Диссертация (1145283), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Он базируется на использовании аналитического решения плоскойзадачи Стефана при соответствующих граничных и начальных условиях.1072.4. Оледенение цилиндрической поверхностив морской воде (модель Л1),численные и аналитические решения2.4.1. Математическая модель Л1, численное решениеЗапишем математическую модель оледенения внешней боковой поверхности цилиндра в морской воде.Модифицированное условие Стефана для морского льдаВ отличии от пресной воды, в соленой морской воде при нарастании льдапроисходит приток солей в слой воды, прилегающий к фронту замерзания,кроме того, теплота плавления, температура фазового перехода становятся сложными функциями солености морского льда и его температуры.
Всеэто приводит к искажению динамики оледенения, которая имела бы место впресной воде, в частности, может измениться температура замерзания, увеличиться плотность прилегающей воды и возникнуть дополнительные конвективные течения. Суммарный эффект, как отмечается в большинстве исследований, выражается в замедлении процесса оледенения по сравнению спроцессом оледенения в пресной воде.В настоящей работе эти эффекты учитываются введением в условие Стефана дополнительного притока тепла к фронту оледенения. В модели принимается линейная зависимость этого дополнительного притока тепла от скорости нарастания льда. Гипотеза о линейности, как и оправданность введениядополнительного притока тепла, должны быть подтверждены (или опровергнуты) сопоставлением расчетов по модели Л1 с экспериментальными данными.Итак, введем в условие Стефана дополнительное слагаемое α dy , проdtпорциональное скорости нарастания льда.
Общий поток тепла q от воды кфронту оледенения положим равным сумме потока тепла от воды q3 , который был бы при отсутствии этого эффекта, и дополнительного притока теплаα dy :dtdyq = q3 + α ,dt108α — эффективный параметр модели, имеющий размерность (кДж/м3 ) удельного объемного источника тепла. О выборе величины потока тепла q3 говорилось выше в замечании 1 параграфа 2.2. В пресной воде эффективныйпараметр α равен нулю.Модифицированное условие Стефана записывается следующим образом:dydy∂T ∂T − q = γρ− q3 = (γρ + α) .⇒ λ (2.16)λ ∂r R+y(t)dt∂r R+y(t)dtАрифметически введение в условие Стефана дополнительного притока теплаα dy эквивалентно замене эффективной теплоты плавления морского льда γdtна некую новую величину γ∗ , равную: γ∗ = γ + αρ .
Однако значение величиныγ∗ может оказаться необъяснимым с физической точки зрения, тогда как впредлагаемой модификации условия Стефана явно отражено, что увеличениемножителя (γρ + α) перед скоростью нарастания льда может быть связаноне только с механизмами, которые приводят к увеличению эффективной теплоты плавления морского льда γ. Параметр α является эффективным параметром модели, учитывающим, в частности, и осреднение по углу, посколькуодномерная модель предполагает аксиальную симметрию процессов, котораяочевидно нарушается, если на динамику оледенения оказывает влияние стекание рассола в образующемся морском льде под действием силы тяжести.Выбор эффективного параметра α рассмотрен в п.
