Диссертация (1145283), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Началь-ная величина y0 , рассчитанная по формуле (2.89) при τ = 10 секунд, равна:y0 = 0.00335 мм.В таблице 2.13 представлен расчет этого варианта процесса оледенениягазопровода с многослойной стенкой по модели ЛЛ.11. Наряду с толщинойслоя льда y (в миллиметрах) для тех же моментов времени приведены значения температуры газа T0 (t) на внутренней поверхности газопровода и температуры второго слоя T2 (R2 , t) на внешней поверхности (температура указанав Кельвинах).Таблица 2.13y, мм0.99062.0383.0244.0075.0367.018t, час12.07816.8020.68924.327.91234.856T0 (t), K267.216266.60266.257 266.016 265.830 265.556T (R2 ), K 271.213 271.182 271.150 271.117 271.083 271.015Продолжение таблицы 2.13y, мм10.01912.99115.01220.00125.000630.056t, час44.30153.74560.13475.96792.078108.745T0 (t), K265.309 265.140 265.053 264.895 264.787 264.707T (R2 ), K 270.912 270.811 270.744 270.583 270.430 270.282Продолжение таблицы 2.13y, мм40.00270.01080.03990.021t, час142.912 179.578 218.467 259.856304.30351.523T0 (t), K50.04760.042264.599 264.527 264.477 264.439 264.410 264.387T (R2 ), K 270.011 269.764 269.540 269.336 269.149 268.977145Представляет интерес сравнение динамики оледенения при законе поведения температуры газа (2.84) по трем моделям: нестационарной модели ЛЛ,приближенной нестационарной модели ЛЛ.11 и по квазистационарной модели ЛЛ.1, в которой предполагается, что не только в слое льда, но и во всехслоях обшивки газопровода реализуются квазистационарные распределениятемпературы.Расчеты по перечисленным моделям для закона поведения температурыгаз (2.84) при n1 = 194634.723 (c · K),n2 = 21834.7233 (c), n3 = 264.236 (K)для набора параметров 5 приведены в таблицах 2.13 – 2.15.
В таблице 2.13представлен расчет по модели ЛЛ.11, в таблице 2.14 — по модели ЛЛ, втаблице 2.15 — по модели ЛЛ.1.Таблица 2.14y,мм23457101315t,час16.871 20.783 24.421 27.912 34.632 44.368 53.934 60.286T0 (t),K266.593 266.250 266.01 265.827 265.56 265.308 265.137 265.051T (R2 ),K 271.190 271.153 271.12 271.085 271.017 270.914 270.813 270.746мм 0.2087 0.255 0.275 0.286 0.3006 0.311 0.3145 0.315W, часПродолжение таблицы 2.14y,мм2025304050607080t,час76.235 92.441 109.024 143.597 180.339 219.506 261.309 305.936T0 (t),K264.893 264.785 264.706 264.597 264.526 264.476 264.438 264.409T (R2 ),K 270.585 270.432 270.286 270.014 269.768 269.544 269.340 269.153мм 0.312 0.306 0.298 0.282 0.265 0.248 0.232 0.218W, часИз проведенных расчетов следует, что в общей задаче моделированиятранспортировки газа по морским газопроводам при расчете теплообмена газа с окружающей средой при наличии оледенения внешней поверхности сдостаточным основанием можно использовать приближенную модель ЛЛ.11и квазистационарную модель ЛЛ.1 в качестве модели блока Б.Качественные критерии допустимости перехода от нестационарной модели оледенения многослойной области к ее квазистационарному варианту146приведены далее в параграфе 2.6 в «Замечание о числе Стефана и качественный анализ допустимости перехода к квазистационарной модели в задачахоледенения многослойных областей в морской воде».Таблица 2.15y, мм2.063.054.04t, час 16.808 20.698 24.3085.077.1310.0527.91834.85844.308Продолжение таблицы 2.15y, мм15.0520.0325.0330.0940.0350.07t, час 60.138 75.968 92.078 108.748 142.918 179.578Квазистационарная модель ЛЛ.1В квазистационарном варианте модели ЛЛ распределения температурыв слоях обшивки и в толще льда в каждый момент времени считаются логарифмическими по r.Tk (r, t) = Ak (t) + Bk (t) ln r,t > t0 ,k = 1, 2, 4.(2.90)Зависимость температуры от времени в квазистационарном приближении обусловлена возможной зависимостью от времени граничного условия навнутренней поверхности цилиндра T0 (t) и зависимостью от времени толщиныслоя льда y(t).
