Диссертация (1145283), страница 11
Текст из файла (страница 11)
В главе 3 на основе расчетовобщей задачи о транспортировки газа в неустановившихся режимах полученаоценка допустимости использования квазистационарной модели теплообменав расчетах нестационарных неизотермических течений смеси газов по морским газопроводам.Квазистационарная модель теплообмена потока газа сокружающей средойВ квазистационарном приближении решениями уравнений теплопроводности (1.49), (1.53) и (1.49) являются логарифмические профили температуры:Ti (r) = Ai + Bi ln r,i = 1, 2, 3.(1.66)Величины Ai , Bi определяются из граничных условий (1.51), (1.52), (1.55),(1.58) модели 2 и выражаются через параметры модели следующим образом:T ∗ − T (z, t),B1 =R1 λ1 R2 λ1 R2 + δ∗λ1ln+ln+ ln+αo RRλ2 R1 λ3R2λ1, B2 = (λ1 /λ2 )B1 ,αo RB3 = (λ1 /λ3 )B1 ,A1 = T (z, t) − B1 ln R + B1A3 = T ∗ − B3 ln(R2 + δ∗ ),A2 = A3 + (B3 − B2 ) ln R2 .(1.67)(1.68)63dT1 в квазистационарной модеВыражение для потока тепла q = λ1dr r=Rли теплообмена находится в виде явной зависимости от температуры газаT (z, t) и параметров задачи:λ1 B1.(1.69)R2Выражение для потока q0 (R2 ) = λ2 dTdr R2 находится из решений (1.66)–(1.68)q=в явной формеλ2 B2λ1 B1=.(1.70)R2R2В работах многих авторов, например [4, 5], при отсутствии слоя льда потокq0 (R2 ) =тепла через стенки газопровода задается в виде:q = β(T ∗ − T ),(1.71)где β — суммарный коэффициент теплопередачи, в общем случае зависящийот z и t; T ∗ — температура окружающей воды.
В рамках одномерной моделитеплообмена газа с окружающей средой связь между коэффициентом теплопередачи β (1.71) и эффективной толщиной δ∗ теплового погранслоя с учетомвыражения для потока тепла q (1.69) при граничном условие первого рода˜ имеет вид:(51) R1R2λ3− 1 , (1.72)/λ2(1 − βR ln/λ1 + lnδ∗ = R2 expβRRR1 R1R2 + δ ∗R2β = 1/ R ln.(1.73)/λ2 + ln/λ3/λ1 + lnRR1R2Как показано далее в параграфе 1.7, для набора параметров (1.114) приβ = 6.18 (Вт/м2 К) толщина эффективного теплового погранслоя воды равна: δ∗ = 0.012 м. В общем случае β и δ∗ могут быть функциями z. Дляреальных газопроводов их значения должны находиться из решения обратной задачи. Слагаемое ω(z, t) в уравнении полной энергии (1.3) выражаетсячерез суммарный коэффициент теплопередачи β следующим образом:ω(z, t) = −2β(T ∗ − T (z, t)).RОценка эффективной толщины δ∗ теплового погранслоя(1.74)64Исследования динамических и тепловых погранслоев при обтекании телразличной формы обобщены в виде степенных зависимостей числа НуссельтаNu от чисел Рейнольдса Re, Прандтля Pr, Грасгофа Gr и Эккерта Ec [27].Следуя работе [13], приведем характерные значения чисел Re, Pr, Gr, Ec врассматриваемой задаче обтекания газопровода, рассчитанные для воды принуле градусов Цельсия, при характерной длине l = 0.6 м и при характернойскорости обтекания 0.01 м/с:Re = 6 · 103 , Pr = 16, Gr = 3 · 107 , Ec = 2 · 10−8 .Эти значения чисел Re, Pr, Gr, Ec свидетельствуют о том, что реализуетсятурбулентный режим обтекания газопровода и имеет место смешанная тепловая конвекция (вынужденная за счет придонных течений и естественнаяза счет изменений плотности воды).
При этих значениях чисел Re, Pr, Gr,Ec средняя по всей боковой поверхности величина числа Нуссельта Nu приобтекании цилиндра может изменяться в диапазоне [27]:80 < Nu < 110.∂T3 Выразим тепловой поток q3 = λ3 ∂r от воды на внешнюю поверхностьR2газопровода через коэффициент теплопередачи β3 :q3 = −β3 (T3 (R2 ) − T ∗ )и учтем связь числа Нуссельта с коэффициентом теплопередачи β3 :Nu = β3 lλ−13 ,l — характерная длина.Выразим число Нуссельта Nu через δ∗ — толщину теплового погранслояпри обтекании поверхности газопровода.
