Диссертация (1145283), страница 13
Текст из файла (страница 13)
Поэтому уменьшение температуры Tzo допустимо лишь до определенного предела.Из расчетов, представленных на рисунках 1.13, 1.II, следует, что плотность газа ведет себя немонотонно на начальном участке трассы. Такой эффект возникает в результате интенсивного теплообмена с окружающей средойпри большой разности температур (T ∗ −T (z)) на начальном участке газопровода.
Эффект тем заметнее, чем больше температура Tzo входа. Тем не менее,несмотря на относительно большее уменьшение скорости потока при болеевысоких температурах Tzo , суммарное падение давления меньше при болеенизких температурах Txo . Например, при Tzo = 323.15 K (pzo −p(z = 75км)) =6.94 атм, тогда как при Tzo = 303.15 K (pzo − p(z = 75 км)) = 6.58 атм.
Пред-ставленный анализ показывает, что на начальном участке трассы целесообразно стремиться к максимально возможному увеличению теплообмена между газом и окружающей средой. Этого можно добиться, например, за счетвыбора материала обшивок с большими коэффициентами теплопроводности.Заключение. На основе проведенного анализа закономерностей поведения давления, скорости и температуры смеси газов, транспортируемой поморскому газопроводу при сверхвысоких давлениях, предложена методикарасчета величины предельного давления на входе в газопровод и рассмотрена зависимость предельного давления от температуры. Расчеты по предло-79женной математической модели позволили выявить особенности поведенияплотности и скорости газа на начальном участке газопровода и предложитьпути повышения эффективности функционирования морского газопровода всеверных морях.1.7. Идентификация параметров модели установившегосянеизотермического течения газа по морскимгазопроводам, программеый комплекс «PIGTM»Задачам идентификации параметров модели посвящены многочисленные исследования.
В настоящей работе для идентификации параметров модели установившегося неизотермического течения газа по морским газопроводам при высоких давлениях используется метод квазилинеаризации нелинейных краевых задач Р. Беллмана.Адекватность математической модели определяется как самой моделью,так и точностью расчетов.
Модель установившегося неизотермического течения газа по морским газопроводам содержит такие трудно измеримые параметры, как коэффициент гидравлического сопротивления λ и суммарныйкоэффициент теплообмена газа с внешней средой β. На величины этих параметров влияют внешние условия, конструкция газопровода и режим течениягаза. Решение задачи идентификации параметров модели позволяет адаптировать ее к реальному газопроводу, поэтому их расчет в режиме реальноговремени является актуальной задачей.
Большой вклад в исследование решения задач идентификации параметров модели внесли работы А.Н. Тихонова[28], [29], Л. Льюнинга [157], E. Walter и L. Pronzato [158], Ю. Е. Аниконова[30], Р. Беллмана [31] и многих других отечественных и зарубежных ученых.В диссертации приведено решение задачи параметрической идентификации модели установившегося течения газа методом квазилинеаризации Р.Беллмана [39].
