Диссертация (1143641), страница 15
Текст из файла (страница 15)
В модели необходимо учитывать зависимость этих параметров от температуры,которая определяется модифицированным уравнением Аррениуса:, = 0 −,3.2.21где Аp – предэкспоненциальный множитель, ξT, ξp постоянные показатели степени, Tаct –температура активации. При таких условиях, источниковый член уравнения для i-гокомпонента он может быть рассчитан по уравнению: = ( ) .3.2.22Для учета поверхностных реакций осаждения материала из газовой фазы, котороематематически выражается в задании специализированных граничных условий для потокамассы, мы используем следующую математическую модель. Для описания химическихпроцессов на поверхности используем форму записи поверхностной химической реакций: ′ +=1 ′ () +=1 ′ () ==1 ′′ +=1 ′′ () +=1′′ () ,3.2.23=1где υaij – стехиометрические коэффициенты для компонентов Ai в газовой фазе, υbij –стехиометрические коэффициенты для компонентов, адсорбированных на поверхности – A(s)i,υcij – стехиометрические коэффициенты для компонентов твердой фазе – B(b), Nspg, Nsps Nspb –75общее число компонентов в газовой фазе, адсорбированных на поверхности, и в твердой фазесоответственно.
Поток i-го компонента к поверхности определяется выражением:( ′′ − ′ ) , = 1,2, … ,( ) = 3.2.24где –скоростьповерхностнойхимическойреакции.Дляповерхностных(адсорбированных) химических компонентов системы выполняется условие:0=()= ′′ − ′ , = 1,2, … .3.2.25Уравнения 3.1.24 и 3.1.25 решаются совместно с уравнениями для динамики газа вобъеме.
Скорость реакции на поверхности может определяться или при помощи константскорости, или при помощи коэффициента прилипания. В первом случае для расчетаиспользуется уравнение: ′С( ) = ( )=1(() ) ′ − ( )=1 ′′( ) =1( ) ′′ ,3.2.26=1где индекс w обозначает концентрацию веществ около поверхности. Из выражения видно,что скорость химического процесса на поверхности не зависит от концентрации вещества втвердой фазе. Поверхностная концентрация адсорбированных веществ выражается уравнением:= ,3.2.27где ρs – поверхностная плотность адсорбированных компонентов, Xi – доля вещества наповерхности. В случае если для описания скорости поверхностных химических реакцийиспользуется коэффициент прилипания, то скорость реакции определяется выражением:′[ ] , = ,3.2.28=1где – коэффициент прилипания, Jth,A –поток вещества A к поверхности, определяемый:, =() .2()3.2.29Скорость осаждения химического компонента на поверхность определяется по формуле: =,,3.2.30где DRi – скорость осаждения i-го компонента на поверхности, ρbi – объемная плотность iго компонента, Ji,n – массовый поток вещества по нормали к поверхности.Представленная здесь математическая модель представляет собой систему нелинейныхдифференциальных уравнений, решить которую известными аналитическими методамизатруднительно или даже невозможно.
Для нахождения решения в виде распределения вектора76переменных по всему рассматриваемому объему реактора, будем использовать приближенныечисленные методы. Их реализация требует дискретизации уравнений на расчетной сетке сполучением системы линейных алгебраических уравнений и последующим еѐ решением.3.3.
Методы дискретизацииВ качестве математической модели мы имеем систему дифференциальных уравнений,записанных в консервативной форме. Для еѐ дискретизации используется метод конечныхобъемов. Суть метода заключается в том, что пространство в границах рассматриваемой задачиразбивается при помощи расчетной сетки на множество конечных (контрольных) объемов. Вцентре его располагается расчетный узел. Для каждого объема далее записываются выражения,описывающие законы сохранения, т.е.
рассчитываются поверхностные и объемные интегралыдля всех переменных. Такой подход предопределяет физическую интерпретацию метода какпрямое следование законам сохранения, что в конечном итоге может положительно сказатьсяна точности и «физичности» получаемого решения. Для реализации этого метода необходимозаписать аналоги поверхностных и объемных интегралов в исходных уравнениях сохранения.Это можно сделать, используя различные аппроксимирующие выражения, в зависимости откоторых могут различаться точность получаемых дискретных моделей и их решений.Рассмотрим дискретизацию каждых членов уравнений сохранения по отдельности. Дляпростоты рассматрим двумерную модель с прямоугольной сеткой, показанную на рисунке 3.3.1Рисунок 3.3.1 – Контрольный объем для двумерной моделиДискретизация поверхностных интеграловИнтеграл по замкнутой поверхности можно представить как сумму интегралов по каждойграни контрольного объема, в соответствии с формулой 3.3.1 [c 72, 98]: = , 3.3.177где dS – элементарная площадка при интегрировании, f – вектор потока переменной внаправлении перпендикулярном поверхности.
