Диссертация (1145283), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

Бондарева, А.Ф.Воеводина иМ.А. Каниболотского [5], вышедшей в 1978 году. При постоянном поперечномсечении газопровода без притока и оттока газа через боковую поверхность система уравнений этой модели записывается следующим образом:∂ρ ∂(ρv)+= 0,∂t∂z∂ρv ∂(p + ρv 2 )dỹv|v|+= −ρg − λρ,∂t∂zdz2D p4α ∗∂dỹ∂(ρe)ρv e +=+(T − T ) − ρvg ,∂t∂zρDdze=ε+p = ZρRg T,v2,2pi=ε+ ,ρTc2p T(1 − 6 2 ),Z = 1 + 0, 07pc T cT20i=ZTT0cp0 dT + RT (Z − z2∗ )(1 −p0),pTc3 p= 1 + 0, 84 3 .T pcЗдесь t — время, z — координата вдоль оси газопровода; ρ(z, t), p (z,t), T (z, t),z2∗v(z, t) — средние по сечению газопровода плотность, давление, температураи скорость газа; e(z, t), ε(z, t), i(z, t) — удельные полная энергия, внутренняяэнергия и энтальпия газа; D — диаметр газопровода; ỹ — ордината точки z осигазопровода (ось ỹ направлена в сторону, противоположную силе тяжести),ỹ = zsin(φ), φ — угол между осью газопровода и горизонтальной плоскостью, производнаяdỹdzна спуске отрицательна, на подъеме — положительна;λ = λ(Re, k) — коэффициент гидравлического сопротивления, Re = ρ v D/µ— число Рейнольдса, µ — коэффициент динамической вязкости газа, k —коэффициент относительной шероховатости; α — суммарный коэффициенттеплопередачи через боковую поверхность газопровода; T ∗ — температуравнешней среды; Z — коэффициент сжимаемости газа; Rg — газовая постоянная; pc , Tc — критические давление и температура газа; cp0 — массоваяплотность теплоемкости при постоянном давлении.Заметим, что в уравнении баланса полной энергии здесь пренебрегаетсядиссипацией энергии, обусловленной наличием сил трения в турбулентномпотоке вязкого несовершенного газа.

Обоснование малости вклада этого механизма по сравнению с другими механизмами изменения энергии потокагаза приведено во многих классических работах по течениям газа в трубах,например, [6].Исследование и алгоритм численного решения системы уравнений приведенной модели даны в книге [5]. В настоящее время эта модель и ее вариантыиспользуются во многих работах.Модель II приведена, например, в работе В.И. Зубова, В.Н. Котерова,В.М. Кривцова и А.В. Шипилина [4], посвященной расчетам нестационарных газодинамических процессов в газопроводе на подводном переходе через Черное море.

На похожей модели основаны программно-математическиекомплексы «CorNet» и «AMADEUSM», упрощенные варианты этой модели21используются во многих работах, например, [7]–[12], [14], [141], [142]. Как следует из руководства пользователя, аналог модели II используется также внорвежском программном комплексе OLGA.∂ρ ∂(ρv)+= 0,∂t∂z∂ρv ∂(p − ρ g y + ρv 2 )v|v|∂ρ+= −λρ−gy ,∂t∂z2D∂z v2∂v24α ∗∂ρ ε−gy++ρv i − g y +=(T − T ),∂t2∂z2Dp = p(ρ, T ),pi=ε+ ,ρε = ε(ρ, T ),i = i(ρ, T ).В модели II величиныt, z, g, ρ, p, T, v, T, T ∗ , D, λ, α, ε, iимеют тот же смысл, что и в модели I; координата y (в отличии от координаты ỹ в модели I) направлена по направлению силы тяжести, т.е. на спускепроизводнаяdydzположительна, а на подъеме — отрицательна.Модель II является незамкнутой, а именно, вся термодинамическая частьмодели не конкретизирована. Выбор уравнения состояния, калорическогоуравнения в каждой конкретной прикладной задаче подлежит дополнительному исследованию.Внешне уравнения движения и полной энергии в моделях I и II записаныпо-разному.

