Диссертация (1145283), страница 25
Текст из файла (страница 25)
Уравнение (2.105) позволяет длямодели ЛЛ.2. II. рассчитать толщину слоя льда y(t) по найденной зависимости x(t) в соответствии с равенством:y(t) = R2 (aa − cc t)/x(t) − R2 D.(2.107)Распределения температуры в слоях обшивки газопровода и в толщельда рассчитываются по уравнениям (2.5.2) с использованием найденной зависимости y(t) (2.107).По алгоритму численного решения системы уравнений модели ЛЛ, поалгоритму численного решения ее приближенного варианта ЛЛ.11 и квазистационарного варианта ЛЛ.1, по аналитическим решениям (2.101), (2.105) –(2.107) составлены программы «ЛЛ», «ЛЛ.11», «ЛЛ. К» и «ЛЛ. А», вошедшие в программный комплекс «Лед». По этим программам был рассчитан ряд152тестовых задач по динамике оледенения многослойного цилиндра в морскойводе.
Часть результатов и выводы приведены далее в параграфе 2.7.2.6. Плоская задача оледенения многослойной областив морской воде, численные и аналитические решенияОценим влияние геометрического фактора на динамику оледенения вморской воде. С этой целью рассмотрим задачу оледенения плоской многослойной области в плоском случае, одна из граней которой граничит с морской водой. Закон изменения температуры T0 (t) на внешней грани (не соприкасающейся с водой) считается известным.Ограничимся нестационарной одномерной моделью процессов, x — вертикальная координата вдоль нормали к поверхности, направленной в областьморской воды.Одномерная модель оледенения многослойной области в плоском случаепри сделанных предположениях имеет следующий вид.Модель Л2∂ 2 T1∂T1= λ1 2 ,ρ1 c 1∂t∂xx=0:x = δ1 :∂ 2 T2∂T2= λ2 2 ,ρ2 c 2∂t∂xt > t0 ,x = δ1 + δ2 :λ1∂T1;∂x∂T2∂T1= λ2;∂x∂xx ∈ (δ1 , δ1 + δ2 ),t > t0 ;T2 (x) = T20 (x);T2 = T4 ,λ2(2.108)(2.109)−αo (T0 (t) − T1 ) = λ1T1 = T2 ,t = t0 ,t > t0 ;T1 (x) = T10 (x);t = t0 ,t > t0 ,x ∈ (0, δ1 ),∂T2∂T4= λ4;∂x∂x(2.110)(2.111)(2.112)(2.113)(2.114)153∂T4∂ 2 T4ρ4 c 4= λ4 2 ,∂t∂xx ∈ (δ1 + δ2 , δ1 + δ2 + y(t)),t = t0 ,t > t0 ,y = y0 ,T4 (x) = T40 (x);x = δ1 + δ2 + y(t),dy∂T4 − q = γ ρ4 ,λ4∂x δ1 +δ2 +ydtt > t0 ;T4 = T∗ ;q = q3 + αdy, t > t0 .dt(2.115)(2.116)(2.117)(2.118)Здесь δ1 , δ2 — толщины первого и второго слоев, индексы 1, 2 соответствуют областям первого и второго слоя соответственно; индекс 4, как и впараграфе 2.5, относится к области слоя льда; λk , ρk , ck — коэффициент теплопроводности, плотность, удельный коэффициент теплоемкости материалаk-й области соответственно, Tk (x, t) — распределение температуры в k-й области, Tk0 (x) — начальное распределение температуры в k-й области, k = 1, 2, 4;γ — эффективная теплота плавления морского льда; x = δ1 + δ2 + y(t) — координата фронта оледенения; α — эффективный параметр, который как ив параграфах 2.4, 2.5 характеризует дополнительный приток тепла от водык фронту оледенения в модифицированном условии Стефана (2.118); y0 —толщина слоя льда в начальный момент времени t0 .Модель Л2 очевидным образом обобщается на большее число слоев.
Величины λ4 , c4 , ρ4 , T∗ , γ, α в модели Л2, так же, как и в модели ЛЛ, считаютсяпостоянными.Алгоритм численного решения плоской нестационарной задачи (2.108)–(2.118) с явным выделением фронта фазового перехода аналогичен с точностью до геометрии алгоритму решения задачи динамики оледенения многослойной цилиндрической области, который достаточно подробно представленв параграфе 5 этой главы, поэтому здесь он опущен. Выпишем решение плоской задачи (2.108)–(2.118) в квазистационарном приближении.Модель Л2.1. Положим, что коэффициент теплопередачи αo велик настолько, что граничное условие (2.110) может быть записано в виде граничного условия первого рода: T1 = T0 (t). Пусть распределения температуры154в слоях и в толще льда являются квазистационарными, т.е.