Аналогичный подход использовался в работах [5], [32]. Предполагается, что искомые коэффициенты λ и β на всем протяжении газопроводаz ∈ [0, L] можно с достаточной точностью считать постоянными.80Модель установившегося неизотермического течения газа по морскомугазопроводу (1.81)–(1.84), рассмотренная в параграфе 1.6, разрешенная относительно производныхdρ dTdz , dz ,в безразмерной форме имеет вид (для без-размерных величин использованы те же обозначения):dρf2 + f1 f3 fT= F1 (ρ, T, λ, β) ,=dz1 − f1 fρ − f1 f4 fT − f1 f5 fT(1.91)dT(f4 + f5 )(f2 + f1 f3 fT )= F2 (ρ, T, λ, β) ,= f3 +dz1 − f1 fρ − f1 f4 fT − f1 f5 fT(1.92)dλ= 0,dzdβ= 0,dzp = fp , u = 1/ρ,(1.95)p(0) = pz0 , T (0) = Tz0 .(1.96)(1.93)(1.94)Дополнительное условие:p(L) = pL , T (L) = TL .(1.97)Функции fρ , fT , fp , f1 ÷ f5 явно выражаются через искомые парамет-ры λ и β, через искомые функции ρ, T , через известные параметры моделиR, c, h, δ, cv , Q и характерные величины ρx , px , ux , lx , Tx .f1 = m1 ρ2 , f2 = m2 ρλ ,λf3 = m4 2 + m6 β(T ∗ − T ),ρpT1,f 4 = m5 2 = m5 m8− m9ρ(1 − m3 ρ)ρ(1 + m3 ρ)T 1/21,f5 = m7(1 + m3 ρ)T 1/2fρ =∂pρ(2 + m3 ρ)T,−m= m89∂ρ(1 − m3 ρ)2(1 + m3 ρ)2 T 1/2fT =∂pρρ2,= m8+ m9∂T(1 − m3 ρ)(1 + m3 ρ)T 3/281fp = m8ρTρ2,− m91 − m3 ρ(1 + m3 ρ)T 1/2pxu2x lxlxpx,m=,,m=δρ,m=,m=m1 =53x42ρx u2x4R4cv RTxρx c v T x2lx,m6 =c v R 2 ρx u xcρ2xhρx Txm7 =, m9 =, m8 =.3/21/2px2cv Txpx T xФункции F1 , F2 (правые части дифференциальных уравнений (1.91),(1.92))3cρxнепрерывны и ограниченны в области G:G:z ∈ [0, L],|ρ − ρz0 | ≤ ρ̃,|T − Tz0 | ≤ T̃ ,|λ − λ0 | ≤ λ̃,|β − β0 | ≤ β̃,если давление pz0 , найденное из уравнения состояния Редлиха–Квонга поρz0 и Tz0 , не превышает предельное давление p∗zo на входе, расчет которого приведен в параграфе 6.
Величины ρ̃ и T̃ определяются параметрами режима в каждой конкретной задаче, величина λ0 рассчитывается, например,по уравнению Коулбрука–Уайда (1.7), величина β0 находится по известнымаприорным оценкам [14], величины λ̃ и β̃ определяются в ходе численногоэксперимента для выбранных условий реализации установившегося режиматечения газа. Проверялись существование и непрерывность частных производных функций F1 и F2 по ρ, T, λ, β в области G. Явные выражения частныхпроизводных∂Fi∂ρ ,∂Fi ∂Fi ∂Fi∂T , ∂λ , ∂β ,i = 1, 2 приведены в приложении Б.
Для за-дач, в которых существование и непрерывность этих частных производныхвыполняется, решение системы (1.91)–(1.94) существует и единственно.Алгоритм идентификации параметров λ и β модели (1.81)–(1.84)Представим систему уравнений (1.91)–(1.94) в векторной форме:dȳ= F̄ (ȳ) .dz(1.98)Вектор ȳ(z) имеет компоненты: y1 =ρ(z), y2 =T (z), y3 =λ, y4 = β, вектор F̄ —компоненты: Fi (y1 , .
. . , y4 ), i = 1, . . . , 4; функции F1 , F2 заданы правыми частями уравнений (1.91), (1.92), функции F3 , F4 являются нулевыми.82Решение нелинейного уравнения (1.98) методом квазилинеаризации сводится к решению последовательности линейных задач. Линейное уравнениеотносительно вектора ȳ s+1 в (s + 1)-й итерации имеет вид:dȳ s+1= F̄ (ȳ s ) + J ȳs ȳ s+1 − ȳ s .dz(1.99)Вектор ȳ s известен из решения соответствующего линейного уравнения вs-й итерации, J ȳs — матрица Якоби, вычисленная на векторе ȳ s (z). Краевоеусловие (1.96) и дополнительное условие (1.97) записываются в виде:yis+1 z=0 = y0i , i = 1, 2,(∗)yis+1 z=L = yLi , i = 1, 2.(∗∗)Функция F̄ зависит от искомых параметров λ и β линейно. Предлагается искать функции y1s+1 (z) ≡ ρs+1 (z) и y2s+1 (z) ≡ T s+1 (z) в виде линейныхзависимостей от λs+1 ≡ y3s+1 и β s+1 ≡ y4s+1 :ȳis+1 = ai (z)λs+1 + bi (z)β s+1 + ei (z),i = 1, 2.(1.100)Функции ai (z), bi (z), ei (z) подлежат определению.
