Диссертация (1145283), страница 7
Текст из файла (страница 7)
В параграфе 1.6 в тепловом уравнении (1.84) использованоуравнение состояния Редлиха–Квонга.Для разных уравнений состояния p = p(ρ, T ) уравнение движения в модели А остается без изменения, а в тепловом уравнении модели А по-разномузаписывается первое слагаемое в правой части.Тепловой поток q в общем случае для установившегося течения можетбыть представлен в виде: q = β(T ∗ − T (z)), где β — суммарный коэффициенттеплообмена газа с внешней средой, T ∗ — температура окружающей среды.Коэффициент β явно выражается через теплофизические и геометрическиепараметры газопровода ((1.69), (1.67)) или может быть найден из решения задачи параметрической идентификации модели (параграф 1.7).
Далее слагае2qRρucv в правой∗−T (z)).форме: 2β(TRρucvмоечасти теплового уравнения записывается в эквивалентной1. Уравнение Пенга–РобинсонаДля однокомпонентного газа уравнение состояния Пенга–Робинсона может быть записано следующим образом:aρ2 1 + s1 1 − (s2 T )1/2ρ R0 T−p=M − bρs 3 + s 4 ρ − s 5 ρ2233s1 = a1 + a2 ω − a3 ω 2 , s2 = Tc−1 , s3 = M 2 , s5 = b2 ,R0 T cR02 Tc2, b = b0, a0 = 0.45724,s4 = 2bM, a = a0pcpcb0 = 0.07780, a1 = 0.37464, a2 = 1.54226, a3 = 0.26992.Тепловое уравнение в этом случае преобразуется к виду:!1/2s1 s2 duaρ 1 + s1 1 − (s2 T )dTR0T=−++dzcv (M − bρ)udz(s3 + s4 ρ − s5 ρ2 )u(s2 T )1/2λu22β(T ∗ − T (z))+.+Rρucv4RcvВ безразмерной форме модель A, разрешенная относительно производныхdT dρdz , dz ,с учетом выражений для уравнения состояния и теплового урав-нения примет вид:Модель А′dρf2 + f1 fT f4=,dz(1 − f1 f ρ − f1 fT f3 )dTf3 f2 + f1 f3 f4 fT=+ f4 ,dz(1 − f1 fρ − f1 fT f3 )p = fp , u = 1/ρ,p(0) = pz0 , T (0) = Tz0 .Функции fρ , fT , fp , f1 ÷ f4 выражаются через безразмерные комплексы n1 –n12 , характерные величины, безразмерные плотность ρ и температуру T последующим формулам:f1 = n11 ρ2 ,f2 = n12 ρ,n2 T 1 + s1 1 − s2 T 1/2n1 T+f3 =(1 − n4 ρ)ρ(1 + n5 ρ − n6 ρ2 )T 1/2n8f4 = n7 (T ∗ − T ) + 2 ,ρ,n10 ρ 1 + s1 1 − n3 T 1/2n9 Tn9 T ρ n4fρ =−2+1 − n4 ρ (1 − n4 ρ)21 + n 5 ρ − n 6 ρ22+34+n10 ρ2 1 + s1 1 − n3 T 1/22(n5 − 2 n6 ρ)(1 + n5 ρ − n6 ρ2 )2,n10 ρ2 1 + s1 1 − n3 T 1/2 s1 n3n9 ρ,+fT =1 − n4 ρ(1 + n5 ρ − n6 ρ2 )T 1/22n10 ρ2 1 + s1 1 − n3 T 1/2n9 T ρfp =.−1 − n4 ρ1 + n 5 ρ − n 6 ρ2bρxaρx s1R0,n=sT,n=, n2 =,n1 =32x4M cvMcv M 2 (s2 Tx )1/22bρxλlx u2x2βlxb2 ρ2xn5 =, n8 =,, n7 =, n6 =MM2Rρx ux cv4RTx cvlxpxaρ2xR 0 T x ρx,n=,n=, n10 =.1211px Mpx M 2ρx u2x4RОбоснование существования и единственности решения системы уравненийn9 =модели А′ приведено далее в параграфе 1.6.2.
