Диссертация (1145283), страница 8
Текст из файла (страница 8)
В разных диапазонахизменения p и T , как правило, используются разные виды зависимости коэффициента сжимаемости Z(p, t), например, работы [5], [19], [153].41В первом подходе уравнение баланса внутренней энергии (1.8) в терминах температуры записывается в следующем виде:d′ p 2q λρ u2 |u|∂Vd′ T=T++.ρρcpdt∂T p dtR4R(1.11)Вывод уравнения (1.11) из уравнения (1.8) основан на равенствах: ′ ′d′ εp∂idTd p d′ pd′∂ii−=;(1.12)=+−dtdtρ∂T p dt∂p T dtdt ρ∂i∂pT ∂V∂i=V −T;= cp ;∂T p∂T p d′ 11 ∂u.=dt ρρ ∂z(1.13)(1.14)Соотношения (1.13) — известные термодинамические равенства [20], соотношение (1.14) следует из определения материальной производной и уравнения неразрывности (1.1). Уравнения (1.1), (1.2), (1.11), (1.9) представляютсобой замкнутую систему уравнений относительно неизвестных функций ρ,u, T , p, которая, будучи дополнена начальными и граничными условиями,позволяет рассчитать все характеристики газового потока.В диссертации, как и в работе [13], используется второй подход кописанию термодинамических процессов.
В качестве независимых термодинамических переменных выбираются плотность ρ и температура T . Уравнение состояния записывается в виде аналитического уравнения, являющегосяодним из обобщений уравнения Ван-дер-Ваальса. В диссертации также каки в работах [1], [2], используется двухпараметрическое уравнение состоянияРедлиха-Квонга, признанное многими исследователями одним из наиболееточным в широком диапазоне изменений p, ρ и T вплоть до сверхвысокихдавлений. Для смеси газов оно выписано в параграфе 1.3 в следующем виде:p=hρTcρ2.−1 − δρ (1 + δρ)T 1/2(Выражения для констант h, δ, c приведены в параграфе 1.3.)(1.15)42Калорическое уравнение во втором подходе записывается в терминахвнутренней энергии ε(T, V ). Уравнение баланса внутренней энергии (1.8) преобразуется к виду:d′ T= −Tρcvdt∂p∂TV∂u 2q λρ u2 |u|++.∂zR4R(1.16)Вывод уравнения (1.16) из уравнения (1.8) основан на следующих равенствах: ′ ′d′ ε∂ε∂εdTdV=+;dt∂T V dt∂V T dt ∂ε∂p∂ε= −p + T;= cv ;∂V T∂T V∂T V(1.17)d′ V1 ∂u=;dtρ ∂zcv — удельный коэффициент теплоемкости при постоянном объеме, длянеидеальной смеси газов cv является функцией ρ и T.
Вывод первого изравенств (1.17) приведен, например,в книге [13]. Для уравнения состояния∂pравна:Редлиха-Квонга (1.15) производная∂T V cρ21hρ∂p.(1.18)+=∂T V1 − δρ 2 (1 + δρ)T 3/2Уравнения (1.1), (1.2), (1.15), (1.16), (1.18) представляют собой замкнутуюсистему уравнений относительно неизвестных функций ρ, u, T , p.Покажем, следуя нашей работе [25], что тепловые уравнения (1.11) и(1.16) эквивалентны для любого уравнения состояния. Докажем равенство: d′ Td′ pd′ T∂u∂V∂pρcpρ−T= ρcv+T.(1.19)dt∂T p dtdt∂T V ∂zВоспользуемся известными термодинамическими соотношениями [20]: ∂V∂p,cv = cp − T∂T V ∂T p(1.20) ∂V∂p∂V=−,∂T p∂T V ∂p T43учтем равенство (1.14) и преобразуем правую часть (1.19).
Для облегчениязаписи введем обозначениеa=∂p∂TV,b=∂V∂T.(1.21)pРавенства (1.20) и (1.14) позволяют преобразовать правую часть (1.19)следующим образом:d′ T∂ud′ Td′ Vρcv+ Ta= ρ(cp − T ab)+ T aρ=dt∂zdtdt ′dTa d′ VdT− ρT b a−.= ρcpdtdtb dt(1.22)′Для любого уравнения состояния V = V (p, T ) справедливо равенство: ′ ′d′ VdpdT∂V∂V=+,dt∂p T dt∂T p dtкоторое, с учетом (1.20) в обозначениях (1.21) преобразуется к виду:b d′ pd′ Td′ V=−+bdta dtdtи позволяет записать последнее равенство в (1.22) следующим образом: ′d′ TdTa d′ Vd′ pd′ Tρcp= ρcp− ρT b a−− ρT b ,dtdtb dtdtdtчто доказывает равенство (1.19).Таким образом, доказана эквивалентность тепловых уравнений (1.11) и(1.16), что свидетельствует о теоретической эквивалентности двух подходовк моделированию термодинамических процессов в потоке газа.