Этот подход был предложен в работе [5]. В матричной форме линейное представление (1.100) записывается следующим образом:ȳ s+1 = C s ȳ s+1 + ḡ s .Квадратная матрица 4-го порядка C s имеет вид:0 0 cs1 3 (z) cs1 4 (z)ss00c(z)c(z)2324,Cs = 0 010 0 001(1.101)(1.102)ḡ s — вектор с компонентами gis (z), i = 1, . . . , 4. Компоненты матрицы C s ивектора ḡ s выражаются через коэффициенты в линейном разложении ȳis+1(1.100):csi3 (z) = ai (z), csi4 (z) = bi (z), gis (z) = ei (z), i = 1, 2; g3s (z) = g4s (z) = 0.(1.103)83С учетом представления вектора ȳ s+1 (1.101) левая часть уравнения(1.99) преобразуется следующим образом:s+1dḡ sdC s s+1s dȳȳ+C+.dzdzdz(1.104)Из вида матрицы C s (1.102) и равенств: F3 = F4 = 0 следует, что слагаемоеs+1s dȳравно нулевому вектору.
Правая часть уравнения (1.99) для вектораCdzȳ s+1 (1.101) принимает вид:F̄ (ȳ s ) + J ȳs C s ȳ s+1 + ḡ s − J ȳs ȳ s .(1.105)Уравнение (1.99) с учетом выражений (1.104), (1.105) записывается в виде:dC s s+1 dḡ sȳ+= F̄ (ȳ s ) + J ȳs C s ȳ s+1 + J ȳs ḡ s − J ȳs ȳ s .dzdz(1.106)Уравнение (1.106) решается методом неопределенных коэффициентов, который приводит к следующей системе уравнений:dC s= J ȳs C s ,dz(1.107)dḡ s= F̄ (ȳ s ) + J ȳs ḡ s − J ȳs ȳ s .(1.108)dzСистема (1.107), (1.108) сводится к системе шести обыкновенных дифференциальных уравнений относительно неизвестных коэффициентов csij (z) и gis (z)для z ∈ [0, L].Из граничных условий (*) и из линейного представления (1.101) следуютусловия для искомых компонент матрицы C s и вектора ḡ s при z = 0:cs13 (z) = cs14 (z) = cs23 (z) = cs24 (z) = 0,g1s = y0 1 ≡ ρ(0), g2s = y0 2 ≡ T (0).∂F1∂F1∂F1dcs11ssc +c +,=dzdρ s 11∂T s 21∂λ s∂F2dcs21∂F2∂F22s=c +c +,dz∂ρ s 11∂T s 21∂λ scs11 (0) = 0, cs21 (0) = 0.(1.109)(1.110)84dcs22=dzdcs22dz=∂F1∂ρ∂F2∂ρcs12 +scs12 +s∂F1∂T∂F2∂Tcs22 +scs22 +scs12 (0) = 0, cs22 (0) = 0.∂F1∂β∂F2∂β,s,(1.111)s∂F1∂F1dg1ssg1 +g2s + (F1 )s −=dz∂ρ s∂T s∂F1∂F∂F∂F111−ρs −Ts −λs −β s.∂ρ s∂T s∂λ∂β∂F2dg2s∂F2=g1s +g2s + (F2 )s −dz∂ρ s∂T s∂F∂F∂F∂F2222ρs −Ts −λs −β s.−∂ρ s∂T s∂λ s∂β s(1.112)g1s = ρ(0) = ρz0 , g2s (0) = T (0) = Tz0 .В результате решения этой системы шести обыкновенных дифференциальных уравнений при заданных граничных условиях находятся все искомые функции csij (z) и gis (z) и, соответственно, матрица C s и вектор ḡ s дляz ∈ [0, L].Выражения для производных∂Fi ∂Fi ∂Fi ∂Fi,,,, i = 1, 2∂ρ∂T ∂λ ∂βприведены в Приложении Б, они имеют весьма громоздкий вид.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