В установившемся распределениитемпературы T3 (r) = A3 + B3 ln r найдем B3 из условий (1.57), (1.58):T ∗ − T3 (R2 ).B3 =ln(1 + δ∗ R2−1 )∂T3 3Выражение для потока q3 = λ3 ∂r = λ3 BR2 приравняем его выражениюR2через коэффициент теплопередачи β3 , в результате найдем зависимость β365от δ∗ :λ3T ∗ − T3 (R2 )∗.λ3−1 = −β3 (T3 (R2 ) − T ) → β3 =R2 ln(1 + δ∗ R2 )R2 ln(1 + δ∗ R2−1 )При значениях Re = 6·103 и P r = 16 характерная величина δ∗ при обтеканиицилиндра мала, это позволяет упростить зависимость β3 от δ∗ . Разложимлогарифм в ряд по малому параметру δ∗ R2−1 и ограничимся первым членомряда, в результате получим следующее приближенное равенство для числаНуссельта:Nu = β3 lλ−13 ≈lλ3−1.−1 l λ3 =δ∗R2 δ ∗ R2Отсюда следует, что δ∗ ≈ l/Nu. Например, при l = 2R, Nu= 80 следует, чтоδ∗ ≈ 0.0125 м.Приведенная оценка δ∗ носит приближенный характер и достоверная ин-формация о величине δ∗ , как отмечалось выше, может быть получена толькоиз решения задачи идентификации по соответствующим экспериментальнымданным.Результаты расчета процессов транспортировки газа в неустановившихсярежимах для стационарных и нестационарных моделей теплообмена потокагаза с окружающей средой представлены далее, в параграфе 3.3 главы 3.
Изэтих расчетов следует, что по крайней мере в начале трассы, пока разностьтемпературы потока газа и окружающей воды велика, замена нестационарноймодели теплообмена на ее квазистационарный вариант вносит существеннуюпогрешность в расчет основных характеристик потока в морском газопроводе.661.6. Модель установившихся режимов транспортировки газа.Программный комплекс «SGTM» расчета установившихсярежимов. Практические рекомендации по выбору температуры идавления газовой смеси на входе в газопроводУстановившийся режим является основным режимом эксплуатации газопроводов. В настоящем пункте на примере модельного морского газопроводапроведен анализ установившихся режимов течения.
Запишем вариант модели1 для установившегося режима течения.ρu = Q/(π R2 ) ,dp λρu2du=− −+ ρg cos α(z) ,ρudzdz4Rducρ2qλu|u|ThdT.=−+++dzcv u(1 − δρ) (2cv u(1 + δρ)T 1/2 ) dz cv ρuR 4Rcvcρ2hρT,−p=1 − δρ (1 + δρ)T 1/2при z = 0 : ρ = ρzo , T = Tzo .(1.75)(1.76)(1.77)(1.78)(1.79)Тепловое уравнение (1.77) следует из уравнения (1.26∗ ) параграфа 1.4 длястационарных режимов.
В слагаемом2qcv ρuRуравнения (1.77) для установив˜ с учетом равенствшихся режимов при граничном условие первого рода (1.51)(1.59), (1.67)–(1.69) поток тепла q(z) равен:λ1 (T ∗ − T (z)).q(z) = R1 λ1 R2 λ1 R2 + δ∗R lnln+ln+Rλ2 R1 λ3R2(1.80)Запишем модель установившегося режима течения по газопроводу в терминах давления, плотности и температуры и приведем эту модель к безразмерному виду. Введем характерные значения px , Tx , ρx , lx , ux = Q/(πR2 ρx ).Величина ρx определяется по величинам px , Tx из уравнения состоянияРедлиха–Квонга. После ряда преобразований, опуская штрихи у безразмерных величин ρ, T , p, z, u, модель (1.75)–(1.80) приводится к следующемувиду:ρu = 1 ,(1.81)67dpdρ= m 1 ρ2+ m2 ρ − m10 ρ3 cos α(z) ,dzdzdρm4m7TdT= 2 + m5++ m6 (T ∗ − T ) ,1/2dzρ(1 − m3 ρ)dz(1 + m3 ρ)Tp = m8ρTρ2,− m91 − m3 ρ(1 + m3 ρ)T 1/2при z = 0 :ρ0 = ρzo /ρx ,T0 = Tzo /Tx .(1.82)(1.83)(1.84)(1.85)В граничном условии (1.85) ρzo , Tzo — размерные значения плотности и температуры смеси газов на входе.
