Главная » Просмотр файлов » Диссертация

Диссертация (1145283), страница 8

Файл №1145283 Диссертация (Математическое моделирование нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных средах) 8 страницаДиссертация (1145283) страница 82019-06-29СтудИзба
Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 8)

В разных диапазонахизменения p и T , как правило, используются разные виды зависимости коэффициента сжимаемости Z(p, t), например, работы [5], [19], [153].41В первом подходе уравнение баланса внутренней энергии (1.8) в терминах температуры записывается в следующем виде:d′ p 2q λρ u2 |u|∂Vd′ T=T++.ρρcpdt∂T p dtR4R(1.11)Вывод уравнения (1.11) из уравнения (1.8) основан на равенствах: ′ ′d′ εp∂idTd p d′ pd′∂ii−=;(1.12)=+−dtdtρ∂T p dt∂p T dtdt ρ∂i∂pT ∂V∂i=V −T;= cp ;∂T p∂T p d′ 11 ∂u.=dt ρρ ∂z(1.13)(1.14)Соотношения (1.13) — известные термодинамические равенства [20], соотношение (1.14) следует из определения материальной производной и уравнения неразрывности (1.1). Уравнения (1.1), (1.2), (1.11), (1.9) представляютсобой замкнутую систему уравнений относительно неизвестных функций ρ,u, T , p, которая, будучи дополнена начальными и граничными условиями,позволяет рассчитать все характеристики газового потока.В диссертации, как и в работе [13], используется второй подход кописанию термодинамических процессов.

В качестве независимых термодинамических переменных выбираются плотность ρ и температура T . Уравнение состояния записывается в виде аналитического уравнения, являющегосяодним из обобщений уравнения Ван-дер-Ваальса. В диссертации также каки в работах [1], [2], используется двухпараметрическое уравнение состоянияРедлиха-Квонга, признанное многими исследователями одним из наиболееточным в широком диапазоне изменений p, ρ и T вплоть до сверхвысокихдавлений. Для смеси газов оно выписано в параграфе 1.3 в следующем виде:p=hρTcρ2.−1 − δρ (1 + δρ)T 1/2(Выражения для констант h, δ, c приведены в параграфе 1.3.)(1.15)42Калорическое уравнение во втором подходе записывается в терминахвнутренней энергии ε(T, V ). Уравнение баланса внутренней энергии (1.8) преобразуется к виду:d′ T= −Tρcvdt∂p∂TV∂u 2q λρ u2 |u|++.∂zR4R(1.16)Вывод уравнения (1.16) из уравнения (1.8) основан на следующих равенствах: ′ ′d′ ε∂ε∂εdTdV=+;dt∂T V dt∂V T dt ∂ε∂p∂ε= −p + T;= cv ;∂V T∂T V∂T V(1.17)d′ V1 ∂u=;dtρ ∂zcv — удельный коэффициент теплоемкости при постоянном объеме, длянеидеальной смеси газов cv является функцией ρ и T.

Вывод первого изравенств (1.17) приведен, например,в книге [13]. Для уравнения состояния∂pравна:Редлиха-Квонга (1.15) производная∂T V cρ21hρ∂p.(1.18)+=∂T V1 − δρ 2 (1 + δρ)T 3/2Уравнения (1.1), (1.2), (1.15), (1.16), (1.18) представляют собой замкнутуюсистему уравнений относительно неизвестных функций ρ, u, T , p.Покажем, следуя нашей работе [25], что тепловые уравнения (1.11) и(1.16) эквивалентны для любого уравнения состояния. Докажем равенство: d′ Td′ pd′ T∂u∂V∂pρcpρ−T= ρcv+T.(1.19)dt∂T p dtdt∂T V ∂zВоспользуемся известными термодинамическими соотношениями [20]: ∂V∂p,cv = cp − T∂T V ∂T p(1.20) ∂V∂p∂V=−,∂T p∂T V ∂p T43учтем равенство (1.14) и преобразуем правую часть (1.19).

Для облегчениязаписи введем обозначениеa=∂p∂TV,b=∂V∂T.(1.21)pРавенства (1.20) и (1.14) позволяют преобразовать правую часть (1.19)следующим образом:d′ T∂ud′ Td′ Vρcv+ Ta= ρ(cp − T ab)+ T aρ=dt∂zdtdt ′dTa d′ VdT− ρT b a−.= ρcpdtdtb dt(1.22)′Для любого уравнения состояния V = V (p, T ) справедливо равенство: ′ ′d′ VdpdT∂V∂V=+,dt∂p T dt∂T p dtкоторое, с учетом (1.20) в обозначениях (1.21) преобразуется к виду:b d′ pd′ Td′ V=−+bdta dtdtи позволяет записать последнее равенство в (1.22) следующим образом: ′d′ TdTa d′ Vd′ pd′ Tρcp= ρcp− ρT b a−− ρT b ,dtdtb dtdtdtчто доказывает равенство (1.19).Таким образом, доказана эквивалентность тепловых уравнений (1.11) и(1.16), что свидетельствует о теоретической эквивалентности двух подходовк моделированию термодинамических процессов в потоке газа.

