Диссертация (1145283), страница 10
Текст из файла (страница 10)
При наличиидвух слоев обшивки — внутреннего, состоящего из стали, и внешнего — избетона, модель записывется в следующем виде.55Модель 2r ∈ (R, R1 ), t ∈ (0, t̂ ) :1 ∂∂T1∂T1= λ1r;ρ1 c 1∂tr ∂r∂rt = 0,t ∈ (0, t̂ ),T1 (r) = T10 (r);(1.49)(1.50)r=R:−αo (T (z, t) − T1 ) = λ1∂T1;∂rr = R1 :∂T1∂T2T1 = T2 , λ1= λ2;∂r∂rr ∈ (R1 , R2 ), t ∈ (0, t̂ ) :∂T21 ∂∂T2= λ2r;ρ2 c 2∂tr ∂r∂r(1.51)t ∈ (0, t̂ ),t = 0,T2 (r) = T20 (r);r = R2 :∂T2∂T3T2 = T3 , λ2= λ3;∂r∂rr ∈ (R2 , R2 + δ∗ ), t ∈ (0, t̂ ) :∂T3∂T31 ∂ρ3 c 3r;= λ3∂tr ∂r∂r(1.52)(1.53)(1.54)t ∈ (0, t̂ ),t = 0,t ∈ (0, t̂ ),T3 (r) = T30 (r);(1.55)(1.56)(1.57)r = R2 + δ ∗ :T3 = T ∗ .(1.58)r — радиальная координата в цилиндрической системе координат (r, ϕ, z); t̂ —время начала оледенения; δ1 , δ2 — толщины первого и второго слоев обшивкигазопровода соответственно; R1 = R + δ1 ; R2 = R + δ1 + δ2 — внешний радиусгазопровода.Индексы: 1 — область первого слоя обшивки (стали); 2 — область второго слоя обшивки (бетона); 3 — область эффективного теплового погранслоя воды; δ∗ — толщина эффективного теплового погранслоя воды; T ∗ —56температура морской воды на удалении от газопровода; λi , ρi , ci , Ti0 (r) —коэффициент теплопроводности, плотность, удельный коэффициент теплоемкости и начальное распределение температуры в i-ом слое соответственно,(i = 1, 2, 3); Ti = Ti (r, t) — распределение температуры в i-м слое.Модель 2 легко обобщается на большее число слоев обшивки газопровода.В модели 2 уравнения (1.49), (1.53) и (1.56) — одномерные линейныеуравнения теплопроводности в слоях стали, бетона и в эффективном тепловом погранслое воды.
Величина δ∗ зависит от многих факторов, в частностиот донных течений и от условий контакта газопровода с донным грунтом.Оценка величины δ∗ в установившихся режимах приведена ниже. Однако до-стоверная информация о δ∗ может быть получена только из решения обрат-ной задачи. Методика решения задачи идентификации параметров моделиприведена дальше в параграфе 1.7 настоящей главы.Выражения (1.50), (1.54), (1.57) — начальные данные, которые соответствуют условию теплового равновесия в начальный момент времени, модель2 легко обобщается на другие начальные данные; (1.52), (1.55) — условия равенства температур и тепловых потоков на границах слоев. В рамках модели2 поведение температуры газа T (z, t) в граничном условии (1.51) считаетсязаданным.Как известно, с увеличением числа Рейнольдса величина αo растет ивкладом первого механизма в теплообмен газа с внешней средой можно пренебречь по сравнению с остальными механизмами передачи тепла.
Как отмечалось, характерное значение числа Рейнольдса для рассматриваемых задачсоставляет величину порядка 108 , поэтому значения αo в рассматриваемыхзадачах велики. При больших значения αo граничное условие (1.51) переходит в граничное условие первого рода:t ∈ (0, t̂ ),r=R:T1 = T (z, t).˜(1.51)Доказательство существования и единственности решения системы уравнений модели 2 выходит за рамки работы, отметим только, что оно базируется на на известном [26] доказательстве сушествования и единственностирешений линейных уравнений теплопроводности при кусочно-непрерывных57начальных функциях и при ограниченных граничных условиях. Расчет помодели 2 позволяет найти величину ω(z, t) (1.48):2 ∂T1 2q(R, t)= − λ1.ω(z, t) = −RR ∂r r=R(1.59)Модель 2 предполагает отсутствие слоя льда на внешней поверхностигазопровода.
Математическая модель теплообмена потока газа с окружающейсредой с учетом нарастающего слоя льда исследуется в параграфе 2.5 второйглавы диссертации.Алгоритм численного решения системы уравнений модели 2 понеявной разностной схемеЧисленное интегрирование системы уравнений нестационарной модели 2может быть проведено с использованием как явных, так и неявных разностных схем.