2.4.2.Один момент следует подчеркнуть. Далее показано, что для рассматриваемой одномерной однофазной задачи Стефана решение существует и единственно. Если при выбранном значении α рассчитанное по модели Л1 решениезадачи совпадает с экспериментальными данными, то, в силу единственностирешения однофазной одномерной задачи Стефана, можно считать выбор αудовлетворительным.Модель Л1λ ∂∂T=ρc∂tr ∂r∂Tr∂r,T (r, t0 ) = T 0 (r),r ∈ (R, R + y),r ∈ [R, R + y0 ];t > t0 ;(2.17)(2.18)109T (R, t) = T0 (t),t > t0 ;T (R + y(t), t) = T∗ , t > t0 ;dydy∂T − q = γρ , q = q3 + α ,λ ∂r R+y(t)dtdty t 0 = y 0 .(2.19)(2.20)t > t0 ;(2.21)(2.22)В модели Л1 обозначено: R — радиус цилиндра; ρ, λ, c, — средние по слоюплотность и коэффициенты теплопроводности и удельной теплоемкости морского льда соответсвенно; γ — средняя удельная теплота плавления морскогольда, (для пресного льда эта величина в параграфе 2.3 обозначалась Q); t, r— время и координата вдоль радиуса в цилиндрической системе координат;T = T (r, t) — температура льда; y = y(t) – толщина слоя льда на боковойповерхности цилиндра; q3 — радиальная составляющая осредненного по углувектора потока тепла от воды к фронту оледенения при заданной неизменнойсолености морской воды; α dydt — дополнительный осредненный по углу притоктепла к фронту оледенения, обусловленный перечисленными выше факторами; r = R + y(t) — координата фронта оледенения; y0 — толщина слоя льда вначальный момент времени t0 ; T0 (t) — заданный закон изменения температуры поверхности цилиндра; T 0 (r) — распределение температуры в слое льдав начальный момент времени; T∗ — температура замерзания морской воды.В модели Л1 условие (2.20) выражает неизменность температуры нафронте оледенения; (2.21) является модифицированным условием Стефана,выражающим баланс между потоками тепла на фронте оледенения и количеством тепла, выделяющимся при образовании льда; (2.17) — уравнение теплопроводности в слое льда; (2.18), (2.22) — начальные условия; (2.19) — граничное условие первого рода на поверхности цилиндра.Величины λ, c, ρ, T∗ , γ, α в модели Л1 считаются постоянными.
Еслидиапазон изменения температуры в законе T0 (t) большой, может возникнутьнеобходимость в учете зависимостей этих величин от температуры льда.О существовании и единственности классического решения однофазной одномерной задачи Стефана (модель Л1). Как отмечалосьв параграфе 2.3, в работе С.Л.
Каменомостской [58] доказано существованиеи единственность обобщенного решения задачи Стефана в общей постановке110(многомерность, многофазность, зависимость коэффициентов от температуры) при определенных требованиях на гладкость и ограниченность функций.Из этих доказательств следует, что если классическое решение задачи Стефана существует, то оно совпадает с обобщенным и, следовательно, оно единственно. В работах Ф.П. Васильева [60] и Дугласа [170] доказано существование классического решения одномерной однофазной задачи Стефана. Такимобразом, для модели Л1 решение существует и единственно при ограниченности величины потока q3 и при непрерывности и ограниченности функцийT0 (t) и T 0 (r).Оценка максимальной толщины y∗ слоя льда в модели Л1При неизменной температуре T0 (t) = T0 < T∗ поверхности цилиндратолщина слоя льда монотонно увеличивается со временем до максимальнойвеличины y∗ в равновесном состоянии при∂∂t= 0.
Модифицированное условиеСтефана (2.21) в состоянии равновесия переходит в равенствоdT − q3 = 0,λ dr R+y∗(2.23)которое совместно со стационарным вариантом уравнения (2.17) позволяетрассчитать максимальную толщину y∗ слоя льда. Из уравнения (2.17) при∂∂t= 0 следует:rdTB dr(T∗ − T0 )= B ⇒ dT =⇒ B=.drrln(1 + yR∗ )Модифицированное условие Стефана (2.23) с учетом найденного выражениядля dT преобразуется в следующее трансцендентное уравнение относительноdry∗ :(T∗ − T0 )λ− q3 = 0.(2.24)ln(1 + yR∗ )(R + y∗ )Решение уравнения (2.24) не представляет трудности, оно может быть получено методом половинного деления, методом касательных, методом хорди другими хорошо известными методами. Из уравнения (2.24) определяетсямаксимальная толщина y∗ слоя льда в модели Л1.111Если температура поверхности цилиндра убывает со временем, стремяськ постоянной величине, для оценки y∗ в качестве T0 следует взять минимальное значение температуры поверхности цилиндра.Численное решение системы уравнений модели Л1Система уравнений модели Л1 относится к классу нелинейных задач Стефана с подвижным фронтом.