В математическую модель (1.81)–(1.85) входят безразмерные комплексы m1 –m9 , которые выражаются через параметрызадачи и введенные характерные величины по формулам:λu2x lxλlxpx, m5 = h/cv ,, m 3 = δ ρx , m 4 =, m2 =m1 =ρx u2x4R4cv RTx,RR1R+δ11122∗lnln+ln,+c v R 2 ρx u xm6 = 2lxλ1Rλ2 R1 λ3R2cρ2xhρx Txlx g, m9 =,,m=1021/2pux2cv Txpx T xxздесь cv — характерный удельный коэффициент теплоемкости при постоян3cρxm7 =, m8 =3/2ном объеме для газовой смеси, вычисленный при плотности ρx и температуреTx по формуле (1.25):cv = c̃v Tx +3 cln(1 + δρx ).4 δTx3/2В модели (1.81)–(1.85) величины вязкости µ и удельной теплоемкости cvгазовой смеси, а также коэффициент сопротивления λ считаются постоянными.
При значительных изменениях плотности и температуры потока газаможет возникнуть необходимость учета их зависимости от ρ(z) и T (z).Система уравнений (1.81)–(1.84) может быть разрешена относительнопроизводныхdρdzиdTdz .Ее решение сводится к интегрированию следующейнормальной системы второго порядка:f2 + f1 f3 fTdρ,= F1 (ρ, T ) =dz1 − f1 fρ − f1 f4 fT − f1 f5 fT(1.86)68dT(f4 + f5 )(f2 + f1 f3 fT ),= F2 (ρ, T ) = f3 +dz1 − f1 fρ − f1 f4 fT − f1 f5 fT(1.87)p = fp , u = 1/ρ(1.88)с граничным условием (1.85); давление и скорость находятся по функциям ρ и T :Функции fρ , fT , fp , f1 ÷ f5 выражаются через безразмерные комплексыm1 — m9 и безразмерные плотность ρ и температуру T :fρ =Tρ(2 + m3 ρ)∂p,= m8−m9∂ρ(1 − m3 ρ)2(1 + m3 ρ)2 T 1/2fT =∂pρρ2,= m8+ m9∂T(1 − m3 ρ)(1 + m3 ρ)T 3/2ρTρ2fp = m8,− m91 − m3 ρ(1 + m3 ρ)T 1/2f 1 = m 1 ρ2 ,f2 = m2 ρ − m10 ρ3 cos α(z),1f3 = m4 2 + m6 (T ∗ − T ),ρT1p,− m9f 4 = m5 2 = m5 m8ρ(1 − m3 ρ)ρ(1 + m3 ρ)T 1/21f5 = m7.(1 + m3 ρ)T 1/2Функции F1 и F2 (правые части дифференциальных уравнений (1.86),(1.87))непрерывны и ограниченны в области G:G:z ∈ [0, L],|ρ − ρz0 | ≤ ρ̃,|T − Tz0 | ≤ T̃ ,если давление pz0 , найденное из уравнения состояния Редлиха–Квонга по ρz0и Tz0 , не превышает предельное давление p∗zo на входе, расчет которого приведен далее в этом параграфе.
Величины ρ̃ и T̃ определяются параметрамирежима в каждой конкретной задаче. Кроме того, в исследуемой области Gпроверялись существование и непрерывность частных производных∂F1 ∂F1 ∂F2 ∂F2,,,,∂ρ∂T∂ρ∂T69их явные выражения представлены в Приложении Б. Таким образом, в соответствии с теоремой Пикара, решение нормальной системы (1.86),(1.87)второго порядка существует и единственно, если давление pz0 не превышаетпредельное давление p∗zo на входе. Нелинейная система обыкновенных дифференциальных уравнений (1.86), (1.87) с граничным условием (1.85) решаласьчисленно методом Рунге-Кутты 4-го порядка точности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