Уравнение состояния Бертло для однокомпонентного газа, состоящего из метана, имеет вид [5]:p TcTc2p = 1 + 0.071−6 2ρRg T,pc TTTc , pc — критические температура и давление газа, Rg — газовая постоянная.Для этого варианта уравнения состояния тепловое уравнение в безразмерной форме примет вид:n0n5 ρdT du= −T ++n2n2 2 dzdz2u 1 − n1 ρ 1 − 2uT 1 − n1 ρ 1 − 2TTn3 (T ∗ − T )+ n 4 u2 .ρuВ системе уравнений модели А′ в этом случае выражения для функций f3 ,+f4 , fρ , fp , fT равны:n0 ρn 5 ρ2T +f3 = 2 ,n22n2ρ1 − n1 ρ(1 − 2 )1 − n1 ρ(1 − 2 )TT35f4 = n3 (T ∗ − T ) + n4 /ρ2 ,n2)2n6 T∂pT+,=fρ =n 2 2∂ρ 1 − n1 ρ(1 − n2 )1 − n1 ρ(1 − 2 )T2Tn6 ρT,fp =1 − n1 ρ(1 − n2 /T 2 )n6 ρT n1 (1 −∂p2n6 ρ2 n1 n2n6 ρ+=2 ,n2n∂T21 − n1 ρ(1 − 2 ) T 2 1 − n1 ρ(1 − )TT2здесь безразмерные комплексы n0 –n6 , входящие в выражения для функцийfT =f3 , f4 , fρ , fp , fT , равны:0.07 Tc Rg ρx6Tc22lx βRg, n1 =, n2 = 2 , n3 =,n0 =cvpcTxRcv ρx uxρx 0.14Rg2 Tc3ρx R g T xλu2x lx, n5 =.,n=n4 =64cv RTxpc Tx2 cvpx3.
Уравнение состояния Редлиха–КвонгаВ случае использования уравнения состояния Редлиха–Квонга тепловоеуравнение может быть записано в виде:dTducρ2qλu2Th.=−+++dzcv u(1 − δρ) (2cv u(1 + δρ)T 1/2 ) dz cv ρuR 4RcvВыражения для функций fρ , fT , fp , f1 ÷ f4 , входящих в систему моделиА ′ , и для безразмерных комплексов имеют следующий вид:f 1 = m 1 ρ2 ,f2 = m2 ρ ,pT1f 3 = m5 2 = m5 m8,− m9ρ(1 − m3 ρ)ρ(1 + m3 ρ)T 1/21f4 = m4 2 + m6 (T ∗ − T ),ρ1,f5 = m7(1 + m3 ρ)T 1/2fρ =∂pTρ(2 + m3 ρ),= m8−m9∂ρ(1 − m3 ρ)2(1 + m3 ρ)2 T 1/236fT =∂pρρ2,= m8+ m9∂T(1 − m3 ρ)(1 + m3 ρ)T 3/2ρ2ρT,− m9fp = m81 − m3 ρ(1 + m3 ρ)T 1/2pxλlxm1 =,m=, m 3 = δ ρx ,2ρx u2x4Rpx2βlxλu2x lx, m5 =, m6 =,m4 =4cv RTxρx c v T xRρx ux cv3cρxhρx Txcρ2xm7 =, m8 =., m9 =3/21/2px2cv Txpx T xНабор параметров для тестовых расчетовДля тестовых расчетов по приведенным выше моделям установившегосятечения газа при разных уравнениях состояния использовался следующийнабор параметров:R = 0.5 (м), L = 300 (км), β = 6.18 (Вт/(м2 К)), Q = 400 (кг/с),Tc = 190.9 (К), pc = 45.4 (атм), T ∗ = 278.15 (К),λ = 0.00829776, cv = 2000 (м2 /(с2 К)).На входе в газопровод задавались температура Tz0 = 313.15 (К) и давление pz0 = 200 (атм).
Плотность ρz0 на входе в газопровод определялась повеличинам Tz0 и pz0 в соответствии с выбранным уравнением состояния.На рисунках 1.1–1.3 представлены рассчитаные по модели А распределения плотности, давления и температуры вдоль трассы для разных уравненийсостояния.210200/ 3180,190170Пенг-Робинсон160Бертло150Редлих-Квонг140050100150200250300z,Рисунок 1.1 – Распределение плотности ρ газа вдоль газопровода приразных уравнениях состояния.атм37202200198196194192190188186184182180Пенг РобинсонБертлоРедлих Квонг050100150200250300кмРисунок 1.2 – Распределение давления p (в атм) газа вдоль газопровода приразных уравнениях состояния.315Пенг Робинсон310Бертло305Редлих Квонг300295290285280275050100150200250300кмРисунок 1.3 – Распределения температуры T (в К) газа вдоль газопроводапри разных уравнениях состояния.Из рисунков 1.1–1.3 следует, что расчеты с использованием уравнениясостояния Редлиха–Квонга и Пенга-Робинсона практически совпадают.
Расчет по уравнению состояния Бертло был проведен для демонстрации того,насколько сильно влияет правильность выбора уравнения состояния на расчет основных характеристик потока. Заранее известно, что уравнение Бертлоплохо описывает связь температуры, давления и плотности газа в области высоких давлений. Из рисунков 1.1–1.3 следует, что ошибка в выборе уравнениясостояния приводит к большим отклонениям в расчете основных характеристик потока от их истинных значений.Для проведения дальнейших расчетов было выбрано уравнение состояния Редлиха–Квонга, как позволяющее достоверно моделировать свойствасмеси газов, представляющей практический интерес, в широком диапазонеизменений температур и давлений.Замечание.