Докажем, что это эквивалентные уравнения.Доказательство эквивалентности уравнений движения в модели I и вмодели II.Уравнение движения в модели II можно преобразовать следующим образом:dy∂ρv|v|∂ρ∂ρv ∂(p + ρv 2 )+− ρg− gy= −λρ−gy→∂t∂zdz∂z2D∂z22∂ρv ∂(p + ρv 2 )dyv|v|dỹv|v|+= ρg− λρ= −ρ g− λρ,∂t∂zdz2Ddz2Dт.е. уравнения движения в моделях I и II совпадают.→Доказательство эквивалентности уравнений энергии в моделях I и II.Преобразуем уравнение энергии в модели II. Учтем равенстваε+v2pv2pv2= e, i +=ε+ +=e+22ρ2ρи запишем левую часть уравнения энергии в модели II следующим образом: pp∂∂ρe∂∂ρv e + − g yρv e +−(ρ (e − g y)) +=+∂t∂zρ∂t∂zρ p∂ρg y∂∂ρe∂−ρv e +−− (ρv gy) =+∂t∂z∂t∂zρ∂ρ ∂(ρv)dy−gy+=− ρvg∂t∂zdz ∂ρe∂pdỹ=+ρv e ++ ρvg .∂t∂zρdzПри переходе к последнему равенству использовано уравнение неразрывности.

Таким образом, доказана теоретическая эквивалентность уравнений движения и уравнений полной энергии в моделях I и II.Приведенные математические модели I и II оставляют открытыми следующие вопросы:• допустимость одномерного описания турбулентного потока газа в трубах;• правомерность при моделировании нестационарных процессов в турбу-лентном потоке сжимаемого газа использования зависимости для коэффициента гидравлического сопротивления λ(Re, k), которая рссчитанаиз полуэмпирических моделей турбулентности или найдена экспериментально для установившихся течений.Несмотря на это, модели I и II сочетают в себе достаточную для большинства практических задач полноту описания процессов транспортировкигаза с возможностью обозримого решения входящих в эти модели систем23уравнений.

Как отмечалось, на моделях I и II и на их упрощенных вариантах основано множество современных работ по моделированию течений газав трубах.1.2. Особенности транспортировки газа по морским газопроводамв северных морях. Математическая модельнеустановившихся неизотермических турбулентных теченийсмеси газов по морским газопроводамОсобенностью современных морских газопроводов является их значительная протяженность без промежуточных подстанций и вызванная этимнеобходимость сверхвысоких давлений (≈ 25 МПа) на входе. При таких давлениях газ существенно неидеальный, это усложняет моделирование термодинамических процессов. Например, возникает вопрос о необходимости учетазависимостей коэффициентов теплоемкости, вязкости, гидравлического сопротивления от температуры и плотности потока. От точности термодинамической части модели во многом зависит адекватность общей модели транспортировки газа по морским газопроводам.Исследования по созданию математических моделей течения смеси газовпо морским газопроводам проводятся в Санкт-Петербургском государственном университете с середины 90-х годов прошлого века.