линейными поx, соответствующими решениям стационарных уравнений теплопроводностипри заданных температурах на поверхности x = 0 и на фронте оледененияx = δ1 + δ2 + y:Tk (x, t) = Ak (t) + Bk (t)x,t > t0 ,k = 1, 2, 4.(2.119)Коэффициенты Ak (t), Bk (t) — явные функции y(t), которые определяются изграничных условий и условий согласования на стыке слоев.A1 = T0 (t), A1 + B1 δ1 = A2 + B2 δ1 , λ1 B1 = λ2 B2 , λ2 B2 = λ4 B4 ,A2 + B2 (δ1 + δ2 ) = A4 + B4 (δ1 + δ2 ), A4 + B4 (δ1 + δ2 + y) = T∗ .(2.120)Выражения для Ak (t), Bk (t) имеют вид:B1 =T∗ − T0 (t),δ1 + δ2 λλ21 + y λλ41A2 = T0 (t) + (B1 − B2 )δ1 , B4 =A1 = T0 (t),λ2λ1B2 = B1 ,λ4λ4B2 =λ1B1 ,λ2A4 = T∗ − B4 (δ1 + δ2 + y).(2.121)Модифицированное условие Стефана (2.118) для линейного распределения температуры в толще льда приводит к следующему обыкновенномудифференциальному уравнению относительно y(t):λ4 B4 − q = γρ4dydy, q = q3 + α ,dtdty t 0 = y 0 .t > t0 ,(2.122)(2.123)Перейдем к безразмерным переменным (кроме температуры), введя характерные величины xx , tx .
Расчет динамики оледенения по модели Л2.1 сводится к решению следующего обыкновенного дифференциального уравнения(штрихи у безразмерных величин опущены):a(T∗ − T0 (t))dy−b=dty + d0с начальным условием (2.123), записанном в безразмерной форме.(2.124)155В уравнении (2.124) комплекс a имеет размерность 1/град , комплексыb, d0 — безразмерные; a, b, d0 выражаются через характерные величины ипараметры модели по формулам:a=λ4 tx2xx (γρ4 +α),b=q3 t x,(γρ4 + α)xxd0 =λ4λ4δ1 + δ2 .λ1λ2(2.125)Комплексы a, b совпадают с аналогичными комплексами, введенными в параграфе 2.4 (формула (2.41)) с точностью до замены rx на xx .
Комплекс d0отражает влияние слоев на динамику оледенения многослойной области вплоском случае, δ1 , δ1 — безразмерные толщины слоев.Обыкновенное дифференциальное уравнение (2.124) в общем случае изменения температуры внешней поверхности (не соприкасающейся с водой) позакону T0 (t) может быть решено численно, например, методом Рунге-Кутты.В случае постоянной температуры T0 (t) = T0 и в случае линейного понижения температуры T0 (t) = T0 − m t дифференциальное уравнение (2.124)допускает аналитическое решение.
По найденной зависимости y(t) расчетраспределений температуры в обеих слоях и в толще льда проводится поуравнениям (2.119) – (2.121).Приведем решения обыкновенного дифференциального уравнения(2.124) с начальным условием (2.123) для перечисленных законов изменениятемпературы внешней поверхности, не соприкасающейся с водой.Л2.1.I.
T0 (t) = T0 .В работах, посвященных морским льдам, обычно используется размерный вид уравнений модели нарастания льда. Уравнение (2.118) в размерныхвеличинах yf , tf , af , bf , d, δ1f δ2f запишется:dyfaf=− bf .dtfyf + dРазмерные константы af , bf , d равны:af =λ4 (T∗ − T0 ),(γρ4 + α)bf =q3,(γρ4 + α)d=λ4λ4δ1f + δ2f .λ1λ2Константа af имеет размерность (м2 /c), константа bf — размерность (м/с),константа d — размерность (м).156Решение задачи в размерном виде записывается следующим образом:tf − tf 0(af − bf d) − bf yf 0(yf − yf 0 ) af+ 2 ln.=−bfbf(af − bf d) − bf yf(2.126)В частном случае d = 0 решение (2.126) совпадает с известным решением задачи оледенения плоскости, приведенной, например, в книге [64].