Выбор тогоили иного подхода связан с выбором уравнения состояния.Если используется уравнение состояния (1.9) с коэффициентом сжимаемости Z, то удельный объемявно выражается через p и T , это позволяет V ∂Vи делает целесообразным первый подход.легко найти производную∂T pЕсли используется аналитическое уравнение состояния, то давление явно выражаетсячерез V (V = 1/ρ) и T , это позволяет легко найти производную ∂pи делает целесообразным второй подход.∂T V44Если уравнения состояния одинаково хорошо описывают связь p, ρ и T ,то оба подхода эквивалентны. Однако подобрать вид зависимости Z(p, T ),одинаково точно описывающий поведение коэффициента сжимаемости Z вшироком диапазоне изменений p и T , сложно. Поэтому предпочтительнееиспользование более точных аналитических уравнений состояния и, соответственно, второго подхода к моделированию термодинамических процессов,особенно, если задача включает области сверхвысоких давлений.Выражения для зависимостей внутренней энергии ε смеси газов и коэффициента теплоемкости cv при постоянном объеме отплотности ρ и от температуры TНайдем в рамках второго подхода явные выражения для зависимостейвнутренней энергии смеси газов и коэффициента теплоемкости при постоянном объеме от плотности и температуры.

Представим внутреннюю энергиюкак функцию термодинамических переменных (T, V ) и запишем выражениедля дифференциала d εdε = cv dT +∂ε∂VdV.TКак отмечалось выше, имеют место равенства (1.17), второе из которых совпадает с известным уравнением Гельмгольца p ∂ε∂.= T2∂V T∂T TVПроинтегрируем уравнение (1.23):ε(T, V ) = ε(T, V0 ) +ZVT2V0∂ pdV.∂T TV(1.23)(1.24)Устремим объем V0 к бесконечности, при этом внутренняя энергия ε(T, V0 )будет стремиться к внутренней энергии ε0 (T ) газа того же химического состава, но в состоянии идеального газа [21]:при V0 → ∞ ε(T, V0 ) → ε0 (T ).Вычислим интеграл в правой части (1.24) для уравнения состояния РедлихаКвонга.

Легко проверить, что выполняется равенство p 3c∂=,T21/2∂T T2V(V+δ)TV45при котором величина интеграла равна следующему выражению:Z VZ V p c3dV3 c∂ln(1 + δρ).dV ==−T21/21/2∂T T2V(V+δ)2TδT∞∞VКак следует из уравнения (1.24), внутренняя энергия ε(ρ, T ) газа, подчиняющегося уравнению Редлиха-Квонга, равнаε(ρ, T ) = ε0 (T ) −3 cln(1 + δρ).2 δT 1/2Это выражение для ε(ρ, T ) позволяет найти явную зависимость коэффициента удельной теплоемкости cv от плотности и температуры: dε0 3 c∂εln(1 + δ ρ).cv (ρ, T ) =+=∂T ρdT4 δ T 3/2В состоянии идеального газа, как известно, внутренняя энергия ε0 является функцией только температуры: ε0 (T ) = bcv T , где bcv — коэффициентудельной теплоемкости идеального газа того же химического состава.В результате приходим к следующим выражениям для коэффициентатеплоемкости при постоянном объеме и для внутренней энергии при уравнении состояния Редлиха-Квонга:cv (ρ, T ) = bcv +3 cln(1 + δ ρ),4 δ T 3/2(1.25)3 cln(1 + δ ρ).(1.26)2 δ T 1/2Уравнение баланса внутренней энергии (1.16) для уравнения состоянияε(ρ, T ) = bcv T −Редлиха–Квонга преобразуется следующим образом:∂ucρThd′ T=−++dtcv (1 − δ ρ) 2cv (1 + δ ρ)T 1/2 ∂z2qλ u3+.(1.26∗ )Rρcv 4RcvРасчеты ряда задач по модели (1.1), (1.2), (1.16), (1.15) свидетельствуют о+том, что учет зависимости (1.25) коэффициента теплоемкости cv от плотности и температуры в тепловом уравнении (1.16) больше всего сказываетсяна значениях температуры и может оказаться существенным при большихперепадах температуры.46При численном решении предпочтительнее, как отмечалось выше, использование модели с уравнением полной энергии (1.3).

