поверхности газопровода.ρk , λk , ck – плотность, коэффициент теплопроводности, удельный коэффициент теплоемкости материала k-й области соответственно, Tk (r, t) –распределение температуры в k-й области, Tk0 (r) – начальное распределениетемпературы в k-й области (k = 1, 2, 4), γ — эффективная теплота плавления морского льда; r = R2 + y(t) — координата фронта оледенения; y0 —толщина слоя льда в начальный момент времени t0 .
При r = R2 + y0 должновыполняться условие: T40 (R2 + y0 , t0 ) = T∗ .131В предыдущей главе отмечалось, что теплообмен между потоком газаи внешней средой определяется тремя механизмами передачи тепла: 1) конвективным теплообменом между потоком газа и внутренней стенкой газопровода, этот механизм характеризуется коэффициентом теплопередачи αo ;2) кондуктивной передачей тепла через слои боковой поверхности, включаяслой льда, если он есть; 3) теплообменом между внешней поверхностью газопровода (или между слоем льда на внешней поверхности) и обтекающейгазопровод водой.Как известно, с увеличением числа Рейнольдса величина αo растет ивкладом первого механизма в теплообмен газа с внешней средой можно пренебречь по сравнению с остальными механизмами передачи тепла.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