Уравнение(2.124) совсем просто интегрируется в гипотетическом случае равенства нулюпотока тепла от воды q3 и при отсутствии слоев, в размерном виде для этогоупрощенного варианта динамики нарастания льда решение записывается ввиде:qyf = yf2 0 + 2 af (tf − tf 0 ).Величинуλ4 (T∗ − T0 )tfγρ4принято называть суммо-градусами дней мороза [42], она является важнойaf tf =характеристикой эволюции морских льдов.Замечание о числе Стефана и качественный анализ допустимости перехода к квазистационарной модели в задачах оледенениямногослойных областей в морской воде. Динамика оледенения определяетсяследующими величинами:1) ui = ai /yx — характерной скоростью установления в слое льда квазистационарного распределения температуры, ai = λi /(ρi ci ) — коэффициент температуропроводности льда, yx — характерное значение толщины слояльда;2) Wx — характерной скоростью нарастания льда. Для оценки этой величины, заметим, что коэффициент af , введенный в Л2.1.I, равныйaf =λi (T∗ − T0 ) λi (T∗ − T0 ),=(γρi + α)γ ∗ ρi(γ∗ = γ + α/ρi ),имеет размерность (м2 /с), характерную для коэффициентов переноса, такихкак коэффициент температуропроводности, коэффициент диффузии и коэффициент кинематической вязкости.
Характерную скорость нарастания льдаWx можно выразить через коэффициент af следующим образом: Wx = af /yx ;157(в этом замечании все величины, относящиеся ко льду, отмечены индексом iвместо индекса 4).Покажем, что число Стефана Ste, которое для модифицированного условия Стефана записывается в видеSte =ci (T∗ − T0 ),γ∗равно отношению характерной скорости Wx нарастания льда к характерной скорости ui установления в слое льда квазистационарного распределения температуры. Действительно, из определения этих величин следует:Wxaf yxλi (T∗ − T0 ) ρi cici (T∗ − T0 )==== Ste.uiyx aiγ∗ ρi λiγ∗Квазистационарная модель оледенения для многослойной области вморской воде допустима, если характерная скорость оледенения Wx многоменьше характерной скорости um установления квазистационарного распределения температуры не только в слое льда, но и во всех слоях, т.е., есливыполняется неравенство:W x ≪ um ,um = min (u1 , u2 , ui ), u1 = a1 /δ1 , u2 = a2 /δ2 , ui = ai /yx ,где ak = λk /(ρk ck ) — коэффициент температуропроводности k-го слоя.Для набора параметров 5 параграфа 2.5 характерные скорости uk и скорость оледенения Wx в (м/с) при yx = 0.05 м равны:u1 = a1 /δ1 = 0.133 · 10−3 , u2 = a2 /δ2 = 0.666 · 10−5 , ui = ai /yx = 0.220 · 10−4 ,Wx = af /yx ,af = 0.2107 · 10−7 → Wx = 0.4215 · 10−6 ,т.е.
минимальную скорость установления квазистационарного распределениятемпературы имеет слой 2 и эта скорость только на порядок больше характерной скорости Wx оледенения в рассматриваемой задаче. Как было отмечено впараграфе 2.5, в начале процесса оледенения, когда реальная скорость оледенения больше, чем характерная скорость Wx , наблюдается отклонение от квазистационарного приближения.
Таким образом, в задачах оледенения многослойных областей (плоских или цилиндрических) для допустимости квазистационарного приближения малости одного числа Стефана не достаточно,158необходима малость всех безразмерных комплексов B1 , B2 , Bi , равных:Bk =Wxukk = 1, 2, i.Здесь, как и параграфе 2.5, при наборе параметров 5 величины введенныхбезразмерных комплексов B1 , B2 , Bi = Ste равны:B1 =Wx= 0.00316,u1B2 =Wx= 0.06323,u2Bi = Ste =Wx= 0.01916.uiПоэтому, несмотря на малость числа Стефана, расчеты по нестационарной иквазистационарной моделям начала процесса оледенения отличаются и этосвязано с тем, что величина B2 не мала и распределение температуры вовтором слое (слое бетона) далеко от квазистационарного в начале процессаоледенения [67].Л2.1.II.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