Выбор тогоили иного подхода связан с выбором уравнения состояния.Если используется уравнение состояния (1.9) с коэффициентом сжимаемости Z, то удельный объемявно выражается через p и T , это позволяет V ∂Vи делает целесообразным первый подход.легко найти производную∂T pЕсли используется аналитическое уравнение состояния, то давление явно выражаетсячерез V (V = 1/ρ) и T , это позволяет легко найти производную ∂pи делает целесообразным второй подход.∂T V44Если уравнения состояния одинаково хорошо описывают связь p, ρ и T ,то оба подхода эквивалентны. Однако подобрать вид зависимости Z(p, T ),одинаково точно описывающий поведение коэффициента сжимаемости Z вшироком диапазоне изменений p и T , сложно. Поэтому предпочтительнееиспользование более точных аналитических уравнений состояния и, соответственно, второго подхода к моделированию термодинамических процессов,особенно, если задача включает области сверхвысоких давлений.Выражения для зависимостей внутренней энергии ε смеси газов и коэффициента теплоемкости cv при постоянном объеме отплотности ρ и от температуры TНайдем в рамках второго подхода явные выражения для зависимостейвнутренней энергии смеси газов и коэффициента теплоемкости при постоянном объеме от плотности и температуры.
Представим внутреннюю энергиюкак функцию термодинамических переменных (T, V ) и запишем выражениедля дифференциала d εdε = cv dT +∂ε∂VdV.TКак отмечалось выше, имеют место равенства (1.17), второе из которых совпадает с известным уравнением Гельмгольца p ∂ε∂.= T2∂V T∂T TVПроинтегрируем уравнение (1.23):ε(T, V ) = ε(T, V0 ) +ZVT2V0∂ pdV.∂T TV(1.23)(1.24)Устремим объем V0 к бесконечности, при этом внутренняя энергия ε(T, V0 )будет стремиться к внутренней энергии ε0 (T ) газа того же химического состава, но в состоянии идеального газа [21]:при V0 → ∞ ε(T, V0 ) → ε0 (T ).Вычислим интеграл в правой части (1.24) для уравнения состояния РедлихаКвонга.
Легко проверить, что выполняется равенство p 3c∂=,T21/2∂T T2V(V+δ)TV45при котором величина интеграла равна следующему выражению:Z VZ V p c3dV3 c∂ln(1 + δρ).dV ==−T21/21/2∂T T2V(V+δ)2TδT∞∞VКак следует из уравнения (1.24), внутренняя энергия ε(ρ, T ) газа, подчиняющегося уравнению Редлиха-Квонга, равнаε(ρ, T ) = ε0 (T ) −3 cln(1 + δρ).2 δT 1/2Это выражение для ε(ρ, T ) позволяет найти явную зависимость коэффициента удельной теплоемкости cv от плотности и температуры: dε0 3 c∂εln(1 + δ ρ).cv (ρ, T ) =+=∂T ρdT4 δ T 3/2В состоянии идеального газа, как известно, внутренняя энергия ε0 является функцией только температуры: ε0 (T ) = bcv T , где bcv — коэффициентудельной теплоемкости идеального газа того же химического состава.В результате приходим к следующим выражениям для коэффициентатеплоемкости при постоянном объеме и для внутренней энергии при уравнении состояния Редлиха-Квонга:cv (ρ, T ) = bcv +3 cln(1 + δ ρ),4 δ T 3/2(1.25)3 cln(1 + δ ρ).(1.26)2 δ T 1/2Уравнение баланса внутренней энергии (1.16) для уравнения состоянияε(ρ, T ) = bcv T −Редлиха–Квонга преобразуется следующим образом:∂ucρThd′ T=−++dtcv (1 − δ ρ) 2cv (1 + δ ρ)T 1/2 ∂z2qλ u3+.(1.26∗ )Rρcv 4RcvРасчеты ряда задач по модели (1.1), (1.2), (1.16), (1.15) свидетельствуют о+том, что учет зависимости (1.25) коэффициента теплоемкости cv от плотности и температуры в тепловом уравнении (1.16) больше всего сказываетсяна значениях температуры и может оказаться существенным при большихперепадах температуры.46При численном решении предпочтительнее, как отмечалось выше, использование модели с уравнением полной энергии (1.3).
При этом искомымифункциями являются ρ, u, ε, p. Уравнение (1.26) позволяет выразить температуру T , входящую в правую часть уравнения (1.3), как функцию ρ и√ε. Уравнение (1.26) является кубическим уравнением относительно T ; физический смысл в рассматриваемых задачах имеет только один из корней,который легко находится стандартными методами.В случае первого подхода к описанию термодинамических процессов искомыми функциями являются ρ, u, i, p.