Качественные и количественные оценки допустимости использования квазистационарного приближения в задаче оледенения многослойного цилиндра приведены далее в параграфе 2.6. Коэффициенты Ak (t), Bk (t)определяются из условий (2.55), (2.56), (2.59), (2.62) модели ЛЛ и выражаются через толщину слоя льда y = y(t) и параметры модели следующимобразом:B1 =λ1αo R+ lnR1RT∗ − T0 (t)R2+ λλ12 ln R+1λ1λ4ln RR2 +y2,λ1λ1, B2 = B1 ,αo Rλ2λ1λ1B4 = B1 , A4 = T∗ − B1 ln(R2 + y(t)),λ4λ4A1 = T0 (t) − B1 ln R + B1(2.91)(2.92)147λ1λ1R1(2.93)+ B1− B1 ln R1 .Rαo Rλ2Модифицированное условие Стефана (2.63) для логарифмического распреA2 = T0 (t) + B1 lnделения температуры в толще льда приводит к следующему обыкновенномудифференциальному уравнению относительно y(t):λ4B4dydy− q = γρ4 , q = q3 + α ,R2 + y(t)dtdty t 0 = y 0 .t > t0 ,(2.94)(2.95)Перейдем к безразмерным переменным (кроме температуры), введя характерные величины rx , tx .
Расчет динамики оледенения по модели ЛЛ.1 сводится к решению следующего обыкновенного дифференциального уравнения(штрихи у безразмерных величин для облегчения записи опущены):dya(T∗ − T0 (t))=dtR2 (1 + Ry2 )(d + ln(1 +yR2 ))−b(2.96)с начальным условием (2.95), записанном в безразмерной форме.В уравнении (2.96) комплекс a имеет размерность 1/град , комплексыb, d — безразмерные; a, b, d выражаются через характерные величины и параметры задачи по формулам:a=λ4 tx,rx2 (γρ4 + α)b=q3 t x,(γρ4 + α)rxd=λ4λ4 R1 λ4 R2+ ln+ ln . (2.97)αo R λ1R λ2 R1Комплекс b совпадает с аналогичным комплексом, введенным в параграфе2.4 (формула (2.41)).
Комплекс a с точностью до обозначений и множителятакже совпадает с введенным ранее комплексом в параграфе 2.4 (формула(2.41)). Комплекс d отражает влияние слоев обшивок на динамику оледенения. Численное решение уравнения (2.96) с начальными данными (2.95) длялюбого закона T0 (t), представляющего практический интерес, не составляеттрудности и может быть получено так же, как и в п. 2.4.3 параграфа 2.4,например, методом Рунге-Кутты. Результат расчета варианта динамики оледенения по этому уравнению был приведен выше в таблице 2.12.По найденной зависимости y(t) расчет распределений температуры вквазистационарном приближении для слоев обшивок и слоя льда проводится148по уравнениям (2.90), которые с учетом найденных выражений для коэффициентов Ak , Bk приводят к следующим выражениям:T1 (r, t) = T0 (t) + B1 ln(r/R) + B1T2 (r, t) = T0 (t) + B1 ln(R1 /R) +λ1,αo Rr ∈ (R, R1 );λ1λ1B1 ln(r/R1 ) + B1,λ2αo Rr ∈ (R1 , R2 );λ1B1 ln((R2 + y(t))/r), r ∈ (R2 , R2 + y(t));(2.5.2)λ4величина B1 = B1 (y(t)) в этих формулах определена уравнением (2.91).
ИзT4 (r, t) = T∗ −найденных зависимостей Tk (r, t), (k = 1, 2, 4) следует, что температура в любой момент времени является монотонно возрастающей по r функцией, таккак величина B1 положительна при условии T0 (t) < T∗ .Расчет максимальной толщины слоя льда наповерхности многослойного цилиндра в морской водеЕсли температура внутренней поверхности цилиндра постоянна и нижетемпературы замерзания морской воды: T0 (t) = T0 < T∗ , или если тем-пература внутренней поверхности цилиндра стремится с течением временик постоянной величине, ниже температуры замерзания морской воды, то,как показывают расчеты по нестационарной модели теплообмена, начинаяс некоторого момента времени, профили распределения температуры в слояхтаковы, что возникают условия образования слоя льда.
Толщина слоя льдасо временем увеличивается, а скорость оледенения стремится к нулю. Приэтом в состоянии равновесния (при∂∂t= 0) значение толщины слоя льда y∗достигает максимального (равновесного) значения. Модифицированное условие Стефана (2.63) в состоянии равновесия переходит в равенство:dT4 − q3 = 0.λ4dr R2 +y∗Это равенство совместно со стационарными вариантами уравнений теплопроводности (2.53), (2.57), (2.64) и остальными условиями модели ЛЛ позволяетрассчитать максимальную толщину y∗ слоя льда в многослойной задаче.B1B4dT4 =λ.=λλ414dr R2 +y∗(R2 + y∗ )(R2 + y∗ )149Из модифицированногоусловия Стефана с учетом этого выражения дляλ4 dT4 и выражения для B1 (2.91) получается трансцендентное уравнеdr R +y2∗ние относительно размерной величины y∗ — равновесной толщины слоя льдана внешней многослойной стенке цилиндра в морской воде:(R2 + y∗ )( αλo4Rλ4 (T∗ − T0 )− q3 = 0.R2 +y∗R2+ λλ14 ln RR1 + λλ42 ln R+ln)R21(2.5.2.∗ )В уравнении (2.5.2.∗ ) все величины размерные.