При моделировании реальных газопроводов газовые компании корректируют коэффициенты уравнений состояний с учетом натур-38ного эксперимента. Эти поправки являются коммерческой тайной и охраняются законодательством.1.4. Модели термодинамических процессов в газовой смесипри сверхвысоких давленияхКак отмечалось ранее, особенностью современных морских газопроводовявляется их значительная протяженность без промежуточных подстанций ивызванная этим необходимость сверхвысоких давлений (≈ 25 МПа) на входе.При таких давлениях газ существенно неидеальный, это осложняет моделирование термодинамических процессов.
От точности термодинамическогоописания во многом зависит адекватность математической модели.В настоящем параграфе проведен анализ моделирования термодинамических процессов и сравнение различных упрощенных моделей транспортировки газа. В частности показано, как упрощения математической моделимогут приводить к качественно неверным выводам о поведении термодинамических величин.Предложенная математическая модель (модель 1 в параграфе 1.2 ) отличается от модели работы [5] описанием термодинамических процессов иболее подробным описанием процессов теплообмена с окружающей морскойводой, в остальном уравнения неразрывности, движения и полной энергии сточностью до обозначений записываются одинаково.
Для удобства представления термодинамического анализа повторим уравнения модели 1, сохранивпринятую в параграфе 1.2 нумерацию уравнений.Уравнение неразрывности∂ρ∂+ (ρu) = 0,∂t ∂z(1.1)∂(ρu)∂u|u|+(p + ρu2 ) = −λρ+ ρg cos α(z),∂t∂z4R(1.2)уравнение движенияуравнение полной энергии p2q∂∂(ρe)ρu e +=++ ρug cos α(z),∂t∂zρR(1.3)39связь полной, внутренней энергий и энтальпииe = ε + u2 /2,i = ε + p/ρ.(1.4)Система уравнений (1.1)–(1.4) дополняется уравнением состоянияp = p(ρ, T )(1.5)и калорическим уравнением либо для энтальпииi = i(p, T ),(1.6)ε = ε(ρ, T ).(1.7)либо для внутренней энергииu, ρ, p, T — осредненные по сечению скорость, плотность, давление итемпература газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времениt и координаты z, направленной вдоль оси газопровода; ε, e, i — массовыеплотности внутренней, полной энергий и энтальпии, которые также являются функциями (t, z); R — внутренний радиус газопровода; q = q(z, t) —радиальная составляющая вектора потока тепла на внутренней поверхностигазопровода в z-ом сечнии, q(z, t) зависит от z, t через зависимость от z, tтемпературы газа и, возможно, через зависимость от z, t температуры окружающей среды, q = q(z, t) определяется из решения уравнения теплопроводности в области многослойной боковой стенки газопровода, которая при определенных условиях может содержать и слой льда, вид функции q(z, t) приотсутствии оледенения приведен далее в параграфе 1.5; g — ускорение силытяжести, α(z)– угол между направлением силы тяжести и осью газопровода; λ — коэффициент гидравлического сопротивления, который выражаетсячерез число Рейнольдса Re и коэффициент относительной шероховатости κ(λ = λ(Re, κ)), например, по эмпирическому уравнению Коулбрука-Уайта; T ∗— температура окружающей среды.Модель (1.1)–(1.7) теоретически эквивалентна модели, в которой вместоуравнения полной энергии (1.3) используется уравнение баланса внутренней энергииρ∂u 2q λρ u2 |u|d′ ε+p=+.dt∂zR4R(1.8)40d′∂∂=+u— оператор материальной производной.)dt ∂t∂zУравнение (1.8) выводится из уравнения полной энергии, уравнения дви-(Здесь и далеежения и соотношений (1.4) с помощью известной процедуры (уравнение движения домножается на u и вычитается из уравнения полной энергии).
В вычислительном плане модель с уравнением полной энергии предпочтительнее,так как допускает построение консервативных разностных схем.Модели термодинамических процессовСуществует два подхода к моделированию термодинамических процессов в газовом потоке. В первом подходе в качестве независимых термодинамических переменных выбираются давление p и температура T ; уравнениесостояния (1.5) записывается в видеpV = Z(p, T )Rg T,(1.9)Z(p, T ) — коэффициент сжимаемости, V — удельный объем, равный: V =1/ρ, калорическое уравнение записывается в терминах энтальпии i(p, T ) иимеет вид следующий [5]:i(p, T ) =ZTcp dT +T0Zpp0V −T∂V∂T!dp.(1.10)pЗдесь Rg — газовая постоянная, значение которой зависит от состава газовойсмеси и равно: Rg = R0 /M , R0 — универсальная газовая постоянная, M —молекулярный вес смеси; зависимость коэффициента удельной теплоемкостиcp при постоянном давлении от температуры считается известной.Если зависимость коэффициента сжимаемости Z(p, t) от давления и температуры известна, может быть вычислена правая часть уравнения состояния (1.9), что позволяет найти явное выражение для энтальпии i(p, T ) (1.10).Многочисленные работы, использующие этот подход к моделированию термодинамических процессов, отличаются записью вида зависимости Z(p, t) коэффициента сжимаемости от температуры и давления.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
