Диссертация (1145283), страница 20
Текст из файла (страница 20)
Таблицы 2.4 и 2.6 различаются толькозначениями рассчитанных величин yn , tn , τn и W . Максимальное значениетолщины слоя льда при наборе параметров 2 равно: y∗ = 0.319 м.Таблица 2.6y, см1351012.5t, час0.9758.6424.89113.11190.685τ , час0.180.581.042.573.64W , мм/час5.581.730.960.390.275Продолжение таблицы 2.6y, см15t, час17.5202530298.94 447.90 653.35 1367.79 3476.74τ , час5.036.915.5920.7890.23W , мм/час0.200.1450.100.050.01Расчет si (W ) по формуле Цурикова (2.3) параграфа 2.2 для скоростиоледенения, рассчитанной по модели Л1 при наборе параметров 2, представлен в таблице 2.7.Таблица 2.7y, м0.010.030.050.100.15 0.20W , мм/час5.581.730.960.390.20 0.10si (W ),0/0021.78 16.75 14.23 10.61 8.33 6.46Из таблицы 2.7 следует, что набор 2 можно признать удовлетворительным в рамках принятой модели Л1.
Действительно, если рассчитать среднюю120соленость sc льда вплоть до нарастания льда толщиной 20 см, определяя вкаждый момент времени соленость si (W ) по формуле Цурикова, то получимsc = 13.030 /00 при выбранной средней солености льда si = 140 /00 .Модель Л1 для набора параметров 2 дает среднюю скорость нарастанияльда от 5 до 15 см равной: 8.757 (мм/сут), это значение близко к заданнойскорости, равной 9 (мм/сут).Следует отметить, что при другом значении эффективного параметра αвеличина средней солености si , при которой весь набор параметров являетсясогласованным, будет другой.Пример.Покажем, как может быть найден другой согласованныйнабор параметров 2а для модели Л1, который приводит к меньшей скорости нарастания льда, чем при наборе параметров 2. Допустим, из эксперимента известно, что эта скорость должна быть меньше, например, равной2.56 (мм/сут).
Уменьшение скорости нарастания льда в модели Л1 можнообеспечить за счет увеличения параметра α и за счет уменьшения среднейсолености нарастающего льда и соответствующего изменения значений средних по слою теплофизических характеристик льда. Проведенные численныеэксперименты по модели Л1 показали, что добиться заданной скорости оледенения 2.56 (мм/сут) за счет изменения только эффективного параметраα невозможно. Действительно, при увеличении α в 5 раз (при сохранениисредней солености, как в наборе 2, равной sc = 140 /00 ), средняя скорость оледенения достигает требуемого значения, однако, рассчитанная при таком наборе параметров средняя соленость оказывается равной sc = 8.8470 /00 вместоsc = 140 /00 , т.е.
набор средних по слою теплофизических характеристик льдастановится несогласованным. Аналогично нельзя добиться заданной скорости оледенения 2.56 (мм/сут) только за счет уменьшения средней солености,сохранив прежнее значение α, так как и в этом случае приходим к несогласованному набору теплофизических характеристик льда.
Поэтому, оценив необходимое увеличение величины α, далее надо найти значение средней солености, при котором весь набор параметров является согласованным. Проведенные расчеты по модели Л1 позволили найти согласованный набор параметров2а, который обеспечивает требуемую скорость нарастания морского льда. В121этом наборе при α1 = 5.3 α средняя соленость оказалась равной sc = 90 /00 .Для этого значения солености теплофизические характеристики нарастающего льда в диапазоне температур от T∗ = 271.236 K до T = 265.236 K (впринятых единицах измерения) равны:γ = 315500, ρ = 930, c = 2200, λ = 2.108136.Таким образом, набор параметров 2а равен:q3 = 31.15182 Дж/(c · м2 ),T∗ = 271.236 K,T0 (t) = (T∗ − 6) К,R = 0.67 м, γ = 315500 Дж/кг, ρ = 930 кг/м3 ,c = 2200 Дж/(кг · K), λ = 2.108136 Вт/(м · K), α1 = 2471047.686 кДж/м3 .Динамика оледенения для набора параметров 2а, рассчитанная по моделиЛ1, представлена в таблице 2.8.Таблица 2.8y,см13510t,час3.41830.22386.876391.941τ ,часммW , час0.6272.0153.6088.8381.5930.4960.2770.113Продолжение таблицы 2.8y,смt,часτ ,часммW , час12.51517.520657.731 1025.163 1524.715 2202.47612.42016.99423.03131.3340.0810.0590.0430.032Средняя скорость нарастания льда от 5 до 15 см в соответствии с представленным расчетом для набора параметров 2а равна: 2.558 (мм/сут), т.е.совпадает с требуемой скоростью оледенения.
Покажем, что набор параметров 2а является согласованным. В таблице 2.9 представлен расчет si (W )по формуле Цурикова (2.3) параграфа 2.2 при солености морской водыSw = 350 /00 для скорости оледенения, рассчитанной по модели Л1 при наборепараметров 2а.122Таблица 2.9y, см13W , мм/час1.5930.496si (W ), /00051015200.277 0.113 0.059 0.03216.160 11.329 9.212 6.512 4.952 3.789Из таблицы 2.9 следует, что средняя соленость sc льда вплоть до нарастания льда толщиной 20 см, равна sc = 8.660 /00 , т.е.