Расчет величины y∗ входитв алгоритм численного решения, приведенный в п. 2.5.1. По величине y∗ ипо значению шага h по радиусу определяется максимальная длина массивовтемператур в слое льда.2.5.3. Приближение тонкого слоя (модель ЛЛ.2),аналитические решенияУравнение (2.96) допускает аналитическое решение, если отношение тол-щины слоя льда к внешнему радиусу цилиндра мало: (z =yR2<< 1). Найдемэти решения для T0 = const и для T0 (t) = T0 − m t.
В первом приближении помалой величине z знаменатель первого слагаемого в правой части уравнения(2.96) преобразуется следующим образом:R2 (1 + z)(d + ln(1 + z)) ≈ R2 (1 + z)(d + z) ≈ R2 (d + z(1 + d)).Уравнение (2.96) в этом приближении преобразуется в уравнение:m3 (T∗ − T0 (t))dz=− m4dtD+z(2.98)с начальным условиемy0z t 0 = z 0 =.R2Константы m3 , m4 , D в уравнении (2.98) равны:m3 =a,R22 (1 + d)m4 =b,R2(2.99)D=d.1+d(2.100)Величины m4 и D — безразмерные, величина m3 имеет размерность величины a, т.е. 1/град.
Константы a, b, d определены равенствами (2.97).150ЛЛ.2. I. Пусть T0 (t) = T0 = const. Уравнение (2.98) в этом случаеинтегрируется, решение задачи Коши (2.98), (2.99) можно представить в видеследующего трансцендентного уравнения относительно y:R2 − m5 y 0(y − y0 ) m3 (T∗ − T0 )+ln,t − t0 = −R2 m4m24R2 − m5 ym4,m5 =m3 (T∗ − T0 ) − m4 D(2.101)комплексы m4 , D, m5 и произведение m3 (T∗ − T0 ) являются безразмерными.Уравнение (2.101) является трансцендентным уравнением относительно безразмерной толщины слоя льда y, оно позволяет найти зависимость y(t), т.е.рассчитать динамику оледенения многослойного цилиндра в приближениитонкого слоя (модель ЛЛ.2. I).Приведем уравнение (2.101) в размерном виде, выразив комплексыm3 , m4 , D, m5 в соответствии с формулами (2.100) и (2.97) через параметры задачи.
Обозначим размерные величины y, R2 и t через ỹ, R̃2 и ỹ.(ỹ−y˜)γ̃λ(T−T)γ̃Z−(1+d)qy˜04∗030˜t̃ − t˜0 = −,(2.101)+lnq3q32 (1 + d)Z − (1 + d) q3 ỹγ̃ = γρ4 + α,d=λ4 R1 λ4 R2λ4lnln ,++αo R λ1Rλ2 R1Z = λ4 (T∗ − T0 ) − d q3 R̃2 .ЛЛ.2. II. Пусть T0 (t) = T0 − m t. Положим u = D + z и преобразуемуравнение (2.98):du aa − cc t=− bb,dtuконстанты aa, bb, cc в уравнении (2.102) равны:aa = m3 (T∗ − T0 ),bb = m4 ,cc = −m3 m,(2.102)(2.103)начальные данные для переменной u запишутся:u0 = z 0 + D =y0+ D.R2(2.104)151Уравнение (2.102) с точностью до обозначений и величин aa, bb, cc совпадаетс дифференциальным уравнением (2.46) параграф 2.4.
Оно допускает аналитическое решение и интегрируется аналогично уравнению (2.46) параграф2.4. Величина ∆ = 4cc − bb2 удовлетворяет условию: ∆ < 0, так как при по-нижении температуры внутренней поверхности цилиндра выполняется условие m > 0 в законе поведения температуры и константа cc, определеннаяравенством (2.103), удовлетворяет условию cc < 0. Решение задачи Коши(2.102), (2.104) при выполнении условия ∆ < 0 записывается в виде следующего трансцендентного уравнения относительно величины x, связанной с uи t равенством: x = (aa − cc t)/u.xx0x20 − bb x0 + ccx2 − bb x + cc1/2 2x − d22x0 − d22x0 − d32x − d3d4=aa − cc t0, △ = 4cc − bb2 < 0, d1 = aa/cc,x0 =u0pppd2 = bb + −△, d3 = bb − −△, d4 = bb/(2 −△).t − d1,t0 − d1(2.105)(2.106)Величины d1 , d2 , d3 , d4 , △ выражаются через константы aa, bb, cc, кото-рые определяются физическими параметрами задачи и характерными величинами по формулам (2.103), (2.100), (2.97).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
