Диссертация (1145283), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Например, в металлургическом производстве, в производстве полупроводников методом направленнойкристаллизации, при моделировании роста кристаллов, при моделированиидиффузии в зоне реакции и во многих других областях.Отметим ряд монографий, которые охватывают наиболее широкий кругвопросов по задаче Стефана. Первые важные результаты были изложены вработе Л.И. Рубинштейна [51], в частности, в этой работе представлен исторический обзор, доказаны теоремы существования решения задачи Стефанадля одномерного случая, приведены некоторые методы решения. Идеи и методы решения задачи Стефана изложены также в работе А.М. Мейрманова[52], которая в основном посвящена вопросам существования и единственности решения в случаях двух и более пространственных переменных.
Принципы моделирования и анализа классических задач Стефана изложены в работе S.C.Gupta [164]. Особого внимания заслуживает работа [165], в которойJ.Crank приводит различные постановки задач с подвижными границами,существующие аналитические решения, а также дает описание численныхметодов решения задач стефановского типа.В работе Рубинштейна [53], опирающейся на нелинейное преобразованиекоординат, решается задача Стефана для одномерного случая при переменных начальных и граничных условиях. Как известно, метод Л. И. Рубинштейна алгоритмически малоэффективен. В 1947 году Л. И. Рубинштейнпредложил другой метод сведения задачи Стефана к системе интегральныхуравнений типа Вольтерра.
Этот метод основывается на использовании тепловых потенциалов.Интенсивное развитие получили приближенные методы решения задачиСтефана. Существенную роль сыграл метод Л. С. Лейбензона [54], примененный им для решения задачи об остывании нефтепровода. Метод основан напредположении о квазистационарности распределений температуры в слоельда во все моменты времени процесса, автор назвал это приближение методом смены стационарных состояний. Этот метод в дальнейшем использовался во многих работах, например, в работе С. С. Ковнера (1936) при102расчете времени промерзания шара, в работе И.А. Чарного [55] при расчетезамораживания грунта вокруг скважины.Попытка получить точное, а не приближенное решение задачи Стефана,была сделана М. Бриллюэном в докладе, прочитанном в 1929 году в институте Пуанкаре.
Доклад был опубликован в 1931 году [165]. М. Бриллюэнпредложил метод сведения задачи Стефана к системе нелинейных интегродифференциальных уравнений. Однако даже сам автор, выписав эту систему интегродифференциальных уравнений, отказался от попытки ее решения.Поэтому доклад М. Бриллюэна способствовал скорее усилению интереса к задаче Стефана, чем ее решению.В 60-х годах вышли работы, в которых были предложены формулы расчета глубин промерзания грунта при периодических колебаниях температурына его поверхности (Кудрявцев, Меламед, 1963, 1965). Кроме этого, предложен ряд приближенных формул расчета распределения температур и законадвижения фронта оледенения.В 1958 году вышла работа В. Г. Меламеда [56], в которой рассматривается приближенное решение задачи Стефана с любой степенью точности.
Авторобосновывает возможность решения задачи Стефана сведением ее к системеобыкновенных дифференциальных уравнений. В последующих работах В. Г.Меламеда предложенный метод распространяется на другие задачи стефановского типа. Достоинством метода В. Г. Меламеда является простота егореализации.Большой цикл работ посвящен вопросам существования и единственности решения задач стефановского типа. В работе [57] О. А. Олейник ввелапонятие обобщенного решения задачи Стефана, единственность и существование которого обеспечивается в классе измеримых ограниченных функций.Доказано, что обобщенное решение совпадает с классическим решением задачи Стефана в случае, когда классическое решение существует.
О. А. Олейникрассмотрела вопрос о сходимости предложенного ею метода. Однако вопросы численного решения задачи Стефана ею не рассматривались. Метод О.А. Олейник не позволяет получить информацию о структуре границы раздела фаз и о том, в каком смысле обобщенное решение задачи удовлетворяетклассической задаче Стефана.103Решение многомерной задачи Стефана наталкивается на известные трудности. Так, до настоящего времени не доказано существование классическогорешения многомерной задачи Стефана. В связи с этим большой интерес представляет работа С.
Л. Каменомостской [58], в которой доказано существование и единственность обобщенного решения многомерной многофронтовойзадачи Стефана.Решение задачи Стефана в замкнутой аналитической форме возможнолишь в частных случаях.Большое распространение получили численные методы решения задачиСтефана. Их можно условно разделить на две группы.К первой группе относятся методы сквозного счета, в которых явнымобразом не выделяется граница раздела фаз и используется общее уравнениетеплопроводности во всей расчетной области.
Главной особенностью методов сквозного счета является отсутствие точного отслеживания положениямежфазных границ. Это оказывается достаточно эффективным при решении многомерных и многофазных задач. Для применения данного подходаисходная задач записывается в обобщенной формулировке в виде единогоуравнения теплопроводности с разрывными коэффициентами на межфазныхграницах. При построении алгоритма численного решения полученной задачипроводится процедура сглаживания разрывных коэффициентов на некотороминтервале. Данный подход был предложен в работе А.А. Самарского и Б.Д.Моисеенко [59] (там же отмечается, что аналогичный подход одновременноразрабатывался Б.М.
Будаком, Е.Н. Соловьевой и А.Б. Успенским), дальнейшее развитие первая группа методов получила в работах Р.П. Федоренко имногих других отечественных и зарубежных ученых. Недостатками данного подхода являются зависимость точности разностного решения от выборапараметра сглаживания и низкая точность определения положения межфазных границ. Интерес к методам сквозного счета не ослабевает и в настоящеевремя [167]–[169].Ко второй группе относятся методы, предполагающее явное определениеположения межфазных границ.