Из калорического уравнения (1.10) ииз уравнения состояния (1.9) находится зависимость энтальпии i от давленияи температуры, что позволяет выразить температуру T , входящую в правуючасть уравнения полной энергии (1.3), как функцию энтальпии и давления.Скорость звука в реальной газовой смеси при высоких давленияхКак известно, например, [23], адиабатическая скорость звука c∗ связанас изотермической скоростью звука a∗ следующей зависимостью:c2∗ =cp 2a,cv ∗изотермическая скорость звука a∗ определяется равенством: ∂p2a∗ =.∂ρ T(1.27)(1.28)Вычислим изотермическую скорость звука a∗ для газовой смеси, подчи-няющейся уравнению состояния Редлиха — Квонга (1.15):a2∗ =cρ(2 + δρ)hT.−(1 − δρ)2 (1 + δρ)2 T 1/2(1.29)Вычислим адиабатическую скорость звука c∗ для газовой смеси, подчи-няющейся уравнению состояния Редлиха–Квонга (1.15).
Запишем уравнениесостояния в терминах удельного объема V = 1/ρ:p=hTc−.V − δ V (V + δ)T 1/2(1.30)47Как следует из первой формулы в (1.20), cp определяется равенством: ∂V∂p.(1.31)cp = cv + T∂T V ∂T p ∂pВ этом равенстве производная ∂Tлегко находится из уравнения Редлиха–VКвонга (1.31):ch+.(1.32)V − δ 2V (V + δ)T 3/2VСложнее обстоит дело с вычислением производной ∂V∂T p . Предлагается сле∂p∂T=дующий подход. При p = const из уравнения Редлиха–Квонга (1.31) следует:F (T, V ) = p −Найдем производную∂V∂T pchT+= 0.V − δ V (V + δ)T 1/2(1.33)как производную неявной функции:∂V∂Tp=−∂F∂T V∂F∂V T,(1.34)где функция F (T, V ) определена равенством (1.33).
Для производных ∂F∂T V∂Fи ∂V T получаются следующие выражения:∂Fhc=−,(1.35)−∂T VV − δ 2V (V + δ)T 3/2c(2V + δ)hT∂F.(1.36)−=∂V T(V − δ)2 V 2 (V + δ)2 T 1/2Таким образом, явное выражение для производной ∂V∂T p определено равенствами (1.34–1.36).Коэффициент теплоемкости cp определен равенством (1.31), в которомвсе величины найдены: коэффициент теплоемкости cv определенравенством∂p(1.25), записанном в терминах удельного объема V , производная ∂TопреVделена соотношением (1.32), а производная ∂V∂T p — соотношениями (1.34–1.36).По найденным коэффициентам cp и cv можно рассчитать показательадиабаты: отношениеcpcv ,и, принимая во внимание выражение для изотерми-ческой скорости звука a∗ (1.29), найти адиабатическую скорость звука48c∗ :c∗ =rcpa∗ .cv(1.37)Пример расчета адиабатической скорости звукаДля смеси газов из 12 компонент с преобладанием метана, рассмотреннойв параграфе 1.3, постоянные в уравнении Редлиха–Квонга имеют следующиезначения:h = 496.630658 (м2 /(с2 K)), δ = 0.001816 (м3 /кг),c = 12019.554 (м5 K1/2 /(кг с2 )).Положим давление и температуру этой смеси газов равными:p = 21 МПа, T = 313.15 K.Плотность смеси газов в соответствии с уравнением состояния Редлиха–Квонга при этих значениях давления и температуры равна: ρ = 156.190(кг/м3 ).Коэффициент удельной теплоемкости для этой смеси газов в состоянииидеального газа равен: bcv = 1750 (Дж/(кг K)).Коэффициент удельной теплоемкости cv , рассчитанный по формуле(1.25), равен: cv = 1973.679 (Дж/(кг K)).Расчет cp по формулам (1.31)–(1.36) для этой смеси газов из 12 компонентдает: cp = 3340.469(Дж/(кг K)).Показатель адиабаты (отношениеcpcv )равен:cp= 1.69251.cvРасчет изотермической скорости звука a∗ в соответствии с равенством(1.29) дает:a∗ = 395.003 (м/c).Адиабатическая скорость звука c∗ , как следует из равенства (1.37), длярассматриваемой смеси газов из 12 компонент равна:c∗ = 513.8845 (м/c).49Упрощения математических моделейПри решении практических задач часто используются упрощенные варианты модели (1.1)–(1.7).
Упрощения основываются на предположениях остационарности, изотермичности, адиабатичности процессов, на пренебрежении влиянием инерционных сил и силы тяжести. Допустимость используемыхупрощений требует обоснования и соответствующих оценок.Остановимся подробнее на вопросе о допустимости пренебрежения силами инерции, которое используется во многих работах. Основные режимыэксплуатации газопроводов — установившиеся.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