При этом искомымифункциями являются ρ, u, ε, p. Уравнение (1.26) позволяет выразить температуру T , входящую в правую часть уравнения (1.3), как функцию ρ и√ε. Уравнение (1.26) является кубическим уравнением относительно T ; физический смысл в рассматриваемых задачах имеет только один из корней,который легко находится стандартными методами.В случае первого подхода к описанию термодинамических процессов искомыми функциями являются ρ, u, i, p.

Из калорического уравнения (1.10) ииз уравнения состояния (1.9) находится зависимость энтальпии i от давленияи температуры, что позволяет выразить температуру T , входящую в правуючасть уравнения полной энергии (1.3), как функцию энтальпии и давления.Скорость звука в реальной газовой смеси при высоких давленияхКак известно, например, [23], адиабатическая скорость звука c∗ связанас изотермической скоростью звука a∗ следующей зависимостью:c2∗ =cp 2a,cv ∗изотермическая скорость звука a∗ определяется равенством: ∂p2a∗ =.∂ρ T(1.27)(1.28)Вычислим изотермическую скорость звука a∗ для газовой смеси, подчи-няющейся уравнению состояния Редлиха — Квонга (1.15):a2∗ =cρ(2 + δρ)hT.−(1 − δρ)2 (1 + δρ)2 T 1/2(1.29)Вычислим адиабатическую скорость звука c∗ для газовой смеси, подчи-няющейся уравнению состояния Редлиха–Квонга (1.15).

Запишем уравнениесостояния в терминах удельного объема V = 1/ρ:p=hTc−.V − δ V (V + δ)T 1/2(1.30)47Как следует из первой формулы в (1.20), cp определяется равенством: ∂V∂p.(1.31)cp = cv + T∂T V ∂T p ∂pВ этом равенстве производная ∂Tлегко находится из уравнения Редлиха–VКвонга (1.31):ch+.(1.32)V − δ 2V (V + δ)T 3/2VСложнее обстоит дело с вычислением производной ∂V∂T p . Предлагается сле∂p∂T=дующий подход. При p = const из уравнения Редлиха–Квонга (1.31) следует:F (T, V ) = p −Найдем производную∂V∂T pchT+= 0.V − δ V (V + δ)T 1/2(1.33)как производную неявной функции:∂V∂Tp=−∂F∂T V∂F∂V T,(1.34)где функция F (T, V ) определена равенством (1.33).

Для производных ∂F∂T V∂Fи ∂V T получаются следующие выражения:∂Fhc=−,(1.35)−∂T VV − δ 2V (V + δ)T 3/2c(2V + δ)hT∂F.(1.36)−=∂V T(V − δ)2 V 2 (V + δ)2 T 1/2Таким образом, явное выражение для производной ∂V∂T p определено равенствами (1.34–1.36).Коэффициент теплоемкости cp определен равенством (1.31), в которомвсе величины найдены: коэффициент теплоемкости cv определенравенством∂p(1.25), записанном в терминах удельного объема V , производная ∂TопреVделена соотношением (1.32), а производная ∂V∂T p — соотношениями (1.34–1.36).По найденным коэффициентам cp и cv можно рассчитать показательадиабаты: отношениеcpcv ,и, принимая во внимание выражение для изотерми-ческой скорости звука a∗ (1.29), найти адиабатическую скорость звука48c∗ :c∗ =rcpa∗ .cv(1.37)Пример расчета адиабатической скорости звукаДля смеси газов из 12 компонент с преобладанием метана, рассмотреннойв параграфе 1.3, постоянные в уравнении Редлиха–Квонга имеют следующиезначения:h = 496.630658 (м2 /(с2 K)), δ = 0.001816 (м3 /кг),c = 12019.554 (м5 K1/2 /(кг с2 )).Положим давление и температуру этой смеси газов равными:p = 21 МПа, T = 313.15 K.Плотность смеси газов в соответствии с уравнением состояния Редлиха–Квонга при этих значениях давления и температуры равна: ρ = 156.190(кг/м3 ).Коэффициент удельной теплоемкости для этой смеси газов в состоянииидеального газа равен: bcv = 1750 (Дж/(кг K)).Коэффициент удельной теплоемкости cv , рассчитанный по формуле(1.25), равен: cv = 1973.679 (Дж/(кг K)).Расчет cp по формулам (1.31)–(1.36) для этой смеси газов из 12 компонентдает: cp = 3340.469(Дж/(кг K)).Показатель адиабаты (отношениеcpcv )равен:cp= 1.69251.cvРасчет изотермической скорости звука a∗ в соответствии с равенством(1.29) дает:a∗ = 395.003 (м/c).Адиабатическая скорость звука c∗ , как следует из равенства (1.37), длярассматриваемой смеси газов из 12 компонент равна:c∗ = 513.8845 (м/c).49Упрощения математических моделейПри решении практических задач часто используются упрощенные варианты модели (1.1)–(1.7).