В этих методах определяется, между какими узлами расчетной сетки находится подвижный фронт, или через какойузел он проходит. Как известно, наиболее распространенными среди методов104с выделением фронта являются метод ловли фронта в узел пространственной сетки (variable time stepping) и метод выпрямления фронтов (front-fixingmethod). Одними из первых работ второй группы, в которых предложен итерационный алгоритм численного решения однофазной одномерной плоскойзадачи Стефана с явным определением фазовой границы и доказана сходимость этого метода, являются работы J.
Douglas и Ф.П. Васильева [170], [60].В 1968 году Ф.П. Васильев предложил метод прямых с явным определением фронта фазового перехода. Дальнейшее развитие вторая группа методовполучила в работах А. Б. Успенского, Ф.П. Васильева, А.Ф. Воеводина, Н.А.Леонтьева, Т.Б.
Гранкиной , А.Г. Петрова, В.М. Белолипецкого, Э.А. Бондарева, Ф.С. Попова, Т. В. Овчаровой и многих других отечественных и зарубежных исследователей. Внимание к этой группе методов не ослабевает и внаши дни [167]–[169].Обзор и сравнение различных подходов к численному решению задачстефановского типа содержится в работе А.А. Самарского, П.Н. Вабищевича,О.Л.
Илиева, А.Г. Чурбанова [61].Большую роль в моделировании динамики морского льда сыграли работы Ю. П. Доронина и Мэйкута–Унтерштейнера, которые по праву считаютсяклассическими в этой области.В заключении краткого обзора отметим, что многие вопросы динамикиоледенения в морской воде до настоящего времени остаются открытыми.
Ких числу относятся, например, расчет осолонения прилегающего ко льду слояморской воды, расчет потока тепла от воды к нарастающему льду, расчеттеплоемкости и других теплофизических характеристик морского льда [42].Одно аналитическое решение задачи отвердеваниявнешней боковой поверхности цилиндраПриведем, следуя [62], приближенное аналитическое решение осесимметричной задачи отвердевания внешней боковой поверхности цилиндра принулевом потоке тепла от жидкой фазы к фронту. Предполагается,что в начальный момент времени t = 0 жидкая фаза вне цилиндра радиуса105R находится при температуре фазового перехода T∗ , (T∗ > 0).
При t > 0 боковая поверхность цилиндра (r = R) поддерживается при температуре T = 0,которая ниже температуры фазового перехода.Математическая модель процессов в этой задаче записывается следующим образом:λ ∂∂T=ρc∂tr ∂r∂Tr;∂rT |r=R = 0;R < r < y,y|t=0 = 0;T |r=y+R = T∗ ,t > 0;t > 0;t > 0;∂T dyλ − q = ρQ ,∂r R+ydtt > 0.q — поток тепла от жидкой фазы к фронту затвердевания, считается,что q = 0, так как принято, что жидкая фаза находится при постояннойтемпературе, равной температуре фазового перехода.Даже эта сравнительно простая задача не имеет точного аналитического решения.
Она допускает приближенное аналитическое решение в предположении, что распределение температуры в твердой фазе является квазистационарным. Решением уравнения теплопроводности в квазистационарномприближении является логарифмический профиль температуры:T (r, y(t)) = A + B ln r,A = A(t),B = B(t).Граничные условия для температуры позволяют найти функции A и B,а именно:A + B ln R = 0 ⇒ A = −B ln R;A + B ln (R + y) = T∗ ⇒ −B ln R + B ln (R + y) = T∗ ⇒ B =ln (y+R)RРаспределение температуры в толще твердой фазы имеет вид:T (r, y(t)) = −B ln R + B ln r = B lnT∗T∗rr= (y+R) ln .R lnRR.106Поток тепла от твердой фазы к фронту фазового перехода равен:BT∗∂T =λ=λ.λ ∂r R+yR+y(R + y) ln (y+R)RУсловие Стефана с учетом того, что q = 0, запишется в соответствии снайденным выражением для потока тепла следующим образом:λT∗(y + R) dydyT∗= (R + y) ln.= ρQ ⇒λdtρQRdt(R + y) ln (y+R)RЭто обыкновенное дифференциальное уравнение легко интегрируется.Решение задачи Коши имеет вид:4λT∗y+Rt = 2(y + R)2 ln− (y + R)2 + R2 .QρR(2.14)Полученное трансцендентное уравнение (2.14) позволяет сравнительно легко находить для любого момента времени t соответствующую толщину y(t)твердой фазы.В работе [62] отмечается, что (2.14) является достаточно хорошим приближением для расчета положения фронта фазового перехода y(t), если безразмерное число Стефана (Ste) мало.
Число Стефана определяется равенствомc(T∗ − T0 ),(2.15)Qгде T∗ — температура фазового перехода, T0 — температура боковой поверхноSte =сти цилиндра, c — удельная теплоемкость твердой фазы, Q — теплота плавле-ния. Число Стефана представляет собой отношение теплосодержания к теплоте плавления, оно было введено Стефаном в расчетах скорости переходаводы в лед на полярных ледяных шапках. Далее в параграфе 2.7 приведена оценка допустимости использования квазистационарного приближения врасчете распределения температуры в нарастающем слое морского льда.Другой подход к приближенному аналитическому решению осесимметричных задач Стефана представлен, например, в цикле работ Р.И. Медведского [63].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