Для расчета необходимо знать интеграл потокапо каждой поверхности контрольного объема. Рассмотрим поверхность с обозначением «e». Вкачестве аппроксимации предположим, что значение f одинаково по всей поверхности, тогда: = ,3.3.2где fe – величина потока на границе «е» контрольного объема, Se – площадь этой границы.Для всех остальных границ имеем аналогичные выражения. Эта аппроксимация имеет второйпорядок точности [с 74, 98]. Поток f в уравнениях 3.3.1 и 3.3.2 может задавать иликонвективный или диффузионный член, которые описываются соответственно уравнениями: = ∙ ,3.3.3 = ∙ ,3.3.4где ρ – плотность, υ – переменная, значение которой описывает рассматриваемоеуравнение сохранения, V – вектор скорости, n – вектор нормали к поверхности контрольногообъема, Γ – коэффициент в уравнении диффузионного потока. Чтобы рассчитать значение feнеобходимо знать величину υe, которая неизвестна, поскольку значения переменныхрассчитываются только в узлах расчетной сетки, т.е.
известна только величина υO. Длявычисления переменной υe используется схема «против потока», которая математическиописывается выражением: = если ( ∙ ) > 0. если ( ∙ ) < 03.3.5В данной схеме выбирается значение переменной из предыдущего расчетного узла внаправлении против потока.
Такая схема характеризуется завышением значений потокадиффузии (так называемая численная диффузия [с 76, 98]), но она исключает появление врешении осцилляций. Поэтому именно схема против потока используется в данной работе.Дискретизация объемных интеграловВ модели используется дискретный аналог объемного интеграла, предполагая, что среднеепо объему значение подынтегральной функции равняется еѐ значению в узле O. Математическиэто может быть записано следующим образом [с 75, 98]: = ,где υO – значение искомой переменной в узле O, Ω – объем контрольного объема.3.3.6783.4. Граничные условияГраничные условия является необходимыми для решения системы дифференциальныхуравнений.
Для переменной скорости потока на границах задавалась фиксированная скорость.Она была не равна нулю если моделировался вход газа в реактор. Для выхода из реактораустанавливалось фиксированное давление. Для стенок реактора скорость устанавливаласьравной нулю. Применимость этого условия не совсем очевидна, в виду возможного явленияпроскальзывания скорости, о чем говорилось в главе 2. Использование в модели условиянулевой скорости на стенках мы можно обосновать следующим образом. Если проскальзываниескоростинаблюдаетсявреальноммикрореакторе,безточныхэкспериментальныхисследований нельзя судить о еѐ величине, которая зависит от многих факторов. Граничныеусловия обладают большой неопределенностью. Чтобы не вносить эту неопределенность вмодель, решено установить граничные условия для скорости без проскальзывания.
Анализируярезультаты численного моделирования можно мысленно делать поправку на возможноепроскальзывание скорости на стенках реактора. Это несложно сделать, поскольку влияниеэтого явления хорошо изучено теоретически в главе 2.Для температуры граничные условия задавались путем обозначения фиксированногозначенияна стенках микрореактора.
Для химических компонент на границах задаваласьповерхностная реакция, в ходе которой и происходит осаждение вещества. Математически этоозначает ненулевой поток массы на границе. В соответствии с применяемым методом конечныхобъемов, при заданных граничных условиях в результате дискретизации получается системаалгебраических уравнений, которая может быть записана в матричной форме [с 56, 98]: = ,3.4.1где Θ – матрица коэффициентов, υ – вектор переменных, Ψ – вектор, включающий всечлены уравнений не связанные с переменными.3.5. Методы численного решенияДля решения системы алгебраический уравнений 3.4.1 в работе использовалсяитерационный метод сопряженного градиента с предусловием [с 276, 99].
В нем исходнаясистема уравнений преобразовывается к виду: = − .3.5.1При этом ставится задача поиска минимума функции , для чего используется методсопряженного градиента с предусловием. Для нахождения решения итерационным методомнеобходимо иметь начальное приближение υ0. Иттерационный процесс останавливается придостижении заданного параметра невязки, который рассчитывается как разница междунайденными решениями для текущей и предыдущей итерации.793.6. Выбор расчетной сеткиПри использовании методов компьютерного моделирования важным фактором являетсяхарактеристика расчетной сетки. Из теории численного решения дифференциальных уравненийизвестно, что качество сетки и выбор метода решения являются ключевыми параметрами,которые влияют на точность получаемых результатов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
