Диссертация (1143641), страница 12
Текст из файла (страница 12)
При этом значительно изменяетсяраспределение времени пребывания в реакторе. При χ=1 на границе реактора время пребываниястремиться к бесконечности из-за нулевой скорости потока. При малых χ время пребывания54стремиться к минимальному. Зависимости параметров среднего и максимального временипребывания в реакторе относительно минимального показаны на рисунке 2.4.2.(а)(б)Рисунок 2.4.2 – Зависимость среднего (а) и максимального (б) времени пребывания отпараметра χПри стремлении параметра χ к нулю среднее, максимальное и минимальное времяпребывания одинаковы, что соответствует модели реактора с плоским профилем скорости.Рассмотрим распределение концентрации вещества А в реакторе.
Для удобства расчетомпереведем молярную концентрацию в массовую долю. Для этого используем выражение: =() .2.4.1На рисунках 2.4.3 и 2.4.4 показана визуализация распределения массовой доли А пообъему реактора для случая нулевого и первого порядка реакции соответственно и χ=1.Рисунок 2.4.3 – Распределение массовой доли вещества А для нулевого порядка реакции и χ=1Рисунок 2.4.4 – Распределение массовой доли вещества А для первого порядка реакции и χ=155Для точного анализа распределения концентраций вещества А целесообразно рассматриватьграфики по сечениям реактора. На рисунках 2.4.5 и 2.4.6 изображены профили распределениямассовой доли по сечениям для случая χ=1 и химической реакции нулевого и первого порядка.Для реакции нулевого порядка массовая доля уменьшается линейно от входа, для реакциипервого порядка уменьшение происходит по экспоненциальному закону. Различие сказываетсяи на распределение вещества в поперечном сечении, которое для реакции нулевого порядкаимеет больший градиент концентрации около стенок.(а)(б)Рисунок 2.4.5 – Распределение массовой доли вещества А по продольному (а) и поперечному(б) сечению для случая реакций нулевого порядка(а)(б)Рисунок 2.4.6 – Распределение массовой доли вещества А по продольному (а) и поперечному(б) сечению для случая реакций первого порядкаПредставленные графики дают представление о распределении вещества в реактореданной конструкции для случая χ=1, что соответствует параболическому профилю скорости.Изменение χ влияет на граничные условия для скорости, приводя к изменению распределениямассовой доли в поперечном сечении, что показано на рисунке 2.4.7 для химической реакциипервого и нулевого порядка.
Уменьшение χ приводит к более равномерному распределению56вещества по поперченному сечению, что характерно для течения с плоским профилем скорости.В продольном сечении характер распределения принципиально не изменяется. Единственнымотличием является то, что график для фиксированного значения r при χ отличным от 1,становится по своим значениям похожим на график сечения при меньших радиусах.(а)(б)Рисунок 2.4.7 – Распределение массовой доли А по поперечному сечению реактора приразличных значениях χ: (а) реакция нулевого порядка; (б) реакция первого порядкаГрафики функции F(t) при различных значениях параметра χ показаны на рисунке 2.4.8(а).Для безразмерного времени зависимости имеют иной вид, что показано на рисунке 2.4.8(б).(а)(б)Рисунок 2.4.8 – График итегральной функции распределения времени пребывания приразличных значениях χ: (а) функция F(t); (б) функция F(ζ)С уменьшением значений параметра χ графики стремятся превратиться в идеальнуюступеньку, характерную для реактора с плоским профилем скорости.
На рисунке 2.4.9представлены графики функций E(t) и E(ζ), при различных значениях параметра χ.57(а)(б)Рисунок 2.4.9 – График дифференциальной функции распределения времени пребывания приразличных значениях χ: (а) функция E(t); (б) функция E(ζ)С уменьшением χ возрастает максимальное начальное значение функции E(t), сужаетсяобласть значений, где она не равна нулю, появляется правая граница, соответствующаязначению максимального времени пребывания в реакторе. В пределе χ=>0, график функциистремиться к пику бесконечной высоты и бесконечно малой ширины, с сохранением условиянормировки, согласно 2.2.4. При рассмотрении функции E(ζ) ситуация аналогична, с той лишьразницей, что при изменении χ изменяется параметр среднего времени пребывания, поэтомукрайние левые значения функций E(ζ) смещаются от 0.5 при χ=1 до 1 в пределе χ=>0.
Этосоответствует превращению системы в реактор с плоским профилем скорости потока.Проанализировав характеристики рассмотренного для примера химического реактора приразличных значениях параметра χ можно сделать выводы о том, что предложеннаяматематическая модель является общим случаем и включает в себя реактор с плоским ипараболическимпрофилемскорости,атакжепромежуточныеслучаи.Явлениепроскальзывания наиболее ярко проявляется при рассмотрении микро- и нано масштабов,можно говорить о том, что еѐ целесообразно использовать (с учетом принятых в моделидопущений) при расчете химических микрореакторов.2.5. Задача расчета микрореактора с движением потока вдоль оси симметрииЗадача рассматривает новую геометрию химического реактора, показанную на рисунке2.5.1.
Реактор представляет собой прямоугольный цилиндр радиусом R и высотой 2H, когдаR>H. В. Поток вещества в реакторе начинается из поверхности радиусом R0, имея в виду, чтопри R0=>0 поверхность стремится свернуться в линию, моделируя линейный источник.Согласно схеме на рисунке 2.5.1, с увеличением радиуса происходит уменьшение скорости изза увеличения площади сечения потока.