Результаты этих исследований частично вошли в книгу «Модели морских газопроводов» [13].Предложенная в [13] квазиодномерная модель установившегося неизотермического течения неидеальной многокомпонентной химически инертной смесигазов по морским газопроводам сверхвысокого давления позволяет приближенно учесть профиль скорости. Эта модель включает также учет рельефадна вдоль трассы прокладки газопровода, учет конструкции стенок газопровода, учет оледенения части газопровода в северных морях. Эта модель использовалась при расчетах установившихся режимов транспортировки газапо проектируемым газопроводам от Штокмановского газоконденсатного месторождения до поселка Териберка (губа Корабельная) и для обоснования24реализуемости Северо-Европейского подводного газопровода сверхвысокогодавления.Предложенная в настоящей главе математическая модель 1 нестационарного неизотермического турбулентного течения неидеальной газовой смеси,транспортируемой по морскому газопроводу, отличается от модели I описанием термодинамических процессов и процессов теплообмена с окружающейсредой.В этой модели добавлена нестационарная модель теплообмена потокагаза с морской водой, исследовано влияние выбора уравнения состояния напараметры течения, на основе проведенного анализа моделей термодинамикипотока выбрана термодинамическая часть модели и рассчитаны все термодинамические зависимости, исследовано влияние изменений параметров потокана входе в газопровод и найдена область их допустимых значений, предложено решение задачи идентификации параметров модели.Модель 1∂ρ ∂(ρu)+= 0,∂t∂z∂(ρu)∂λρu|u|+(ρu2 + p) = −+ ρg cos α(z),∂t∂z4R p∂(ρe)∂ρu e += −ω + ρug cos α(z),+∂t∂zρ(1.1)(1.2)(1.3)e = ε + u2 /2,(1.4)p = p(ρ, T ).(1.5)ε = ε(ρ, T ),(1.6)1k2, 51√ = −2 lg,(1.7)+ √7, 4 Re λλ2QksRe =, k= ;πRµRЗдесь (1.1) — уравнение неразрывности, (1.2) — уравнение движения,(1.3) — уравнение полной энергии, (1.5) — уравнение состояния, (1.6) — калорическое уравнение, (1.7) — уравнение Коулбрука–Уайта.25В системе уравнений (1.1)–(1.7) приняты следующие обозначения:u, ρ, p, T — скорость, плотность, давление и температура газовой смеси соответственно, являющиеся функциями времени t и координаты z, направленной вдоль оси газопровода; ε = ε(z, t), e = e(z, t) — массовые плотностивнутренней и полной энергии газа соответственно; ω — объемная плотностьв единицу времени распределенных источников (стоков) внутренней энергиив потоке газа, моделирующих теплообмен с окружающей средой (выражениедля ω = ω(z, t) приведено далее в параграфе 1.5); λ(Re, k) — коэффициентгидравлического сопротивления; Re=ρ u 2Rµ— число Рейнольдса; µ — вязкостьгазовой смеси, R — внутренний радиус газопровода, ks — коэффициент эквивалентной равномерно-зернистой шероховатости внутренней поверхностигазопровода; k = ks /R — коэффициент относительной шероховатости; g —ускорение силы тяжести; α(z) — угол между осью газопровода z и направлением силы тяжести.Для замыкания модели 1 необходимо 1) определить зависимость ω отпараметров газопровода, параметров режима и от внешних условий обтекания, 2) выбрать уравнение состояния (1.5), моделирующее поведение газовойсмеси во всем диапазоне изменений температуры и давления, 3) вывести калорическое уравнение (1.6) для выбранного уравнения состояния и рассчитать все термидинамические характеристики потока.

Для замыкания модели1 в параграфе 1.3 обоснован выбор уравнения состояния (1.5) в виде уравнения Редлиха–Квонга и рассчитаны параметры уравнения Редлиха–Квонгадля смеси химически инертных газов, состоящей из 12 компонент с преобладанием метана, представляющей практический интерес; в параграфе 1.4исследованы возможные подходы к моделированию термодинамических процессов, там же для уравнения состояния Редлиха–Квонга найден вид калорического уравнения (1.6) и приведен пример расчета коэффициентов удельнойтеплоемкости смеси газов и скорости звука, кроме того, доказано, что дажепри малых скоростях потока недопустимы упрощения в тепловом уравнении,основанные на гипотезе о несжимаемости газа.В работе [15] исследован вопрос о допустимости для установившихся режимов течения перехода от приближенной квазиодномерной модели тече-26ния газа в трубах к одномерной модели течения.

Физические особенностирассматриваемых задач (сверхвысокие давления, интенсивный теплообмен сокружающей морской водой) обуславливают допустимость следующей приближенной квазиодномерной модели процессов: изменения термодинамических характеристик течения ρ, T, e описываются на языке средних по сечению величин при том, что в каждом сечении сохраняется информация о видепрофиля скорости v(r, z).При сверхвысоких давлениях средняя скорость газа мала (порядка 4м/с), малы силы инерции, основной вклад в изменение плотности газа вносят процессы теплообмена с окружающей средой и падение давления в трубе,вызванное трением газа о шероховатую внутреннюю поверхность трубы. Итеплообмен, и падение давления, вызванное трением, сказываются на масштабах порядка нескольких километров.

Характеристики

Список файлов диссертации