Как отмечалось в параграфе 2.3, для численного решения одномерных задач стефановского типа наиболее эффективныметоды с явным выделением границы оледенения.Принцип построения схемы численного решения задачи (2.17)–(2.22), являющейся однофазной одномерной задачей Стефана, взят из работы Ф.П.Васильева [60]. Численное решение с явным выделением фронта оледенениястроится по неявной разностной схеме решения уравнения теплопроводности (2.17) с использованием итерационной процедуры решения возникающейнелинейной системы уравнений. В этом методе переменный шаг по времениτ [n+1] на (n + 1)-м временном слое определяется таким образом, чтобы слойльда за время τ [n + 1] увеличился на заданную постоянную величину h, равную шагу сетки по радиусу.
Сходимость такого метода численного решения,как и существование решения этого варианта задачи Стефана, доказаны вработе [60].Введем равномерную сетку по радиусу с шагом h, ri = R + ih, i =0, 1, . . . , N . Число N определяется как целая часть от величины (y∗ /h), гдеy∗ — максимальная толщина слоя льда при выбранных параметрах модели,которая рассчитывается из уравнения (2.24).Обозначим n — номер шага по времени; толщина слоя льда за n шагов повремени равна (y0 + nh); вводим массив шагов по времени τ [n], n = 1, . .
. , N ;τ s — величина шага по времени на (n + 1)-м временном слое в s-й итерации;после окончания итерационного процесса искомому шагу τ [n + 1] присваивается значение τ s+1 в последней итерации; tn+1 = t0 + τ [1] + τ [2] + . . . + τ [n + 1]— суммарное время нарастания льда толщиной y, (y = y0 + (n + 1)h); Tis —температура льда в i-м узле на (n+1)-м временном слое в s-й итерации, Tin+1— температура льда в i-м узле на (n + 1)-м временном слое, Tin+1 присваива-112ется значение Tis+1 в последней итерации при выполнении условия окончанияитерационного процесса.
Величины Tin , τ [n] считаются известными, величины Tin+1 , τ [n + 1] рассчитываются по следующему алгоритму.(0)Первый шаг по времени в нулевом приближении τ1 (при отсутствиислоя льда в начальный момент) может быть найден, например, следующимобразом. На первом шаге слой льда содержит два расчетных узла: i = 0 иi + 1 = 1. Положим в них температуру равной: T01 = T0 , T11 = T∗ . Модифи-цированное условие Стефана (2.21) в разностном виде записывается в видеравенства:λhT∗ − T0− q3 = (γρ + α) (0) ,hτ1из которого следует:(0)τ1 =(0)(γρ + α)h2.(λ(T∗ − T0 ) − q3 h)(2.25)Далее величина τ1 уточняется по аналогу итерационного алгоритма (пункты9)–12)), приведенного ниже.Начиная со второго шага по времени динамика оледенения рассчитывается в цикле по времени.Цикл по времени по n от 1 до N1) n := n + 1.Находится время процесса:t := 0, в цикле по i от 1 до (n − 1) выполняется:t := t + τ [i].
После этого цикла текущее время t∗ определяется равен-ством: t∗ = t + t0 .В цикле по итерациям используются следующие обозначения: τ s+1 обо-значается τ 1 , а τ s обозначается τ 0 .Перед входом в цикл по итерациям шагу по времени τ 1 присваиваетсязначение шага по времени на предыдущем временном слое:τ 1 := τ [n − 1].113Цикл по итерациям по s от 0 до s∗ , (s∗ — заданное максимальноечисло итераций.)2) s := s + 1, τ 0 := τ 1 , t := t∗ + τ 0 .Уравнение теплопроводности (2.17) аппроксимируется по неявной монотонной разностной схеме Самарского и решается методом прогонки в областиr ∈ (R, R + nh) с использованием граничных условий (2.19), (2.20).λTis − Tin−1=τ0ρ c h2hhss)(Ti+1− Tis ) − (1 −)(Tis − Ti−1) ,(1 +2ri2rii = 0, .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