Использование явных схем накладывает дополнительное ограничение на допустимую величину шага по времени, это затрудняет переход красчету теплообмена при наличии оледенения, в котором существенно использование неявных схем, являющихся безусловно устойчивыми. Поэтому вв численном решении системы уравнений модели 2 использовалась неявнаямонотонная разностная схема Самарского [71], аппроксимирующая задачу спервым порядком точноcти по τ — шагу по времени, и (за исключением граничных условий) вторым порядком точноcти по h — шагу по радиусу.
Индексi соответствует номеру слоя i = 1, 2, 3; индекс j — номеру шага по радиусу.Узлы равномерной сетки по радиусу ri [j] определяются следующим образом:r1 [j] = R + jh, j = 0, 1, . . . , N1 ;r2 [j] = R1 + jh, j = 0, 1, . . . , N2 ;r3 [j] = R2 + jh, j = 0, 1, . . . , N3 .Значения N1 , N2 , N3 определяются как целая часть от величин (δ1 /h),(δ2 /h), (δ3 /h) соответственно. Уравнения теплопроводности (1.49), (1.53),(1.56) аппроксимируются по неявной монотонной схеме Самарского и решаются методом прогонки.58Разностные аналоги этих уравнений можно представить в видеλihTin+1 [j] − Tin [j]=((1 +)(Tin+1 [j + 1]−2τρi c i h2ri [j]−Tin+1 [j]) − (1 −h)(Tin+1 [j] − Tin+1 [j − 1])),2ri [j]j = 0, 1, . .
. , Ni ,(1.60)i = 1, 2, 3.Уравнения (1.60) приводятся к виду, используемому в методе прогонки,Ai [j] Tin+1 [j − 1] − Bi [j] Tin+1 [j] + Ci [j] Tin+1 [j + 1] = Di [j],(1.61)j = 0, 1, . . . , Ni , i = 1, 2, 3.Коэффициенты Ai [j], Bi [j], Ci [j], Di [j] рассчитываются по формулам:Ai [j] = η(1 −h),2ri [j]Di [j] = −Tin [j],η=Bi [j] = 1 + 2η,λi τ,ρi c i h 2Ci [j] = η(1 +j = 0, 1, . . . , Ni ,h),2ri [j]i = 1, 2, 3.Алгоритм решения состоит в следующем.Рассчитываются первые прогоночные коэффициенты для первого слояобшивки газопровода. Для граничного условия (1.51) они имеют следующийвид:C1 [1]P1 [2] =,Z(ν/(1 + ν))A1 [1] T (z, tn+1 ) − D1 [1]Q1 [2] =,ZZ = B1 [1] − A1 [1]/(1 + ν),ν = αo h/λ1 .˜ первые прогоночные коэффициенты дляДля граничного условия (51)первого слоя обшивки газопровода записываются в виде:C1 [1]P1 [2] =,B1 [1]A1 [1] T1n+1 [0] − D1 [1]Q1 [2] =,B1 [1]T1n+1 [0] = T (z, tn+1 ).Далее в цикле по j = 2, .
. . , (N1 − 1) рассчитываются остальные прого-ночные коэффициенты для первого слоя по формулам:P1 [j + 1] =C1 [j],B1 [j] − A1 [j] P1 [j]Q1 [j + 1] =A1 [j] Q1 [j] − D1 [j].B1 [j] − A1 [j] P1 [j]59Первые прогоночные коэффициенты для второго слоя определяются из разностного аналога условий (1.52):T1n+1 [N1 ] = T2n+1 [0],T1n+1 [N1 ] − T1n+1 [N1 − 1] =λ2 n+1(T2 [1] − T2n+1 [0]),λ1T1n+1 [N1 − 1] = P1 [N1 ]T1n+1 [N1 ] + Q1 [N1 ],T2n+1 [0] =λ2λ1 (1 − P1 [N1 ] +λ2λ1 )T2n+1 [1] +Q1 [N1 ](1 − P1 [N1 ] +λ2λ1 ),T2n+1 [0] = P2 [1]T2s [1] + Q2 [1].Из этой системы уравнений находятся выражения для первых прогоночных коэффициентов в расчете температуры второго слоя:P2 [1] =λ2λ1 (1 − P1 [N1 ] +λ2λ1 ),Q2 [1] =Q1 [N1 ](1 − P1 [N1 ] +λ2λ1 ).Далее в цикле по j = 1, .
. . , (N2 − 1) рассчитываются остальные прогоночныекоэффициенты для второго слояP2 [j + 1] =C2 [j],B2 [j] − A2 [j] P2 [j]Q2 [j + 1] =A2 [j] Q2 [j] − D2 [j].B2 [j] − A2 [j] P2 [j]Первые прогоночные коэффициенты для третьего слоя определяются из разностного аналога условий (1.55):T2n+1 [N2 ] = T3n+1 [0],T2n+1 [N2 ] − T2n+1 [N2 − 1] =λ3 n+1(T3 [1] − T3n+1 [0]),λ2T2n+1 [N2 − 1] = P2 [N2 ]T2n+1 [N2 ] + Q2 [N2 ],T3n+1 [0] =λ3λ2 (1 − P2 [N2 ] +T3n+1 [1]λ3λ2 )+Q2 [N2 ](1 − P2 [N2 ] +λ3λ2 ),T3n+1 [0] = P3 [1]T3n+1 [1] + Q3 [1].Из этой системы уравнений находятся выражения для первых прогоночных коэффициентов в расчете температуры третьего слоя:60P3 [1] =λ3λ2 (1 − P2 [N2 ] +λ3λ2 ),Q3 [1] =Q2 [N2 ](1 − P2 [N2 ] +λ3λ2 ).Далее в цикле по j = 1, .