Т.е скорость зависит от двух координат r и h.58Рисунок 2.5.1 – Схема реактора с потоком вдоль радиусаБудемполагать,чтонаповерхностиначальногорадиусаR0скоростьимеетпараболическое распределение по высоте реактора. Максимальная скорость достигается приh=0, что соответствует V(0, R0).
Скорость описывается выражением: , 0 = 0, 01−2,2.5.1где V(0, R0) – скорость потока при r= R0, h=0, H – полувысота реактора, χ – параметрописывающий проскальзывание потока в соответствии с уравнением 2.3.26. Найдем среднююпо h скорость R 0 при постоянном значении переменной r=R0 исходя из равенства потоковчерез сечения реактора.
Поток в такой геометрии определяется выражением [с 255, 92]: = 0 = 40 0 ,2.5.2 = 0 = 20 , 0 = 20 0, 0−−1−2.2.5.3Т.к.− 22(1 − ( ) ) = 2 1 −,32.5.4получаем равенство:40 0 = 40 0, 0 0 = 0, 01−21−.32,32.5.52.5.6Для расчета зависимости скорости от радиуса воспользуемся свойством постоянствапотоков через сечения разных радиусов. Суммарный поток через поверхность на расстоянии r: = 4 .2.5.759Поскольку выполняется условие сохранения массы при постоянной плотности, можноговорить о том, что поток по уравнению 2.5.7 равен начальному потоку при R0.
Тогда можнозаписать выражение для средней скорости:40 0 = 4 ,2.5.80.2.5.9021−.32.5.10 = 0Подставляя выражение для 0 получаем: = 0, 0Поскольку форма выражения для средней скорости не зависит от величины r можно поаналогии с 2.5.6 записать: = 0, 21−,32.5.11или выражая V(0,r): .21− 3 0, =2.5.12Выражение 2.5.1 не изменяет форму при замене R0 на r. С учетом 2.5.11 для скорости впроизвольной точке с координатами h и r имеем: , = 0, 1−2 ()=1−2(1 − 3 )2.2.5.13Подставляя значение () из 2.5.9 окончательно получим выражение для скорости впроизвольной точке с координатами h и r внутри реактора: , = 0, 001−2.2.5.14Наличие переменной r в знаменателе означает значительное снижение скорости вреакторе по мере увеличения радиуса.
Зависимость скорости от параметра проскальзывания χаналогично тому, что уже рассматривалось в предыдущем разделе. При данной геометрии,время пребывания для произвольной точки внутри реактора нелинейно зависит от расстояниядо источника. Воспользуемся определением скорости при h=const:,2.5.15, , = 2.5.16 , = = =60 =00, , = 2.5.17=(0, 0 )001− 2 − 0 2=2(0, 0 )01− ,222.5.18.2.5.19Для произвольной точки радиуса r можно записать следующую формулу: 2 − 0 2 , =2 0, 0 01− 2.2.5.20Из 2.5.22 можно найти минимальное время пребывания на выходе из реактора при h=0: 2 −0 2= 0, =.2 0, 0 02.5.21Найдем среднее время пребывания по переменной h при фиксированном r.
Из 2.5.12следует, что средняя скорость меньше максимальной (при h=0) в (1 −23) раз. Среднее времяпребывания будет больше, в это же число раз, что можно записать как: = 0, .21− 32.5.22Для выходного потока (r=R) среднее значение времени пребывания определяется:(0, ) 2 − 0 2==.22(1 − 3 ) 2(0, 0 )0 (1 − 3 )2.5.23Выражая время в точке с координатами h, r через среднюю величину получаем:2( 2 −0 2 )(1 − 3 )(, ) =.22( 2 − 0 ) 1 − 2.5.24Минимальное время пребывания описывается выражением:2= 1−.32.5.25При χ отличном от 1 на границах реактора имеется ненулевая скорость, что определяетмаксимальную величину времени пребывания, которая может быть найдена из 2.5.22 при h=Hпри помощи формулы:6122 = −02(0, 0 )0 1 − 22(1 − 3 )=.1 − 22.5.26Искать выражения для F(t) и E(t) будем для времени пребывания tmin<t<tmax.Объемная доля потока, на выходе из реактора при r=R, заключенная между плоскостями скоординатами от -h до h есть численное значение функции F(t), где t соответствует времени,которое необходимо для того, чтобы жидкая частица, находящаяся внутри этого объема прошлапуть от входа до выхода из реактора.
Поток в реакторе рассматриваемой геометрии прирасстоянии между плоскостями в 2h равен:= , 2.2.5.27−Получаем выражение для функции F(t):− =, 2, 2.2.5.28Для определения F(t) подставим выражение для формулы скорости и найдем интегралы: =−R(0, R 0 ) 0 1 − R(0, R 0 ) 0− =−−1−21− =−2 =−−1− 2−1− 2 − −1− 22,22.2 = 2 −−2 = 2 −2−2.5.3022.5.2922 32= 2(1 − ).332.5.31231 2= 2(1 −.33 2.5.322Подставляя в 2.5.33 получаем: =1 2)3 .2(1 − 3 )(1 −2.5.33Выразим переменную h от t преобразовав выражение 2.5.24 при r=R:1−22(1 − 3 )=,2.5.34622(1 − 3 )=1−,2.5.352(1 − 3 ) 1=1−.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