Упрощения основываются на предположениях остационарности, изотермичности, адиабатичности процессов, на пренебрежении влиянием инерционных сил и силы тяжести. Допустимость используемыхупрощений требует обоснования и соответствующих оценок.Остановимся подробнее на вопросе о допустимости пренебрежения силами инерции, которое используется во многих работах. Основные режимыэксплуатации газопроводов — установившиеся.

Характеристики

Список файлов диссертации

Математическое моделирование нестационарных неизотермических процессов в движущихся многофазных средах
Свежие статьи
Популярно сейчас
Как Вы думаете, сколько людей до Вас делали точно такое же задание? 99% студентов выполняют точно такие же задания, как и их предшественники год назад. Найдите нужный учебный материал на СтудИзбе!
Ответы на популярные вопросы
Да! Наши авторы собирают и выкладывают те работы, которые сдаются в Вашем учебном заведении ежегодно и уже проверены преподавателями.
Да! У нас любой человек может выложить любую учебную работу и зарабатывать на её продажах! Но каждый учебный материал публикуется только после тщательной проверки администрацией.
Вернём деньги! А если быть более точными, то автору даётся немного времени на исправление, а если не исправит или выйдет время, то вернём деньги в полном объёме!
Да! На равне с готовыми студенческими работами у нас продаются услуги. Цены на услуги видны сразу, то есть Вам нужно только указать параметры и сразу можно оплачивать.
Отзывы студентов
Ставлю 10/10
Все нравится, очень удобный сайт, помогает в учебе. Кроме этого, можно заработать самому, выставляя готовые учебные материалы на продажу здесь. Рейтинги и отзывы на преподавателей очень помогают сориентироваться в начале нового семестра. Спасибо за такую функцию. Ставлю максимальную оценку.
Лучшая платформа для успешной сдачи сессии
Познакомился со СтудИзбой благодаря своему другу, очень нравится интерфейс, количество доступных файлов, цена, в общем, все прекрасно. Даже сам продаю какие-то свои работы.
Студизба ван лав ❤
Очень офигенный сайт для студентов. Много полезных учебных материалов. Пользуюсь студизбой с октября 2021 года. Серьёзных нареканий нет. Хотелось бы, что бы ввели подписочную модель и сделали материалы дешевле 300 рублей в рамках подписки бесплатными.
Отличный сайт
Лично меня всё устраивает - и покупка, и продажа; и цены, и возможность предпросмотра куска файла, и обилие бесплатных файлов (в подборках по авторам, читай, ВУЗам и факультетам). Есть определённые баги, но всё решаемо, да и администраторы реагируют в течение суток.
Маленький отзыв о большом помощнике!
Студизба спасает в те моменты, когда сроки горят, а работ накопилось достаточно. Довольно удобный сайт с простой навигацией и огромным количеством материалов.
Студ. Изба как крупнейший сборник работ для студентов
Тут дофига бывает всего полезного. Печально, что бывают предметы по которым даже одного бесплатного решения нет, но это скорее вопрос к студентам. В остальном всё здорово.
Спасательный островок
Если уже не успеваешь разобраться или застрял на каком-то задание поможет тебе быстро и недорого решить твою проблему.
Всё и так отлично
Всё очень удобно. Особенно круто, что есть система бонусов и можно выводить остатки денег. Очень много качественных бесплатных файлов.
Отзыв о системе "Студизба"
Отличная платформа для распространения работ, востребованных студентами. Хорошо налаженная и качественная работа сайта, огромная база заданий и аудитория.
Отличный помощник
Отличный сайт с кучей полезных файлов, позволяющий найти много методичек / учебников / отзывов о вузах и преподователях.
Отлично помогает студентам в любой момент для решения трудных и незамедлительных задач
Хотелось бы больше конкретной информации о преподавателях. А так в принципе хороший сайт, всегда им пользуюсь и ни разу не было желания прекратить. Хороший сайт для помощи студентам, удобный и приятный интерфейс. Из недостатков можно выделить только отсутствия небольшого количества файлов.
Спасибо за шикарный сайт
Великолепный сайт на котором студент за не большие деньги может найти помощь с дз, проектами курсовыми, лабораторными, а также узнать отзывы на преподавателей и бесплатно скачать пособия.
Популярные преподаватели
Добавляйте материалы
и зарабатывайте!
Продажи идут автоматически
6384
Авторов
на СтудИзбе
308
Средний доход
с одного платного файла
Обучение Подробнее