. . , N3 − 1 рассчитываются остальные прогоночныекоэффициенты для третьего слоя:P3 [j + 1] =C3 [j],B3 [j] − A3 [j] P3 [j]Q3 [j + 1] =A3 [j] Q3 [j] − D3 [j].B3 [j] − A3 [j] P3 [j]Температуре не границе теплового погранслоя присваивается значение температуры окружающей среды:T3n+1 [N3 ] = T ∗ .По найденным прогоночным коэффициентам для теплового погранслояводы, второго и первого слоев обшивок и из условий равенства температурна стыках погранслой–второй слой, второй слой–первый слой, в обратныхциклах рассчитываются массивы температур во всех слоях на (n + 1)-ом временном слоеTin+1 [j − 1] = Pi [j] Tin+1 [j] + Qi [j],i = 3, 2, 1.(1.62)Условие начала оледененияКак отмечалось выше, модель 2 предполагает отсутствие слоя льда навнешней поверхности газопровода.
Момент времени t̂, начиная с которого всечении газопровода на внешней поверхности возникает лед, определяетсявыполнением следующих условий (1.63), (1.64):t < t̂ → T2 (R2 , t) > T∗ , t > t̂ → T2 (R2 , t) < T∗ ,∂T3 ∂T2 > λ3,λ2∂r R2 ,t̂∂r R2 ,t̂(1.63)(1.64)где T2 (r, t), T3 (r, t) — распределения температуры в слое бетона и в тепловомпогранслое воды соответственно; T∗ — температура фазового перехода вода–лед.
Необходимое условие (1.63) определяет значение температуры на внешней поверхности газопровода. Достаточное условие (1.64) следует из условияСтефана (глава 2 параграф 2.5) при стремлении к нулю толщины слоя льда61для тех сечений газопровода, для которых в начальный момент времени слояльда не было. В главе 2 показано, что при наличии слоя льда модель теплообмена газа с окружающей средой изменяется. А именно, вместо условий иуравнений (1.55)–(1.58) модель содержит условия теплового контакта на стыке бетон–лед, уравнение теплопроводности в слое льда и модифицированноеусловие Стефана на границе фазового перехода:t > t̂,r = R2 :∂T4λ4 ∂ρ4 c 4=∂tr ∂rT2 = T4 ,∂T4r,∂rt = t̂,y = y0 ,λ2∂T4∂T2= λ4;∂r∂rr ∈ (R2 , R2 + y(t)),t > t̂;T4 (r) = T40 (r);t > t̂, r = R2 + y(t) : T4 = T∗ ;dy∂T3 ∂T4 −λ=(γρ+α)λ4,34∂r R2 +y(t)∂r R2 +y(t)dtиндекс 4 — соответствует слою льда, T∗ — температура фазового переходавода-лед, α — эффективный параметр, введенный в главе 2, отражающийвлияние солености морской воды на динамику оледенения.В момент времени t = t̂ слой льда отсутствует:y(t̂) ≈ 0.
Если тем-пература внешней поверхности газопровода опустилась ниже температурызамерзания морской воды, процесс образования льда начинется при условии:dy> 0, выполнение которого эквивалентно выполнению неравенства:dt∂T4 ∂T3 λ4> λ3.(1.65)∂r R2∂r R2В силу граничного условия на стыке бетон–лед (при r = R2 ) имеем:λ2∂T2∂T4= λ4,∂r∂rследовательно, неравенство (1.65) можно записать в виде неравенства (1.64):∂T3 ∂T2 > λ3.λ2∂r R2 ,t̂∂r R2 ,t̂Модель 2 входит составной частью в модель 1.
В общем случае реше-ние системы уравнений модели 1 не расщепляется, ω(z, t) в (1.59) зависит от62T (z, t), являясь функцией (t, T (z, t), Ri , δi , λi , ρi , ci , δ∗ , T ∗ ). Решение пообщей модели 1, содержащей модель 2, приведено в главе 3.Если допустимо использовать квазистационарный вариант модели 2, вкотором все величины только параметрически зависят от времени, то интегрирование уравнений общей модели 1 существенно упрощается, так как ωявно выражается через T (z, t) и другие параметры задачи.Анализ допустимости использования квазистационарной модели теплообмена в нестационарной модели 1 является актуальной задачей, о чем свидетельствуют, например, работы [142], [154]–[156].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