близка к выбранномузначению солености si = 90 /00 .Приведенный пример демонстрируют, что использование в модели Л1модифицированного условия Стефана и предложенная методика выборасредней солености нарастающего морского льда и его теплофизических характеристик позволяют при наличии данных о средней скорости нарастания льда рассчитать процесс динамики оледенения цилиндрической поверхности в морской воде разной солености в широком диапазоне условий.Подтверждением адекватности модели Л1 должно служить совпадениевычисленных по модели Л1 и измеренных в эксперименте значений толщинслоя льда в заданные моменты времени.Примем набор параметров 2 для модели Л1 эталонным. В параграфе 2.7представлены расчеты тестовых задач по модели Л1 для эталонного наборапараметров и исследована чувствительность модели Л1 к вариации параметров.2.4.3.
Квазистационарное приближение, численное решениеВ квазистационарном приближении предполагается, что распределениетемпературы в слое льда стационарное, соответствующее мгновенным граничным значениям температуры. Стационарное распределение температурыв цилиндрической задаче является логарифмическим по r. Запишем квазистационарную модель оледенения цилиндра.Модель Л1.1T (r, t) = A(t) + B(t) ln r,r ∈ (R, R + y),T (r, t0 ) = T 0 (r),r ∈ (R, R + y0 );t > t0 ;(2.33)(2.34)123T (R, t) = T0 (t),t > t0 ;T (R + y(t), t) = T∗ , t > t0 ;dy∂T dyλ − q = γρ , q = q3 + α ,∂r R+y(t)dtdty t 0 = y 0 .(2.35)(2.36)t > t0 ;(2.37)(2.38)Перейдем к безразмерной форме модели Л1.1.
Введем характерные значения rx , tx и безразмерные величины по формулам: y ′ = y/rx , r′ = r/rx , t′ =t/tx , R′ = R/Rx .Положим, что температура поверхностицилиндра остается неизменной:из распределения температурыT0 (t) = T0 . Найдем производную ∂T∂r R+y(t)(2.33) и подставим полученное выражение в модифицированное условие Стефана (2.37), перейдем к безразмерным величинам, в результате получим следующее обыкновенное дифференциальное уравнение относительно безразмерной толщины слоя льда y ′ :dy ′a=−bdt′(R′ + y ′ ) ln(1 + y ′ /R′ )(2.39)с начальным условиемy ′ t′ = y0′ .(2.40)0Замечание.В начальном условии (2.40) y0′ не может быть равнымнулю, так как в этом случае производнаяdy ′dt′в уравнении (2.39) равна бес-конечности. Если в момент времени t′0 лед отсутствовал, квазистационарнаямодель Л1.1 возможна спустя малый интервал времени от t′0 до t′0 + ∆t′ .
Оценим из условия Стефана (2.37) величину образовавшегося льда y˜0 ′ за время∆t. Из (2.37) для размерных величин следует приближенное равенство:λ(T∗ − T0 )y˜0− q3 = (γρ + α) .y˜0∆tВ этом квадратном относительно y˜0 уравнении физический смысл имеет только положительный корень, равный:s2q3 ∆tλ(T∗ − T0 ) ∆tq3 ∆t+.+y˜0 = −2(γρ + α)2(γρ + α)(γρ + α)124Переходя от размерных величин y˜0 , t0 + ∆t к безразмерным y˜0 ′ , t′0 + ∆t′ ,получаем искомое начальное условие для уравнения (2.39):y ′ t′ +∆t′ = y˜0 ′ .(2.40∗ )0В уравнении (2.39) безразмерные комплексы a, b определены равенствами:a=λtx (T∗ − T0 ),rx2 (γρ + α)b=q3 t x.(γρ + α)rx(2.41)Обыкновенное дифференциальное уравнение (2.39) с начальным условием (2.40) (или с начальным условием (2.40∗ )) не имеет явного аналитическогорешения.
Численное решение уравнения (2.39) может быть найдено, например, методом Рунге-Кутты.Для набора 2 (2.32) параметров задачи при значениях характерных величин rx = 0.01 м, tx = 3600 с, комплексы a и b, входящие в уравнение (2.39),равны: a = 0.5802, b = 0.0151. Толщина равновесного значения слоя льда,как следует из решения трансцендентного уравнения (2.24), в рассматриваемой задаче равна: y∗ = 0.319055 м.Результаты численного решения уравнения (2.39) при неизменной тем-пературе цилиндра с начальным условием (2.40) методом Рунге-Кутты 4-гопорядка точности представлены на рисунке 2.1. По оси абсцисс на рисунке2.1 отложено время в сутках, по оси ординат — толщина слоя льда (в сантиметрах) на внешней поверхности цилиндра.3530y, см2520151050020406080100120140t, сутРисунок 2.1 – Динамика оледенения при постоянной температуреповерхности цилиндра.125Алгоритм численного решения системы (2.33)–(2.38) обобщается на переменную температуру цилиндра.
На рисунке 2.2 представлено возможноеповедение температуры T0 (t) цилиндра, представляющее интерес при моделировании морского газопровода. Эта зависимость аппроксимируется следующей функцией:s1+ s3 .s2 + tЗдесь s3 — константа (в Кельвинах), равная значению температуры T0 (t)T0 (t) =на бесконечности; t (t > t0 ) — текущее безразмерное время; s1 — константа (в Кельвинах); s2 — безразмерная константа.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
